qu¥n sŁ
1.3 Một số kiến thức về tối ưu đa mục tiíu
: x(0) = x0;
v x†t phi‚m h m mưc ti¶u nh÷ sau Z
P[ ()]:= r(x(t); (t))dt; (1.32)
0
ð ¥y = [ ( )] l thíi i”m ƒu ti¶n ” x( ) = x1.
¥y l b i to¡n i”m cuŁi
cŁ ănh.
B¥y gií ta x†t b i to¡n phøc t⁄p hìn: Ta muŁn x( ) ph£i luưn luưn n‹m trong mi•n ¢ cho R Rn v gi£ thi‚t r‹ng R cđ bi”u di„n hi”n
R = fx 2 Rnjg(x) 0g;
vỵi h m g( ) : Rn ! R l h m kh£ vi cho tr÷ỵc.
°t c(x; a) := 5g(x) f(x; a); ta cđ ănh lþ sau:
ănh lþ 1.2.5. (Nguy¶n lþ cüc ⁄i cho c¡c r ng buºc tr⁄ng th¡i)([40], ănh lþ 4.6). Cho ( ) v x ( ) l nghi»m cıa b i to¡n tr¶n. Gi£ sß x (t) 2 @R vỵi c¡c thíi i”m s0 t s1. Khi đ, tìn t⁄i h m ìng tr⁄ng th¡ip ( ) : [s0; s1] ! Rn sao cho (1.31) ĩng v tìn t⁄i ( ) : [s0; s1] ! R sao cho vỵi mơi s0 t s1 ta cđ
p (t) = 5 x H(x (t); p (t); (t)) + (t) 5x c(x (t); (t))
v
H(x (t); p (t); (t)) = max H(x (t); p (t); a)
a
1.3 Một số kiến thức về tối ưu đa mục tiíu
Mºt sŁ l÷ưng lỵn c¡c b i to¡n n£y sinh trong nhi•u l¾nh vüc kh¡c nhau nh÷ trong khoa hơc kÿ thu“t, kinh t‚, cưng nghi»p, v...v d¤n ‚n b i to¡n tŁi ÷u a mưc
35
mưc ti¶u s‡ khưng th” ÷ưc c£i thi»n n‚u khưng gi£m ‰t nh§t mºt trong sŁ c¡c mưc ti¶u kh¡c). Chĩng ÷ưc gơi l B i to¡n TŁi ÷u a mưc ti¶u (Multiobjective Optimization Problems (MOP)). Trong phƒn n y ƒu ti¶n chĩng tưi s‡ giỵi thi»u mºt sŁ ki‚n thøc li¶n quan ‚n b i to¡n tŁi ÷u a mưc ti¶u, ti‚p theo chĩng tưi s‡ giỵi thi»u mºt ph÷ìng ph¡p th÷íng ÷ưc sß dưng ” gi£i b i to¡n tŁi ÷u a mưc ti¶u, đ l ph÷ìng ph¡p vư h÷ỵng hđa WM (Weighting Method).
1.3.1 B i to¡n tŁi ÷u a mưc ti¶u
ănh ngh¾a 1.3.1. ([43], Mưc 2.1.1).
B i to¡n tŁi ÷u a mưc ti¶u l b i to¡n cđ d⁄ng:
minff(x) : x 2 Xg; (MOP )
trong đ X l t“p con kh¡c rØng cıa Rn ÷ưc gơi l t“p c¡c ph÷ìng ¡n cıa b i to¡n v
f(x) = (f1(x); f2(x); :::; fk(x)); fi : X ! R; i = 1; 2; :::; k; k 2:
N‚u X l t“p lìi a di»n v fi(x) = hci; xi; ci 2 Rn; i = 1; 2; :::; k th… b i to¡n (M OP ) ÷ưc gơi l b i to¡n tŁi ÷u tuy‚n t‰nh a mưc ti¶u (Multiobjective Optimization Linear Problem: MOP) v ÷ưc vi‚t d÷ỵi d⁄ng
Min Cx vỵi i•u
ki»n x 2 X;
(MOLP )trong đ C l ma tr“n c§p p n cđ c¡c h ng l c1; c2; :::; ck. trong đ C l ma tr“n c§p p n cđ c¡c h ng l c1; c2; :::; ck.
n
N‚u X l t“p lìi trong R v f1; f2; :::; fk l c¡c h m lìi tr¶n X th… b i
to¡n (M OP ) ÷ưc gơi l b i to¡n tŁi ÷u lìi a mưc ti¶u (Convex Multiobjective Opimization Problem: CMOP).
ănh ngh¾a 1.3.2. ([43], ănh ngh¾a 2.2.1).
Ph÷ìng ¡n x 2 X ÷ưc gơi l nghi»m hœu hi»u (hay nghi»m Pareto) cıa b i to¡n (M OP ) n‚u khưng tìn t⁄i ph÷ìng ¡n x 2 X sao cho fi(x) fi(x ) vỵi mơi i = 1; 2; :::; k
ănh ngh¾a 1.3.3. ([43], ănh ngh¾a 2.5.1).
Ph÷ìng ¡n x 2 X ÷ưc gơi l nghi»m hœu hi»u y‚u (hay nghi»m Pareto y‚u) cıa b i to¡n (M OP ) n‚u khưng tìn t⁄i ph÷ìng ¡n x 2 X sao cho fi(x) < fi(x ) vỵi mơi i = 1;
2; :::; k:
K‰ hi»u XE, XW E t÷ìng øng l t“p nghi»m hœu hi»u v hœu hi»u y‚u cıa b i to¡n tŁi ÷u a mưc ti¶u (M OP ).