đối với các đa giác:
i) Bất kỳ đa diện nào đều có phân hoạch thành các hình tứ diện.
ii) Hai đa diện cùng đồng phân với đa diện thứ ba thì đồng phân với nhau.
4.4.2 Thể tích của khối đa diện
Định nghĩa Gọi Π là hàm tập hợp các đa diện trong không gian, hàm 𝑉: Π → 𝑅+
gọi là hàm thể tích nếu 𝑉 thỏa mãn các tính chất sau đây:
i) Nếu 𝐷 và 𝐷′ là hai đa diện bằng nhau (tức là có phép đẳng cự biến 𝐷 thành 𝐷′thì
𝑉(𝐷) = 𝑉(𝐷′).
ii) Nếu đa diện 𝐷 được phân hoạch thành các đa diện 𝐷1, 𝐷2, … , 𝐷𝑛thì
𝑉(𝐷) = 𝑉(𝐷1) + 𝑉(𝐷2) + ⋯ + 𝑉(𝐷𝑛).
iii) Nếu 𝑈 là hình lập phương có cạnh bằng 1 thì 𝑉(𝑈) = 1.
Khi đó giá trị 𝑉(𝐷) được gọi là thể tích của đa diện 𝐷, hoặc là thể tích của khối đa diện
[𝐷].
Người ta cũng chứng minh được định lí sau đây:
Định lí9: Hàm thể tích là tồn tại và duy nhất.
4.4.3 Thể tích các hình quen thuộc Thể tích của hình hộp chữ nhật Thể tích của hình hộp chữ nhật
Người ta cũng chứng minh được định lí sau
Định lí 10: Thể tích của hình hộp chữ nhật với kích thước 𝑎, 𝑏, 𝑐là 𝑉 = 𝑎𝑏𝑐.c
Thể tích của hình hộp đứng
Hình hộp đứng là hình hộp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Độ dài cạnh bên khi đó bằng khoảng cách giữa hai mặt đáy nên nó bằng chiều cao của hình hộp đó.
Định lí 11: Thể tích hình hộp đứng bằng tích của chiều cao và diện tích đáy. Chứng minh:
Giả sử 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 là hình hộp đứng (𝐴𝐴1 vuông góc với mặt đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷).
Ta lấy một hình hộp chữ nhật 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′. 𝐴1′𝐵1′𝐶1′𝐷1′ với 𝐴′𝐴1′ = 𝐴𝐴1và 𝑆(𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′) = 𝑆(𝐴𝐵𝐶𝐷).
42
Khi đó hình bình hành 𝐴𝐵𝐶𝐷 và hình chữ nhật 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ đồng phân vì có diện tích bằng nhau.
Nhưng mỗi phân hoạch của hình bình hành 𝐴𝐵𝐶𝐷 thành các đa giác sẽ sinh ra một phân hoạch của hình hộp đứng 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 thành các hình lăng trụ đứng.
Tương tự, mỗi phân hoạch của hình chữ nhật 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ cũng sinh ra một phân hoạch của hình hộp chữ nhật 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′. 𝐴1′𝐵1′𝐶1′𝐷1′ thành các hình lăng trụ đứng.
Từ đó suy ra hình hộp đứng đã cho đồng phân với hình hộp chữ nhật và do đó chúng có cùng thể tích. Vậy:
𝑉(𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1) = 𝑉(𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′. 𝐴1′𝐵1′𝐶1′𝐷1′) = 𝐴′𝐴′1. 𝑆(𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′) = 𝐴𝐴1. 𝑆(𝐴𝐵𝐶𝐷).
4.4.4Thể tích hình hộp bất kỳ
Định lí 12: Thể tích của hình hộp bằng tích số đo của diện tích một đáy và chiều cao tương ứng.
Chứng minh:
Cho hình hộp 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1. Gọi 𝑆 là diện tích đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 và chiều sao tương ứng là ℎ
(ℎ là khoảng cách giữa hai mặt phẳng 𝐴𝐵𝐶𝐷và 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1).
Ta dựng một mặt phẳng đi qua 𝐵𝐶 và vuông góc với mặt phẳng 𝐴𝐵𝐶𝐷, nó cắt hai đường thẳng 𝐴1𝐵1 và 𝐶1𝐷1 lần lượt tại 𝐵2 và 𝐶2.
Dựng một mặt phẳng đi qua 𝐴𝐷 và vuông góc với mặt phẳng 𝐴𝐵𝐶𝐷, nó cắt hai đường thẳng 𝐴1𝐵1 và 𝐶1𝐷1 lần lượt tại 𝐴2 và 𝐷2.
Dựng một mặt phẳng đi qua 𝐴𝐵 và vuông góc với mặt phẳng 𝐴𝐵𝐶𝐷, nó cắt hai đường thẳng 𝐵2𝐶2 và 𝐴2𝐷2 lần lượt tại 𝐵3 và 𝐴3.
Dựng mặt phẳng đi qua 𝐶𝐷 và vuông góc với mặt phẳng 𝐴𝐵𝐶𝐷, nó cắt hai đường thẳng
𝐵2𝐶2 và 𝐴2𝐷2 lần lượt tại 𝐶3 và 𝐷3.
Tương tự như trên hai hình hộp 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐴2𝐵2𝐶2𝐷2 và 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐴3𝐵3𝐶3𝐷3 có thể tích bằng nhau.
Nhưng 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐴3𝐵3𝐶3𝐷3 là hình hộp đứng nên thể tích của nó bằng 𝐴𝐴3. 𝑆(𝐴𝐵𝐶𝐷) = ℎ. 𝑆. Tóm lại
𝑉(𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1) = ℎ. 𝑆.
Thể tích lăng trụ
43
Chứng minh:
Trước hết ta xét hình lăng trụ tam giác 𝐴𝐵𝐶. 𝐴1𝐵1𝐶1. Lấy 𝐷 và 𝐷1 là các điểm sao cho 𝐴𝐵𝐶𝐷 và 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 là những hình bình hành.
Khi đó ta được hai lăng trụ bằng nhau 𝐴𝐵𝐶. 𝐴1𝐵1𝐶1 và
𝐷𝐵𝐶. 𝐷1𝐵1𝐶1 và tổng thể tích của chúng bằng hình hộp
𝐴𝐵𝐷𝐶. 𝐴1𝐵1𝐷1𝐶1. Vậy:
𝑉(𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1) =1