dư thu gọn
2.2.1. Tập các lớp thặng dư
Định nghĩa 2.2. 8
Các lớp tương đương theo quan hệ đồng dư môđun m được gọi là các lớp thặng dư môđun m.
Mỗi phần tử A của m được gọi là một lớp thặng dư môđun m.
Mỗi lớp thặng dư A môđun m có dạng a(mod m), với a là một phần tử tùy ý của A, phần tử a như thế được gọi là một đại diện của lớp A và cũng còn gọi là một thặng dư môđun m.
Ví dụ2.2.
Trong 8, lớp thặng dư 3 (mod 8) là
3 x│x 3 (mod 8) ..., 13, 5, 3, 11, 19, ... Nhận xét 2.2. Ta có a) b a(mod m) b a(mod m) b a, b) b a(mod m) b a(mod m) b a . Nhận xét 2.3.
Tất cả các thặng dư của cùng một lớp thặng dư có cùng ước chung lớn nhất với môđun. Từ đây, ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 2.3. 8
Ước chung lớn nhất của một lớp với môđun là ước chung lớn nhất của một thặng dư tùyý của lớp đó với môđun.
Khi ƯCLN bằng 1, ta nói lớp thặng dư A là lớp nguyên tố với
môđun.
Trong 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ta có các lớp nguyên tố với
môđun 8 là 1, 3, 5, 7.
Chú ý 2.1.
a) Tập hợp các lớp của m nguyên tốvới môđun được kí hiệu bởi *
m
. b) Sốcác phần tử của tập hợp *m được kí hiệu là ( )m , với ( )m là các sốtự nhiên không vượt quá m1 và nguyên tốvới m.
Ví dụ2.4. a) * 8 1, 3, 5, 7 b) (1) 1, (8) 4, ( )p p 1 nếu p là một sốnguyên tố. 2.2.2. Hệ thặng dư đầy đủ Định nghĩa 2.4. 8
Cho m là một số nguyên dương. Tập hợp H gồm những số nguyên lấy ra ở mỗi lớp thặng dư của m một và chỉ một số được gọi là một hệ
thặng dư đầy đủ môđun m (viết tắt là hệ TDĐĐ mod m).
Nhận xét 2.4. H là hệ thặng dư đầy đủ thì:
Các phần tửcủa H đôi một không đồng dư với nhau theo môđun m.
Mỗi số nguyên tùy ý đều đồng dư theo môđun m với một số nào đó
thuộc H.
Ví dụ2.5.
a) Với m 8 ta có 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 là một hệ thặng dư đầy đủ môđun 8, nó được gọi là hệ thặng dư đầy đủ không âm nhỏ nhất;
3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4 là một hệ thặng dư đầy đủ môđun 8, hệ này
được gọi là một hệ thặng dư đầy đủ giá trịtuyệtđối nhỏnhất. b) Tổng quát
H 0, 1, ..., m1 là một hệ thặng dư đầy đủ môđun m và nó được gọi là hệthặng dư đầy đủkhông âm nhỏnhất.
Với m là một sốlẻ, ta có H 1, 1 1, ... , 1