c. Mở rộng khái niệm diện tích-Diện tích hình tròn
4.3.4 Sơ đồ phẳng của các hình đa diện
Cho một hình đa diện 𝐷, bỏ đi một mặt 𝐻 nào đó của nó và đánh số các mặt còn lại là
𝑀𝑖, gọi các đỉnh của 𝐷 là Đj, các cạnh của 𝐷 là 𝐶𝑘.
Ta giả sử trên mặt phẳng nào đó có một hình 𝐷′ gồm các đa giác 𝑀𝑖′ đôi một không có điểm chung, các điểm Đ’j và các đoạn 𝐶𝑘′ thỏa mãn các tính chất sau đây:
i) Nếu các cạnh 𝐶𝑘 là cạnh của mặt 𝑀𝑖 thì đoạn thẳng 𝐶𝑘′ là cạnh của đa giác 𝑀𝑖′ và ngược lại.
ii) Nếu đỉnh Đj là mút của cạnh 𝐶𝑘 thì điểm Đ’j là mút của đoạn thẳng 𝐶𝑘′ và ngược lại. Trong trường hợp đó hình 𝐷′ được gọi là sơ đồ phẳng của đa diện 𝐷 (ứng với mặt 𝐻
đã bỏ đi)
Hình trên là sơ đồ phẳng của tứ diện 𝐴𝐵𝐶𝐷 với mặt (𝐴𝐵𝐶) bỏ đi. Sau đây là một số ví dụ vẽ sơ đồ phẳng:
38
a.Định nghĩa: Một hình đa diện được gọi là đơn liên nếu nó có một sơ đồ phẳng.
Định lý 6: Hình đa diện lồi là đơn liên.
Chứng minh:
Ta chọn một mặt 𝐻 bất kỳ của đa diện lồi 𝐷. Lấy một điểm 𝑂 nằm ngoài 𝐷 nhưng khá gần mặt phẳng chứa 𝐻.
Dùng phép chiếu tâm 𝑂, ta chiếu 𝐷 lên mặt phẳng chứa 𝐻. Có thể chọn 𝑂 sao cho ảnh của
𝐷 qua phép chiếu đó chính là hình [𝐻].
Điều đó có nghĩa là các đường thẳng nối 𝑂 với các đỉnh của
𝐷 cắt mặt phẳng chứa 𝐻 tại các điểm là những điểm trong của 𝐻 hoặc là đỉnh của 𝐻.
Khi đó dễ thấy rằng ảnh của các mặt (trừ mặt 𝐻), của các cạnh và các đỉnh của 𝐷 là một sơ đồ phẳng của 𝐷 ứng với mặt 𝐻.
Chú ý: Không phải đa diện nào cũng có sơ đồ phẳng, tức là có những đa diện không đơn liên.
39
Ví dụ: Hình bên là một đa diện không đơn liên.