Định lí 3 Nếu một đường tròn trực giao với hai đường tròn của một chùm đường tròn thì nó sẽ trực giao với mọi đường tròn của chùm đường tròn đó.
Chứng minh:
Cho chùm đường tròn{(𝑂𝑛)}𝑛∈𝑁 và đường tròn (𝑂′, 𝑅′) trực giao với hai đường tròn
(𝑂1), (𝑂2) của chùm.
Ta có 𝐏𝑂′/(𝑂1) = 𝑅′2 và 𝐏𝑂′/(𝑂2) = 𝑅′2 ⇒ 𝐏𝑂′/(𝑂1) = 𝐏𝑂′/(𝑂2) .
⇒ 𝑂′𝜖 𝑑 – trục đẳng phương của (𝑂1), (𝑂2) và d cũng là trục đẳng phương của chùm
{(𝑂𝑛)}𝑛∈𝑁 .
⇒𝐏𝑂′/(𝑂𝑖) =𝐏𝑂′/(𝑂𝑗) =𝐏𝑂′/(𝑂1) = 𝑅′2với ∀𝑖, 𝑗 ∈ 𝑁 ⇒ (𝑂′, 𝑅′) ⊥ (𝑂𝑖) ∀𝑖 ∈ 𝑁 ⇒ điều phải chứng minh.
Định lí 4 Tập hợp các đường tròn mà trực giao với mọi đường tròn của một chùm đường tròn thì lập thành một chùm đường tròn khác.
Chứng minh:
Cho chùm đường tròn {(𝑂𝑛)}𝑛∈𝑁 và tập hợp các đường tròn {(𝑂′𝑚)}𝑚∈𝑁 mà (𝑂′ 𝑗) ⊥ (𝑂𝑖)với ∀𝑖, 𝑗 ∈ 𝑁. Vì (𝑂′𝑗) ⊥ (𝑂1, 𝑅1) và (𝑂′𝑗) ⊥ (𝑂2, 𝑅2) ⇒𝐏𝑂1/(𝑂′ 𝑗) = 𝑅12 và 𝐏𝑂 2/(𝑂′𝑗) = 𝑅22với ∀𝑗 ∈ 𝑁.
Theo Định lí 1 thì tập hợp các đường tròn{(𝑂′𝑚)}𝑚∈𝑁 lập thành một chùm đường tròn và trục đẳng phương của chùm {(𝑂𝑛)}𝑛∈𝑁.
28
Định nghĩa Hai chùm đường tròn {(𝑂𝑛)}𝑛∈𝑁, {(𝑂′𝑚)}𝑚∈𝑁 được gọi là liên hợp với nhau nếu (𝑂𝑛) ⊥ (𝑂′𝑚) với ∀𝑛, 𝑚 ∈ 𝑁.
Chú ý: Hai chùm đường tròn liên hợp với nhau, thì đường chứa tâm của chùm đường tròn này là trục đẳng phương của chùm đường tròn kia.
Ví dụ 3: Cho hai chùm đường tròn liên hợp với nhau, nếu chùm đường tròn thứ nhất là chùm Eliptic hoặc Parabolic hoặc Hypebolic thì chùm đường tròn thứ hai là chùm đường tròn loại nào?
Giải:
Cho hai chùm đường tròn {(𝑂𝑛, 𝑅𝑛)}𝑛∈𝑁, {(𝑂′ 𝑚, 𝑅′
𝑚)}𝑚∈𝑁 liên hợp với nhau. Gọi d và d’ lần lượt là đường chứa tâm của chùm{(𝑂𝑛, 𝑅𝑛)}𝑛∈𝑁,{(𝑂′
𝑚, 𝑅′
𝑚)}𝑚∈𝑁
⇒ d và d’ lần lượt là trục đẳng phương của chùm {(𝑂′
𝑚)} và {(𝑂𝑛)} ⇒ 𝑑 ⊥ 𝑑′ tại H⇒ 𝑂′𝑚𝑂𝑛2 = 𝑂′𝑚𝐻2+ 𝑂𝑛𝐻2. Mặt khác vì (𝑂′ 𝑚, 𝑅′𝑚) ⊥ (𝑂𝑛, 𝑅𝑛) ⇒ 𝑂′ 𝑚𝑂𝑛2 = 𝑅′ 𝑚2+ 𝑅𝑛2 ⇒ 𝑂′ 𝑚𝐻2+ 𝑂𝑛𝐻2 = 𝑅′ 𝑚2+ 𝑅𝑛2
Nếu {(𝑂𝑛, 𝑅𝑛)}𝑛∈𝑁 là chùm Eliptic thì trục đẳng phương d’ của chùm đó cắt đường tròn (𝑂𝑛, 𝑅𝑛)
⇒ 𝑂𝑛𝐻 < 𝑅𝑛 ⇒ 𝑂′𝑚𝐻 > 𝑅′𝑚
Suy ra trục đẳng phương d của chùm {(𝑂′𝑚)} không có điểm chung với đường tròn
(𝑂′𝑚, 𝑅′𝑚) ⇒ {(𝑂′𝑚, 𝑅′𝑚)}𝑚∈𝑁 là chùm Hypebolic.
Nếu {(𝑂𝑛, 𝑅𝑛)}𝑛∈𝑁 là chùm Hypebolic thì {(𝑂′𝑚, 𝑅′𝑚)}𝑚∈𝑁 là chùm Eliptic. Nếu {(𝑂𝑛, 𝑅𝑛)}𝑛∈𝑁 là chùm Parabolic thì trục đẳng phương d’ tiếp xúc đường tròn
(𝑂𝑛, 𝑅𝑛) ⇒ 𝑂𝑛𝐻 = 𝑅𝑛 ⇒ 𝑂′
𝑚𝐻 = 𝑅′𝑚
Suy ra trục đẳng phương d tiếp xúc đường tròn (𝑂′𝑚, 𝑅′𝑚) ⇒ {(𝑂′𝑚, 𝑅′𝑚)}𝑚∈𝑁 là chùm Parabolic.
29
CHƯƠNG 4 HÌNH ĐA GIÁC - HÌNH ĐA DIỆN
4.1. Hình da giác 4.1.1. Định nghĩa 4.1.1. Định nghĩa
Một tập gồm n đoạn thẳng A0A1, A1A2, ..., An-1An gọi là một đường gấp khúc. Mỗi đoạn thẳng đó gọi là một cạnh của đường gấp khúc. Điểm A0 gọi là điểm đầu, An gọi là
điểm cuối và các điểm A1, …, An-1 gọi là các đỉnh của đường gấp khúc.
Đường gấp khúc được gọi là một đa giác (n-giác) khi A0 An và Ai Aj nếu i j. Ký hiệu: A0A1A2…An.
Các đoạn thẳng A0A1, A1A2, ..., An-1An gọi là các cạnh của đa giác và các điểm A0, A1, A2 , …, An gọi là các đỉnh của đa giác.
4.1.2. Các loại đa giác a. Đa giác đơn a. Đa giác đơn
Đa giác đơn là đa giác mà các cạnh chỉ có thể cắt nhau tại các đầu mút (đỉnh đa giác), không có hai cạnh không kề nhau cắt nhau.
Chú ý: Đa giác có hai cạnh không kề nhau cắt nhau, điểm cắt nhau đó không phải là đỉnh của đa giác gọi là đa giác không đơn hay còn gọi là đa giác phức .