Vành m các lớp thặng dư môđun

e) Cách 5: Dùng thuật toán Ơ-clit

2.5.1. Vành m các lớp thặng dư môđun

Trên tập m  a a;   các lớp thặng dư môđun m, ta định nghĩa hai quy tắc cộng và nhân các lớp thặng dư thu gọn như sau:

a b  a b và a b.  ab với mọi a b,  .

Khi đó dễ kiểm tra được các quy tắc này là những phép toán hai ngôi, và gọi là phép toán cộng và nhân các lớp thặng dư môđun m. Cũng dễ

kiểm tra được rằng, tập m cùng với hai phép toán này lập thành một

vành giao hoán có đơn vị 1 và 0 .

Định nghĩa 2.12.  8

Cho một số nguyên dương m. Ta gọi vành m được xác định như

trên là vành các lớp thặng dư môđun m, hay còn gọi là vành các sốnguyên

môđun m. Lớp am được gọi là một lớp khả nghịch, nếu tồn tại m b để a b.  1. Định lí 2.5.  8 Lớp a là phần tử khả nghịch trong vành m nếu và chỉ nếu ƯCLN( ,a m)  1. Chứng minh: Lớp a m là khả nghịch khi và chỉ khi tồn tại b  m để . 1

a b  hay ab  1. Điều này tương đương với tồn tại b   để

1 (mod )

ab  m , hay tồn tại b   và x   để ab  mx  1. Như

Nhận xét 2.7.

Tập *m các lớp của m nguyên tốvới môđun chính là tập các phần tửkhả nghịch của vành m.

Định lí 2.6.  8

*

m

 là một nhóm nhân giáo hoán có cấp là ( )m .

Chứng minh:

Trước tiên ta chỉ ra *m đóng đối với phép nhân. Giả sử lớp

*

, m

a b   . Vì ƯCLN( ,a m)  1 và ƯCLN( ,b m)  1, nên (ab m, )  1. Điều này chứng tỏ a b. *m hay *m đóng đối với phép

nhân. Hơn nữa, phép nhân các lớp thặng dư thỏa mãn luật kết hợp và

*

1  m. Do đó, *m là một vị nhóm. Lại có, a*m nên tồn tại

m

b  để a b.  1. Do đó, b khả nghịch hay b*m. Vậy *m là một nhóm giao hoán với phép nhân nói trên. Vì các phần tử của *m chính là các phần tử của m nguyên tốvới môđun, nên *m  ( )m .

Nhận xét 2.8.

Khi m  p là một số nguyên tố, thì mọi phần tử khác 0 trong p

đều khả nghịch. Do đó, p là một trường và *p có ( )p  p 1 phần tử.