dư thu gọn
2.3. Phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn 1 Một số khái niệm về phương trìnhđồng dư
Định nghĩa 2.6. 8
Giả sử g x( ) và h x( ) là những đa thức của ẩn x với hệ sốnguyên và
m là một số nguyên dương. Khi đó các mệnh đề chứa biến (ẩn) dạng ( ) ( ) (mod )
g x h x m hoặc f x( ) g x( ) h x( ) 0 (mod m) gọi là phương trìnhđ ồng dư một ẩn.
Định nghĩa 2.7. 8
a) Cho f x( ) x , nếu x x0 ta có f x( )0 0 (mod m) thì ta nói x nghiệm đúng phương tr0 ình f x( ) 0 (mod m).
b) Giải một phương trình đồng dư là tìm tập hợp tất cả các giá trị của ẩn nghiệm đúng phương trìnhđồng dư đó.
c) Giảsử f x( ), g x( ) x . Ta nói hai phương trìnhđồng dư 1 2 ( ) 0 (mod ) ( ) 0 (mod ) f x m g x m
tương đương với nhau nếu như tập hợp các giá trị nghiệm đúng phương
trình này bằng tập hợp các giá trị nghiệm đúng phương trình kia. Khi ấy, ta viết f x( ) 0 (mod m1) g x( ) 0 (mod m2).
Định nghĩa 2.8. 1 Những phép biến đổi tương đương thường gặp
a) Nếu ta cộng hay trừhai vế của một phương trình với cùng một đa thức có hệ sốnguyên thì tađược một phương trình mới tương đương.
b) Nếu ta thêm hay bớtởmột vếcủa phương trìnhđồng dư theo môđun m
một bội của môđun m thì tađược phương trình mới tương đương.
Nếu nhân các hệ sốcủa f x( ) với một số nguyên, nguyên tốvới m thì
ta được một phương trình mới tương đương.
Nếu chia các hệ số của f x( ) cho cùng một ước chung nguyên tố với
m thì tađược một phương trình mới tương đương.
Nếu nhân các hệ số của f x( ) và môđun m với cùng một số nguyên
dương thì ta được một phương trình mới tương đương.
Nếu chia các hệ số của f x( ) và môđun m với cùng một ước chung
dương của chúng thì tađược một phương trình mới tương đương.
Định nghĩa 2.9. 1
Xét phương trìnhđồng dư f x( ) 0 (mod m) (2)
ở đó 1
0 1 ...
( ) n n
n
f x a x a x a với a0, a1, ..., an .
Trong phương trình (2) nếu a0 0 (mod m) thì ta nói rằng n là bậc của phương trìnhđồng dư (2).
Ví dụ2.7.
Phương trình 5 4 2
12x - 7x + x + 6x + 8 0 (mod 3) tương đương
với phương trình 4 2
2x + x + 2 0 (mod 3) và bậc của nó là n = 4.