tử cùng chung phần bù
Định lí 3.1.1. Điều kiện của môđun M là tương đương: (1). M là môđun D4.
(2). Nếu A và B là các hạng tử trực tiếp có chung phần bù của M nếu
A+ B = M, thì A∩B ⊆⊕ M.
(3). Nếu A và B là các hạng tử trực tiếp có chung phần bù của M nếu
A+ B ⊆⊕ M, thì A∩ B ⊆⊕ M.
(1)⇒ (2). Giả sử A và B là các hạng tử trực tiếp có chung phần bù là C
và A+B = M. Giả sử π : M → C là phép chiếu với Kerπ = B.
Xét ánh xạ thu hẹpπ|A : A →C. VìM = A+B kéo theoπ(A) = C ⊆⊕ C
và do đó Kerπ ⊆⊕ A. Vì Kerπ|A = A∩B ⊆⊕ A ⊆⊕ M, A∩B ⊆⊕ M.
(2)⇒ (3). Giả sử A và B là các hạng tử trực tiếp có chung phần bù của
M với A+B ⊆⊕ M.
Khi đó, tồn tạiC, D ⊆⊕ M vớiM = A⊕C = B⊕C = (A+B)⊕D. Theo luật modular, ta cóA+B = A⊕(C∩(A+B)) vàA+B = B⊕(C∩(A+B)). Khi đó A⊕D và B ⊕D là các hạng tử trực tiếp có chung phần bù của M
và (A⊕D) + (B ⊕D) =M.
Vì vậy (A⊕D)∩(B ⊕D) = (A∩B)⊕D ⊆⊕ M. Vậy A∩ B ⊆⊕ M.
(3)⇒ (1). Giả sử M = A⊕B và f : A→ B là một toàn cấu. Xét môđun con T = {a+f(a) : a ∈ A} của M. Rõ ràng, M = T +B và T ∩B = 0. Khi đó M = T ⊕B = A⊕B nên A và T là các hạng tử trực tiếp có chung phần bù của M.
Vì f là toàn cấu, ta có A+T = M. Từ giả thiết ta có A∩T ⊆⊕ M. Điều đó chứng tỏ rằng A∩T = Kerf và nên Kerf ⊆⊕ M. Vậy Kerf ⊆⊕ A.
Hệ quả 3.1.2. Điều kiện sau là tương đương đối với môđun M: (1). M là một môđun D4.
(2). Nếu M = A+ B với A, B là hai hạng tử trực tiếp có cùng phần bù của M, thì tồn tại B′ ⊆ B với M = A⊕B′.
Chứng minh
(1) ⇒ (2). Giả sử M = A+ B với A và B là các hạng tử trực tiếp có cùng phần bù của M. Khi đó M = (A∩B)⊕C theo Định lí 3.1.1.
Theo luật modular, ta cóB = (A∩B)⊕(C∩B). Điều đó chứng tỏ rằng
M = A⊕(C ∩ B) nên B′ := C ∩B.
(2) ⇒ (1). Giả sử M = A+ B với A và B là các hạng tử trực tiếp có cùng phần bù của M. Khi đó tồn tại B′ ⊆ B mà M = A⊕B′. Điều này kéo theo B = (A∩B) ⊕B′. Vì vậy A∩B là một hạng tử trực tiếp của B nên
A∩ B cũng là một hạng tử trực tiếp của M.
Định lí 3.1.3. Những điều kiện sau là tương đương đối với môđun M đã cho:
(1). M là môđun D4.
(2). Nếu A và B là các môđun con của M với A+B ⊆⊕ M, A⊆⊕ M và
M/A∩M/B, thì A∩ B ⊆⊕ M.
(3). Nếu A và B là các hạng tử trực tiếp của M với A + B ⊆⊕ M và
M/A∼= M/B, thì A∩B ⊆⊕ M. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
M/A∼= M/B thì B ⊆⊕ M.
(5). Nếu A và B là các hạng tử trực tiếp của M với A + B ⊆⊕ M và
A ∼= B thì A∩B ⊆⊕ M.
Chứng minh
(1) ⇒(2). Giả sử A và B là các môđun con của M với A+B ⊆⊕ M và
M/B ∼=σ M/A. Ta viết lại M = A⊕Y và M = (A+B)⊕X với các môđun con X, Y ⊆M.
Bây giờ ta xét ánh xạ:π : M → M/(A∩B) là một toàn cấu chính tắc với
Kerπ = A∩B, f :M/(A∩B) →M/B được cho bởif(m+(A∩B)) = m+B
với mỗi m ∈ M và φ : M/A → Y là một đẳng cấu. Khi đó ta định nghĩa
g = φσf πA. Vì f(A/(A ∩ B)) = (A + B)/B ⊆⊕ M/B, Img ⊆⊕ Y nên
Kerg = A∩B và A∩B ⊆⊕ A. Vì vậy A∩B ⊆⊕ M.
(2) ⇒(4). Giả sử AvàB là các môđun con của M với A+B ⊆⊕ M, A⊆⊕ M
vàM/A ∼= M/B. Theo giả thiết, ta cóA∩B ⊆⊕ M. Ta viết lạiM = (A∩B)⊕
X = (A+B)⊕Y với các môđun conX, Y ⊆ M. Khi đóA = (A∩B)⊕(A∩X). Theo luật modular nên A+B = (A∩B) + (A∩X) +B = B ⊕(A∩ X). Từ đó suy ra B ⊆⊕ M.
(4)⇒ (1) Hiển nhiên theo Bổ đề 2.1.3.
(3) ⇒ (1). Giả sử A và B là các hạng tử trực tiếp có cùng phần bù của
M với A+ B ⊆⊕ M. Vì A và b là các hạng tử trực tiếp có cùng phần bù của M nên M/A ∼= M/B. Từ giả thiết, suy ra A∩ B ⊆⊕ M. Vì vậy M là môđun D4 theo Định lí 3.1.1.
(1)⇒ (5). Giả sửA vàB là các hạng tử trực tiếp củaM với A+B ⊆⊕ M
và A∼=φ B. ta viết M = A⊕A′ với môđun con A′ ⊆ M. Xét π : M →M/A
là toàn cấu chính tắc.
Giả sử ψ : M/A → A là một đẳng cấu và đặt f = ψ ◦ πB ◦ φ. Vì
A + B ⊆⊕ M và Imf = ψ((A + B)/A), Imf ⊆⊕ A′. Điều đó chứng tỏ
Kerf = φ−1(A ∩ B) kéo theo φ−1(A∩ B) ⊆⊕ A theo giả thiết và vì vậy
A∩ B ⊆⊕ B. Vậy A∩B ⊆⊕ M.
(5)⇒ (1). Hiển nhiên theo Định lí 2.1.3.
Định lí 3.1.4. Giả sử M = ⊕i∈IMi là một tổng trực tiếp của các môđun con Mi. Nếu N = ⊕i∈I(N ∩ Mi) với bất kì môđun con N của M, thì M là một môđun D4 nếu và chỉ nếu mỗi Mi là một môđun D4 với i ∈ I.
Chứng minh
Giả sử rằngMi là một môđun D4với mọi i ∈ I. Giả sử M = A⊕C = B⊕C
vớiA+B = M. Theo giả thiết, ta cóA = ⊕i∈I(A∩Mi), B = ⊕i∈I(B∩Mi), và
C = ⊕i∈I(C∩Mi). VìM = A⊕C = B⊕C, M = ⊕i∈I[(A∩Mi)⊕(C∩Mi)] = [⊕i∈I(B ∩Mi)]⊕[⊕i∈I(C ∩Mi)]. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Vì vậy,Mi = (A∩Mi)⊕(C∩Mi)⊕(C∩Mi) = (B∩Mi)⊕(C∩Mi) với mỗi
i ∈ I. Cũng vậy, M = A+B kéo theo M = ⊕i∈I[(A∩Mi) + (B∩Mi)]và nên
Mi = (A∩Mi) + (B∩Mi). Vì A∩Mi và B∩Mi là hạng tử trực tiếp có cùng phần bù của Mi với (A∩Mi) + (B∩Mi) = Mi,(A∩Mi)∩(B∩Mi) ⊆⊕ Mi
với mọi i ∈ I. Ta có A∩B = [⊕i∈I(A∩Mi)]∩[⊕i∈I(B ∩Mi)] = ⊕i∈I[(A∩
Mi) ∩ (B ∩ Mi)] ⊆⊕ M và vì vậy M là môđun D4. Điều ngược lại là hiển nhiên vì một hạng tử trực tiếp của môđun D4 là một môđun D4.