dư thu gọn
2.3.3.Phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn Định nghĩa 2.11
Định nghĩa 2.11. 2
Phương trìnhđồng dư có dạng ax b(mod m) (3)
với a 0 (mod m) được gọi là phương trìnhđ ồng dư bậc nhất mộtẩn.
Định lí 2.4. 2
Phương trình (3) có nghiệm khi và chỉ khi ước chung lớn nhất d của
a và m là một ước của b. Khi (3) có nghiệm thì nó có d nghiệm.
Chứng minh:
Giảsử (3) có nghiệm, nghĩa là có x0 sao cho ax0 b(mod m). Giảthiết d = ƯCLN(a, m) suy ra d là một ước chung của ax0 và m nên d là một ước của b.
Ngược lại, giả sử ƯCLN(a, m) = d là ước của b. Bằng cách đặt
1
a a d, b b d , m1 m d1 ta có phương trình (3) tương đư ơng với
phương trình a x1 b1 (mod m1) (4)
ở đó a1 và m1 nguyên tốcùng nhau. Ta cho x chạy qua một hệ thặng dư đầy đủ môđun m1 thì a x1 cũng chạy qua một hệ thặng dư đầy đủ môđun
1
m , do đó tồn tại duy nhất x0 sao cho a x1 0 cùng lớp với b1, nghĩa là
1 0 1(mod 1)
a x b m .
Vậy phương trình (4) có nghiệm duy nhất là lớp x0 (mod m1).
Nhưng phương trình (3) tương đương v ới phương trình (4) cho nên lớp x0 (mod m1) cũng là tập hợp các giá trị nghiệm đúng phương trình (3). Ta biết rằng lớp x0 (mod m1) gồm đúng d lớp x0 (mod m),
0 1 (mod )
phương trình (3).
Ví dụ2.9.
a) Phương trình 4x 5 (mod 10) không có nghiệm, vì ƯCLN(4, 10) =
2 không là ước của 5.
b) Phương trình 2x 8 (mod 10) tương đương với phương trình
4 (mod 5)
x . Thử trên hệ thặng dư đầy đủ môđun 5 là
0, 1, 2, 3, 4. Khi đó chỉcó 4 là thỏa mãn phương trình.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x 4 (mod 10), 9 (mod 10)
x .
Chú ý 2.3. Một vài phương pháp giải phương trình (3) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Theo lập luận trên, thì phương trìnhđ ồng dư bậc nhất luôn đưa được về phương trình đồng dư dạng ax b(mod m) với điều kiện a và m
nguyên tố cùng nhau và nghiệm của phương trình này là duy nhất. Do đó,
ta chỉ cần tìm một nghiệm của ax b(mod m), ƯCLN( ,a m) 1 , 0 a m, b m. Sau đây là một sốcách giải thường được sửdụng: