Giả sử a là một số nguyên nguyên tố với m Khi ấy nếu x chạy qua một hệthặng dư thu gọn môđunm thì ax cũng chạy qua một hệ

dư thu gọn

2.3.3. Giả sử a là một số nguyên nguyên tố với m Khi ấy nếu x chạy qua một hệthặng dư thu gọn môđunm thì ax cũng chạy qua một hệ

thặng dư thu gọn môđun m.

Chứng minh:

Giả sử x chạy qua một hệ TDTG mod m là x1, x2,..., x(m). Ta chứng minh rằng ax1, ax2,..., ax(m) cũng là một hệ thặng dư môđun m. Ta thấy đây là một hệ gồm ( )m sốnguyên nguyên tố với môđun m vì

( ,a m)  1, ( ,xi m)  1 với i  1, 2, ... ( )m . Vì vậy, theo tính chất 2.3.2 ở trên ta chỉ cần chứng minh rằng với i  j (1  i, j  ( ))m có (mod ) i j ax  b  ax  b m . Thật vậy, giả sử trái lại rằng (mod ) (mod ) i j i j ax  b ax b m  ax  ax m

Nhưng ƯCLN(a, m)  1 nên từ đó suy ra xi  xj (mod m),

(1  i j  ( ) )m . Điều này không thể được vì xi và xj là hai thặng

dư khác nhau của một hệTDTG mod m.

Định lí 2.1.  6 (Định lí Euler)

Giả sử m là một số nguyên dương và a là một sốnguyên nguyên tố

với m. Khi ấy, ta có ( )

1(mod )

m

a  m .

Chứng minh:

Ta cho x chạy qua hệ thặng dư thu gọn mod m không âm nhỏ nhất r r1, 2, ... , r(m). Khi ấy, tập hợp ar ar1, 2, ... , ar(m) cũng là một hệ

thặng dư thu gọn mod m . Gọi s1, s2, ... , s(m) là các thặng dư không âm nhỏnhất tương ứng cùng lớp với ar ar1, 2, ... , ar(m) thì ta có: 1 1 (mod ) ar  s m , 2 2 (mod ) ar  s m , ……… (m) (m) (mod ) a r  s m ,

ta sẽ được s1, s2, ... , s(m) cũng là hệ thặng dư thu gọn mod m không âm nhỏnhất.

Bằng cách nhân vếvới vế của ( )m đồng dư thức trên ta được:

( ) 1 2 ... ( ) 1 2 ... ( ) (mod ) 1 2 ... ( ) 1 2 ... ( ) (mod ) m m m a r r r  s s s m . Bởi vì r r1, 2, ... , r(m) và s1, s2, ... , s(m) cùng là hệ thặng dư

thu gọn mod m không âm nhỏ nhất nên ta có r r1 2 ...r(m)  s s1 2...s(m), từ đó ( )

1 2 ... ( ) 1 2... ( ) (mod )

m

m m

a r r r  r r r m .

Nhưng r r1 2...r(m) nguyên tốvới m (vì từng thừa sốcủa nó nguyên tố

với m), nên ta có thể chia hai vế của đồng dư thức trên cho r r ...r1 2 (m) ta

được a( )m  1(mod m).

Định lí 2.2.  3 (Định lí Fermat)

Cho p là một sốnguyên tốvà a là một sốnguyên không chia hết cho

p. Khiấy ta có ap1  1 (mod p).

Chứng minh:

Theo giả thiết ta có ( )p  p  1 và ( ,a p)  1 nên theo định lí Euler ta có ap1  1 (mod p).

2.3. Phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn2.3.1. Một số khái niệm về phương trìnhđồng dư