dư thu gọn
2.3.3. Phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn Định nghĩa 2.11
Định nghĩa 2.11. 2
Phương trìnhđồng dư có dạng ax b(mod m) (3)
với a 0 (mod m) được gọi là phương trìnhđ ồng dư bậc nhất mộtẩn.
Định lí 2.4. 2
Phương trình (3) có nghiệm khi và chỉ khi ước chung lớn nhất d của
a và m là một ước của b. Khi (3) có nghiệm thì nó có d nghiệm.
Chứng minh:
Giảsử (3) có nghiệm, nghĩa là có x0 sao cho ax0 b(mod m). Giảthiết d = ƯCLN(a, m) suy ra d là một ước chung của ax0 và m nên d là một ước của b.
Ngược lại, giả sử ƯCLN(a, m) = d là ước của b. Bằng cách đặt
1
a a d, b b d , m1 m d1 ta có phương trình (3) tương đư ơng với
phương trình a x1 b1 (mod m1) (4)
ở đó a1 và m1 nguyên tốcùng nhau. Ta cho x chạy qua một hệ thặng dư đầy đủ môđun m1 thì a x1 cũng chạy qua một hệ thặng dư đầy đủ môđun
1
m , do đó tồn tại duy nhất x0 sao cho a x1 0 cùng lớp với b1, nghĩa là
1 0 1(mod 1)
a x b m .
Vậy phương trình (4) có nghiệm duy nhất là lớp x0 (mod m1).
Nhưng phương trình (3) tương đương v ới phương trình (4) cho nên lớp x0 (mod m1) cũng là tập hợp các giá trị nghiệm đúng phương trình (3). Ta biết rằng lớp x0 (mod m1) gồm đúng d lớp x0 (mod m),
0 1 (mod )
phương trình (3).
Ví dụ2.9.
a) Phương trình 4x 5 (mod 10) không có nghiệm, vì ƯCLN(4, 10) =
2 không là ước của 5.
b) Phương trình 2x 8 (mod 10) tương đương với phương trình
4 (mod 5)
x . Thử trên hệ thặng dư đầy đủ môđun 5 là
0, 1, 2, 3, 4. Khi đó chỉcó 4 là thỏa mãn phương trình.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x 4 (mod 10), 9 (mod 10)
x .
Chú ý 2.3. Một vài phương pháp giải phương trình (3)
Theo lập luận trên, thì phương trìnhđ ồng dư bậc nhất luôn đưa được về phương trình đồng dư dạng ax b(mod m) với điều kiện a và m
nguyên tố cùng nhau và nghiệm của phương trình này là duy nhất. Do đó,
ta chỉ cần tìm một nghiệm của ax b(mod m), ƯCLN( ,a m) 1 , 0 a m, b m. Sau đây là một sốcách giải thường được sửdụng: