0
Tải bản đầy đủ (.pdf) (88 trang)

Các tính chất môđun D4 trong điều kiện các phần tử cùng

Một phần của tài liệu CÁC LỚP MÔĐUN D4. (Trang 61 -66 )

tử cùng chung phần bù

Định lí 3.1.1. Điều kiện của môđun M là tương đương: (1). M là môđun D4.

(2). Nếu A và B là các hạng tử trực tiếp có chung phần bù của M nếu

A+ B = M, thì A∩B ⊆ M.

(3). Nếu AB là các hạng tử trực tiếp có chung phần bù của M nếu

A+ B ⊆ M, thì A B M.

(1)⇒ (2). Giả sử A và B là các hạng tử trực tiếp có chung phần bù là C

và A+B = M. Giả sử π : M → C là phép chiếu với Kerπ = B.

Xét ánh xạ thu hẹpπ|A : A C. VìM = A+B kéo theoπ(A) = C C

và do đó Kerπ ⊆ A. Vì Kerπ|A = A∩B ⊆ A ⊆ M, A∩B ⊆ M.

(2)⇒ (3). Giả sử A và B là các hạng tử trực tiếp có chung phần bù của

M với A+B ⊆ M.

Khi đó, tồn tạiC, D ⊆ M vớiM = A⊕C = B⊕C = (A+B)⊕D. Theo luật modular, ta cóA+B = A⊕(C∩(A+B)) vàA+B = B⊕(C∩(A+B)). Khi đó A⊕D và B ⊕D là các hạng tử trực tiếp có chung phần bù của M

và (A⊕D) + (B ⊕D) =M.

Vì vậy (A⊕D)∩(B ⊕D) = (A∩B)⊕D ⊆ M. Vậy A∩ B ⊆ M.

(3)⇒ (1). Giả sử M = A⊕B và f : A→ B là một toàn cấu. Xét môđun con T = {a+f(a) : a ∈ A} của M. Rõ ràng, M = T +B và T ∩B = 0. Khi đó M = T B = AB nên AT là các hạng tử trực tiếp có chung phần bù của M.

Vì f là toàn cấu, ta có A+T = M. Từ giả thiết ta có A∩T ⊆ M. Điều đó chứng tỏ rằng A∩T = Kerf và nên Kerf ⊆ M. Vậy Kerf ⊆ A.

Hệ quả 3.1.2. Điều kiện sau là tương đương đối với môđun M: (1). M là một môđun D4.

(2). Nếu M = A+ B với A, B là hai hạng tử trực tiếp có cùng phần bù của M, thì tồn tại B ⊆ B với M = AB.

Chứng minh

(1) ⇒ (2). Giả sử M = A+ B với A và B là các hạng tử trực tiếp có cùng phần bù của M. Khi đó M = (A∩B)⊕C theo Định lí 3.1.1.

Theo luật modular, ta cóB = (A∩B)⊕(C∩B). Điều đó chứng tỏ rằng

M = A⊕(C ∩ B) nên B := C ∩B.

(2) ⇒ (1). Giả sử M = A+ B với A và B là các hạng tử trực tiếp có cùng phần bù của M. Khi đó tồn tại B ⊆ B mà M = A⊕B. Điều này kéo theo B = (A∩B) ⊕B. Vì vậy A∩B là một hạng tử trực tiếp của B nên

A∩ B cũng là một hạng tử trực tiếp của M.

Định lí 3.1.3. Những điều kiện sau là tương đương đối với môđun M đã cho:

(1). M là môđun D4.

(2). Nếu A và B là các môđun con của M với A+B ⊆ M, A⊆ M và

M/A∩M/B, thì A B M.

(3). Nếu AB là các hạng tử trực tiếp của M với A + B M và

M/A= M/B, thì AB M.

M/A= M/B thì B M.

(5). Nếu AB là các hạng tử trực tiếp của M với A + B M và

A = B thì AB M.

Chứng minh

(1) ⇒(2). Giả sử A và B là các môđun con của M với A+B ⊆ M và

M/B =σ M/A. Ta viết lại M = A⊕Y và M = (A+B)⊕X với các môđun con X, Y ⊆M.

Bây giờ ta xét ánh xạ:π : M → M/(A∩B) là một toàn cấu chính tắc với

Kerπ = A∩B, f :M/(A∩B) →M/B được cho bởif(m+(A∩B)) = m+B

với mỗi m ∈ M và φ : M/A → Y là một đẳng cấu. Khi đó ta định nghĩa

g = φσf πA. Vì f(A/(A ∩ B)) = (A + B)/B ⊆ M/B, Img ⊆ Y nên

Kerg = A∩B và A∩B ⊆ A. Vì vậy A∩B ⊆ M.

(2) ⇒(4). Giả sử AvàB là các môđun con của M với A+B ⊆ M, A⊆ M

vàM/A = M/B. Theo giả thiết, ta cóA∩B ⊆ M. Ta viết lạiM = (A∩B)⊕

X = (A+B)⊕Y với các môđun conX, Y ⊆ M. Khi đóA = (A∩B)⊕(A∩X). Theo luật modular nên A+B = (A∩B) + (A∩X) +B = B ⊕(A∩ X). Từ đó suy ra B ⊆ M.

(4)⇒ (1) Hiển nhiên theo Bổ đề 2.1.3.

(3) ⇒ (1). Giả sử A và B là các hạng tử trực tiếp có cùng phần bù của

M với A+ B ⊆ M. Vì A và b là các hạng tử trực tiếp có cùng phần bù của M nên M/A = M/B. Từ giả thiết, suy ra A B M. Vì vậy M là môđun D4 theo Định lí 3.1.1.

(1)⇒ (5). Giả sửA vàB là các hạng tử trực tiếp củaM với A+B ⊆ M

và A=φ B. ta viết M = A⊕A với môđun con A ⊆ M. Xét π : M →M/A

là toàn cấu chính tắc.

Giả sử ψ : M/A → A là một đẳng cấu và đặt f = ψ ◦ πB ◦ φ. Vì

A + B ⊆ M và Imf = ψ((A + B)/A), Imf ⊆ A. Điều đó chứng tỏ

Kerf = φ1(A ∩ B) kéo theo φ1(A∩ B) ⊆ A theo giả thiết và vì vậy

A∩ B ⊆ B. Vậy A∩B ⊆ M.

(5)⇒ (1). Hiển nhiên theo Định lí 2.1.3.

Định lí 3.1.4. Giả sử M = ⊕i∈IMi là một tổng trực tiếp của các môđun con Mi. Nếu N = ⊕i∈I(N ∩ Mi) với bất kì môđun con N của M, thì M là một môđun D4 nếu và chỉ nếu mỗi Mi là một môđun D4 với i ∈ I.

Chứng minh

Giả sử rằngMi là một môđun D4với mọi i ∈ I. Giả sử M = A⊕C = B⊕C

vớiA+B = M. Theo giả thiết, ta cóA = ⊕i∈I(A∩Mi), B = ⊕i∈I(B∩Mi), và

C = ⊕i∈I(C∩Mi). VìM = A⊕C = B⊕C, M = ⊕i∈I[(A∩Mi)⊕(C∩Mi)] = [⊕i∈I(B ∩Mi)]⊕[⊕i∈I(C ∩Mi)].

Vì vậy,Mi = (A∩Mi)⊕(C∩Mi)⊕(C∩Mi) = (B∩Mi)⊕(C∩Mi) với mỗi

i ∈ I. Cũng vậy, M = A+B kéo theo M = ⊕i∈I[(A∩Mi) + (B∩Mi)]và nên

Mi = (A∩Mi) + (B∩Mi). Vì AMiBMi là hạng tử trực tiếp có cùng phần bù của Mi với (A∩Mi) + (B∩Mi) = Mi,(A∩Mi)∩(B∩Mi) ⊆ Mi

với mọi i ∈ I. Ta có A∩B = [⊕i∈I(A∩Mi)]∩[⊕i∈I(B ∩Mi)] = ⊕i∈I[(A∩

Mi) ∩ (B ∩ Mi)] ⊆ M và vì vậy M là môđun D4. Điều ngược lại là hiển nhiên vì một hạng tử trực tiếp của môđun D4 là một môđun D4.

Một phần của tài liệu CÁC LỚP MÔĐUN D4. (Trang 61 -66 )

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay
×