1 RAB RAC RAD RYA PXA R AB RBCRBDRYBP XB
7.2. Hệ thống thú dữ-con mồi, mô hình động học Lotka-Volterra
Một trong những mô hình phổ biến nhất trong toán sinh thái là mô hình của hệ thống bao gồm hai quần thể khác nhau, một trong hai quần thể là những thức ăn cho những cá thể của quần thể kia. Quan hệ này rất phổ biến trong tự nhiên và đ−ợc gọi là mối quan hệ “thú dữ - vật mồi” lần đầu tiên đ−ợc đ−a ra bởi Lotka-Volterra (1925) d−ới dạng hệ ph−ơng trình vi phân sau:
dN1 = dt (a1 – b1N2)N1 dN2 = dt (- a2 + b2N1)N2 Với: a1, a2, b1, b2 >0 (1)
a1: biểu thị đốc độ tăng tr−ởng của mỗi cá thể trong quần thể vật mồi N1 khi không có mặt quần thể thú dữ N2
a2: biểu thị hệ số suy giảm của mỗi cá trong thể quần thể thú dữ N2 khi không có mặt quần thể vật mồi N1
b1N2: là l−ợng suy giảm đốc độ tăng tr−ởng của mỗi cá thể trong quần thể vật mồi N1 khi có mặt quần thể thú dữ N2
a2N1: là lựơng tăng thêm của tốc độ tăng tr−ởng mỗi cá thể trong quần thể thú dữ N2 khi có mặt quần thể vật mồi N1
Để giải (1) ta đ−a về dạng: dN1 (a1 – b1N2)N1 = dN2 (- a2 + b2N1)N2 dN1 dN2 a2 - b2*dN1 + a1 - b1*dN2 N1 N2 a2 lnN1 - b2dN1 + a1lnN2 - b1dN2 = C (2)
Nghiệm của (2) biểu diễn một họ các đừơng cong, mỗi đ−ờng cong t−ơng ứng với một hằng số C nào đó - đây là đồ thị của mô hình Lotka- Volterra
Ví dụ: Với a1 = 1, a2 = 0.5, b1 = 0.1 và b2 = 0.02
khi đó ta có : N*1 = 25 và N*2 = 10. ta sẽ có đồ thị nh− sau:
Trạng thái cân bằng của hệ “thú dữ - con mồi“ (với k = 2) trong đó a11= 0; a12 = - b1a2/b2 ; a21 = a1b2/b1; a22 = 0
Hệ ổn định khi
a11+ a22< 0 a11a22 > a12a21
Với mô hình này ta có
a11+ a22 = 0 a1a2 b1 b2
> 0 b1 b2
Nh− vậy: ch−a thể kết luận hệ trên có thể ổn định hay không. Khi đó nghiệm cân bằng của hệ sẽ có là: a1 – b1N2= 0 và - a2 + b2N1 = 0
N*1 = a2/b2 và N*2 = a1/b1