qu¥n sŁ
1.2.1 Bi to¡n i•u khi”n tŁi ÷u
ð ¥y x0 2 Rn; f : Rn ! Rn; x : [0; 1) ! Rn l bi‚n tr⁄ng th¡i cıa h».
TŒng qu¡t, gi£ sß f : Rn Rm ! Rn phư thuºc v o tham sŁ i•u khi”n a; a 2
A Rm. Khi đ, vỵi a 2 A ta cđ h» ºng lüc t÷ìng øng: TŒng qu¡t hìn, x†t h m gian, ta x†t ODE: 8 < x(t) = f(x(t); (t)); t > 0; : x(0) = x0;
v nghi¶n cøu quÿ ⁄o x( ) cıa h» øng vỵi mØi i•u khi”n . Ta kþ hi»u f(x; a) = (1.15) 1 1(t) .. C; C . CA m (t)
v A = f : [0; 1) ! Aj ( ) o ÷ưcg. Mưc ‰ch cıa chĩng ta l x¡c ănh i•u khi”n tŁt nh§t cho h», do đ chĩng ta ănh ngh¾a phi‚m h m mưc ti¶u nh÷ sau
Z T
P [ ( )] := r(x(t); (t))dt + g(x(T )); (1.16)
0
ð ¥y x( ) l nghi»m cıa (1.15) Łi vỵi i•u khi”n ( ) v r : Rn A ! R; g :
Rn ! R; T > 0 l thíi i”m cuŁi ¢ cho. Chĩng ta gơi r l running payoff v g l terminal payoff.
B i to¡n °t ra l t…m i•u khi”n ( ) l m cüc ⁄i phi‚m h m mưc ti¶u. Khi đ, ( ) ÷ưc gơi l i•u khi”n tŁi ÷u. — c¡c phƒn ti‚p theo d÷ỵi ¥y chĩng tưi s‡ ch¿ ra khi n o tìn t⁄i i•u khi”n tŁi ÷u, °c tr÷ng cıa i•u khi”n tŁi ÷u l g… v x¥y düng i•u khi”n tŁi ÷u nh÷ th‚ n o?
1.2.2 Nguy¶n lþ cüc ⁄i Pontryagin
Vi»c t…m ra c¡c i•u ki»n cƒn cho i•u khi”n tŁi ÷u đng vai trƯ h‚t søc quan trơng v… nđ giĩp cho ta ănh h÷ỵng ÷ưc trong vi»c t…m i•u khi”n tŁi ÷u. N«m 1956, nh to¡n hơc ng÷íi Nga Pontryagin ¢ ÷a ra gi£ thi‚t v• i•u ki»n cƒn
31
cıa cüc tră, sau đ c¡c hơc trƯ cıa ưng ¢ chøng minh ÷ưc c¡c gi£ thi‚t n y (Gamkrelidze 1957 [22] v Boltyanski 1958 [11]).
*B i to¡n i”m cuŁi tü do, thíi gian cŁ ănh
Cho tr÷ỵc A Rm; f : Rn A ! Rn; x0 2 Rn. Ta kþ hi»u t“p i•u khi”n ch§p nh“n ÷ưc l
A = f ( ) : [0; 1) ! Aj ( ) o ÷ưcg
Khi đ, cho tr÷ỵc ( ) 2 A, chĩng ta gi£i ph÷ìng tr…nh tr⁄ng th¡i 8
< x(t) = f(x(t); (t)); t 0;
(1.17) : x(0) = x0;
Chĩng ta x†t phi‚m h m mưc ti¶u nh÷ sau: Z T
P [ ( )] := r(x(t); (t))dt + g(x(T )); (1.18)
0
ð ¥y thíi i”m ƒu cuŁi T > 0, h m running payoff r : Rn A ! R v h m terminal payoff g : Rn ! R cho tr÷ỵc.
B i to¡n °t ra l : t…m i•u khi”n tŁi ÷u ( ) l m cüc ⁄i phi‚m h m mưc ti¶u.
” gi£i b i to¡n n y chĩng ta cƒn ănh ngh¾a phi‚m h m Hamilton phị hưp.
ănh ngh¾a 1.2.1. [40] Phi‚m h m Hamilton l h m x¡c ănh bði
H(x; p; a) := f(x; a) p + r(x; a); x; p 2 Rn; a 2 A:
Kþ hi»u c¡c ⁄o h m ri¶ng cıa H l
@H
= H
@xi
v
5xH := (Hx1 ; :::; Hxn ); 5pH := (Hp1 ; :::; Hpn ):
ănh lþ 1.2.2. (Nguy¶n lþ cüc ⁄i Pontryagin)([40], ănh lþ 4.3). Gi£ sß ( ) l i•u khi”n tŁi ÷u Łi vỵi (1.17), (1.18) v x ( ) l quÿ ⁄o tŁi ÷u t÷ìng øng. Khi đ, tìn t⁄i h mp : [0; T ] ! Rn sao cho
x (t) = 5pH(x (t); p (t); (t));
p (t) = 5 x H(x (t); p (t); (t));
H(x (t); p (t); (t)) = max H(x (t); p (t); a); 0
a
Hìn nœa, ¡nh x⁄ t 7! H(x (t); p (t); (t)) l h‹ng sŁ. CuŁi cịng, ta cđ i•u ki»n thíi i”m ƒu cuŁi l
p (T ) =
*B i to¡n i”m cuŁi cŁ ănh, thíi gian tü do
Ti‚p theo chĩng ta ph¡t bi”u nguy¶n lþ cüc ⁄i cho b i to¡n i”m cuŁi cŁ ănh. T÷ìng tü nh÷ phƒn tr¶n, cho tr÷ỵc i•u khi”n ( ) 2 A, chĩng ta gi£i ph÷ìng tr…nh tr⁄ng th¡i t÷ìng øng
8
< x(t) = f(x(t); (t)); t 0;
(1.23) : x(0) = x0;
Gi£ sß i”m ‰ch x1 2 Rn¢ cho, chĩng ta x†t phi‚m h m mưc ti¶u nh÷ sau Z
P[ ()]:= r(x(t); (t))dt; (1.24)
0
ð ¥y r : Rn A ! R l h m running payoff ¢ cho v = [ ( )] 1 kþ hi»u
l thíi i”m ƒu ti¶n nghi»m cıa (1.23) ch⁄m v o i”m ‰ch x1.
B i to¡n °t ra l t…m i•u khi”n tŁi ÷u ( ) l m cüc ⁄i phi‚m h m mưc ti¶u.
ănh lþ 1.2.3. (Nguy¶n lþ cüc ⁄i Pontryagin)([40], ănh lþ 4.4). Gi£ sß ( ) l i•u khi”n tŁi ÷u Łi vỵi (1.23), (1.24) v x ( ) l quÿ ⁄o t÷ìng øng. Khi đ, tìn t⁄i h mp : [0; ] ! Rn sao cho
x (t) = 5pH(x (t); p (t); (t)); 33 p (t) = 5 x H(x (t); p (t); (t)); H(x (t); p (t); (t)) = max H(x (t); p (t); a); 0 a A 2 v H(x (t); p (t); (t)) 0; 0 t ;
ð ¥y k‰ hi»u l thíi i”m ƒu ti¶n quÿ ⁄o x ( ) ch⁄m v o i”m ‰ch x1. Chĩng ta gơi x
( ) l tr⁄ng th¡i tŁi ÷u vp ( ) l ìng tr⁄ng th¡i. *Nguy¶n lþ cüc ⁄i vỵi c¡c i•u ki»n ho nh X†t h» ºng lüc
x(t) = f(x(t); (t)); t > 0:
Trong phƒn n y chĩng ta s‡ th£o lu“n mºt b i to¡n bi‚n th” kh¡c l : vă tr‰ ban ƒu ÷ưc r ng buºc n‹m trong t“p X0 Rn v vă tr‰ i”m cuŁi cơng ÷ưc r ng buºc n‹m trong t“p X1 Rn.
V… v“y, trong mư h…nh n y ta cƒn chơn i”m b›t ƒu x0 2 X0 ” l m cüc ⁄i phi‚m h m
Z
P [ ( )] := r(x(t); (t))dt; (1.29)
0
ð ¥y = [ ( )] l thíi i”m ƒu ti¶n chĩng ch⁄m v o X1. Chĩng ta s‡ gi£ thi‚t X0; X1 l c¡c m°t trìn trong Rn v kþ hi»u m°t phflng ti‚p tuy‚n cıa X0 t⁄i x0 l T0, m°t phflng ti‚p tuy‚n cıa X1 t⁄i x1 l T1.
ănh lþ 1.2.4. (C¡c i•u ki»n ho nh)([40], ănh lþ 4.5). Cho ( ) v x ( ) l nghi»m cıa b i to¡n tr¶n vỵi
Khi đ, tìn t⁄i h mp ( ) : [0; ] ! Rn sao cho (1.28), (1.26) v 0 t. Hìn nœa, ta cđ
34
*Nguy¶n lþ cüc ⁄i vỵi c¡c r ng buºc tr⁄ng th¡i X†t h» ºng lüc
8
< x(t) = f(x(t); (t)); t 0;