Xác định vị trí củ aM trên nửa đường trịn để DE=EF

Do DE=FE nên EM là trung tuyến củavuơng FDM ED=EM.

Vì DMA DAM  và DMA EMD  =1v;DAM DEM  =1v EDM DEM  hayEDM cân ở D hay DM=DE.

Từvà EDM làđều  ODM =60o AOM=60o. Vậy M nằm ở vị trí sao cho cung AM=1 . 3 nửa đường trịn.

Bài 50:

Cho hình vuơng ABCD,E là một điểm thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đường thẳng vuơng gĩc với DE ,đường này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K.

1. Chứng minh:BHCD nội tiếp. 2. Tính gĩc CHK.

3. C/m KC. KD=KH. KB.

GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc 65 H×nh 50 K H B D C A E 5. Gợi ý 1 . C/m BHCD nt (Sử dụng H và C cùng nhìn đoạn thẳng DB…) 2 . Tính gĩc CHK: Do BDCE nt  DBC DHK  (cùng chắn cung DC) mà DBC = 45o (tính chất hình vuơng)  DHC =45o mà DHK =1v (gt) CHK= 45o. 3. C/m KC.KD=KH.KB.

Chứng minh hai tam giác vuơng KCB và KHD đồng dạng.

4 . Do BHD=1v khơng đổiE di chuyển trên BC thì H di động trên đường trịn

đường kính DB.

Bài 51:

Cho (O), từ một điểm A nằm ngồi đường trịn (O), vẽ hai tia tiếp tuyến AB và AC với đường trịn. Kẻ dây CD//AB. Nối AD cắt đường trịn (O) tại E.

1. C/m ABOC nội tiếp. 2. Chứng tỏ AB2=AE. AD.

3. C/m gĩc AOC ACB  vàBDC cân. 4. CE kéo dài cắt AB ở I. C/m IA=IB. 1 . C/m: ABOC nội tiếp:(HS tự c/m)

I

ED D

B

2 . C/m: AB2=AE. AD. Chứng minhADB ∽ABE , vì cĩ E chung. Sđ ABE =

2

1sđ cung BE (gĩc giữa tia tiếp tuyến và 1 dây) Sđ BDE=

2

1 sđ BE (gĩc nội tiếp chắn BE) 3. C/m AOC ACB 

* Do ABOC nội tiếp AOC ABC  (cùng chắn cung AC); vì AC = AB (t/c 2 tia tiếp tuyến cắt nhau) ABC cân ở AABC ACB  AOC ACB 

* sđ ACB=

2

1 sđ BEC (gĩc giữa tia tiếp tuyến và 1 dây); sđ BDC =

2

1sđ BEC (gĩc nội tiếp)

 BDC=ACB mà ABC=BDC (do CD//AB) BDC BCD   BDC cân ở B.

4 . Ta cĩ I chung; IBE ECB  (gĩc giữa tia tiếp tuyến và 1 dây; gĩc nội tiếp chắn cung BE) IBE∽ICB

ICIB IB IB

IE  IB2=IE. IC

Xét 2 IAE và ICA cĩ I chung; sđ IAE =

2

1 sđ (DB BE  ) mà BDC cân ở B

 

DB BC sđ IAE=s (BC-BE) = s CE= s ECA  1   2   IAE  ICA IA IE IC IA  IA2= IE. IC Từ vàIA2= IB2 IA = IB Bài 52:

Cho ABC (AB=AC); BC=6; Đường cao AH=4(cùng đơn vị độ dài), nội tiếp trong (O) đường kính AA’.

1. Tính bán kính của (O).

2. Kẻ đường kính CC’. Tứ giác ACA’C’ là hình gì? 3. Kẻ AKCC’. C/m AKHC là hình thang cân.

GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc

4. QuayABC một vịng quanh trục AH. Tính tích tích xung quanh của hình

được tạio ra.

Gợi ý

1 . Tính OA:

Ta cĩ BC=6 đường cao AH=4

AB=5; ABA’ vuơng ở BBH2=AH.A’H

A’H= AH BH2 = 4 9 AA’=AH+HA’= 4 25 AO= 8 25 2. ACA’C’ là hình gì?

Do O là trung điểm AA’ và CC’ ACA’C’ là

Hình bình hành. Vì AA’=CC’ (đường kính của đường trịn)

AC’A’C là hình chữ nhật. 3. C/m: AKHC là thang cân:

 ta cĩ AKC AHC  = 1v AKHC nội tiếp HKC HAC  (cùng chắn cung HC) mà

OAC cân ở O  OAC OCA   HKC HCA   HK//ACAKHC là hình thang.

Ta lại cĩ:KAH KCH   (cùng chắn cung KH)  KAO OAC KCH OCA       Hình thang AKHC cĩ hai gĩc ở đáy bằng nhau. Vậy AKHC là thang cân.

4 . Khi QuayABC quanh trục AH thì hình được sinh ra là hình nĩn. Trong đĩ BH là bán kính đáy; AB là đường sinh; AH là đường cao hình nĩn.

Sxq= 2 1p. d= 2 1. 2. BH. AB=15 V= 3 1B. h= 3 1BH2. AH=12 Bài 53:

Cho(O) và hai đường kính AB; CD vuơng gĩc với nhau. Gọi I là trung điểm OA. Qua I vẽ dây MQOA (Mcung AC ; QAD). Đường thẳng vuơng gĩc với MQ tại M cắt (O) tại P.

1. C/m: a/ PMIO là thang vuơng. b/ P; Q; O thẳng hàng.

2. Gọi S là Giao điểm của AP với CQ. Tính Gĩc CSP. 3. Gọi H là giao điểm của AP với MQ. Cmr:

Hình 52 H K C' C A' A O B

a/ MH. MQ= MP2.

b/ MP là tiếp tuyến của đường trịn ngoại tiếpQHP.

Gợi ý

1.

a. C/m MPOI là thang vuơng. Vì OIMI; COIO (gt)

CO//MI mà MPCOMPMI

MP//OIMPOI là thang vuơng. b/ C/m: P; Q; O thẳng hàng:

Do MPOI là thang vuơngIMP=1v hay QMP=1vQP là đường kính của (O)

Q; O; P thẳng hàng. 2 . Tính gĩc CSP: Ta cĩ:sđ CSP= 2 1sđ(AQ CP  ) (gĩc cĩ đỉnh nằm trong đường trịn) mà cung CP = CM và CM=QD CP=QDsđ CSP= 2 1sđ(AQ CP  ) = sđ CSP= 2 1sđ (AQ QD  ) = 2 1sđ AD=45o. Vậy CSP = 45o.

3. a/ Xét hai tam giác vuơng: MPQ và MHP cĩ : Vì  AOM cân ở O; I là trung điểm AO; MIAO  MAO là tam giác cân ở M  AMO là tam giác đều  sđ



AM = 60ovà sđ MC= sđ CP =30osđ MP= 60o  AM MP  

 MPH MQP  (gĩc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) MHP  MQP

đpcm.

b/ C/m MP là tiếp tuyến của đường trịn ngoại tiếpQHP.

Gọi J là tâm đường trịn ngoại tiếpQHP. Do sđ AQ = sđ MP = 60o HQP cân ở

H và QHP =120oJ nằm trên đường thẳng HO HPJ là tam giác đều mà HPM = 30o  MPH HPJ MPJ    = 90o hay JPMP tại P nằm trên đường trịn ngoại tiếp

HPQđpcm.

Bài 54:

Cho (O;R) và một cát tuyến d khơng đi qua tâm O. Từ một điểm M trên d và ở ngồi (O) ta kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với trênờmg trịn; BO kéo dài cắt (O) tại

Hình 53 S J H M P Q I D C O A B

GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc

điểm thứ hai là C. Gọi H là chân đường vuơng gĩc hạ từ O xuống d. Đường thẳng vuơng gĩc với BC tại O cắt AM tại D.

1. C/m A; O; H; M; B cùng nằm trên 1 đường trịn. 2. C/m AC//MO và MD=OD.

3. Đường thẳng OM cắt (O) tại E và F. Chứng tỏ MA2=ME. MF

4. Xác định vị trí của điểm M trên d để MAB là tam giác đều. Tính tích tích

phần tạio bởi hai tia tiếp tuyến với đường trịn trong trưđường hợp này.

Gợi ý

1 . Chứng minh OBM OAM OHM    =1v 2 . C/m AC//OM: Do MA và MB là hai tt cắt nhauBOM OMB  và

MA = MBMO là đường trung trực của ABMOAB. Mà BAC= 1v (gĩc nt chắn nửa đường trịn)

CA AB. Vậy AC//MO.

C/mMD=OD. Do OD//MB (cùngCB) DOM OMB  (so le) mà OMB OMD 

(cmt) DOM DMO   DOM cân ở Dđpcm.

3. C/m: MA2= ME. MF: Xét hai tam giác AEM và MAF cĩ Mchung. sđ EAM=

2

1sđ AE(gĩc giữa tia tiếp tuyến và 1 dây)

sđ AFM = 2

1sđAE (gĩc nội tiếp chắn cung AE)  EAM AFM  

MAE  MFAđpcm.

4 . Vì AMB là tam giác đều  OMA =30oOM = 2OA = 2OB = 2R

Gọi tích tích cần tính là S. Ta cĩ S = S OAMB- Squạt AOB Ta cĩ AB=AM= OM2 OA2 =R 3S AMBO= 2 1BA. OM = 2 1. 2R. R 3= R2 3 Squạt= 360 120 . 2 R  = 3 2 R  S = R2 3 - 3 2 R  =  3 3 3  R2 Bài 55:

Cho nửa (O) đường kính AB, vẽ các tiếp tuyến Ax và By cùng phía với nửa đường trịn. Gọi M là điểm chính giữa cung AB và N là một điểm bất kỳ trên đoạn AO. Đường thẳng vuơng gĩc với MN tại M lần lượt cắt Ax và By ở D và C.

1. C/m: AMN BMC  . Hình 54 d H C E O F B A D

2. C/m: ANM = BMC.

3. DN cắt AM tại E và CN cắt MB ở F. C/m FEAx. 4. Chứng tỏ M củng là trung điểm DC.

Gợi ý

1 . C/m: AMN BMC  .

Ta cĩ AMB =1v (gĩc nội tiếp chắn nửa đường trịn) và do NMDCNMC=1v VậyAMB AMN NMB NMB BMC        =1v

 AMN BMC  

2 . C/mANM = BCM:

Do s®AM s®MB  = 90oAM = MB

và MAN MBA  = 45o (AMB vuơng cân ở M)

 MAN MBC = 45o.

Theo c/m trên thì CMB AMN   ANM = BCM( gcg)