Như đã trình bày ởChương 1, bước tiếp theo trong nghiên cứu một hiện tượng là thiết lập mô hình toán học để mô tả hiện tượng được nghiên cứu. Đối với nghiên cứu nhằm
tăng hiệu suất phản ứng có sử dụng xúc tác ở trên (mục 2.1.2), mô hình toán học được sử dụng là mô hình hồi quy tuyến tính bậc một có dạng (2.18):
o i i ij i j ijl i j l ijl...k i j k
y a ¦a x ¦a x x ¦a x x x ... ¦a x x ...x (2.18)
trong đó, các hệ số a ,a ,a ,a ,ao i ij ijl ijl...k lần lượt là giá trị biến mục tiêu ở tâm miền thực nghiệm, hiệu ứng chính của các yếu tố I, hiệu ứng tương tác bậc hai, hiệu ứng tương tác
bậc ba, và hiệu ứng tương tác bậc k.
Mô hình toán học dạng (2.18) thường được áp dụng đối với các phương án quy
hoạch thực nghiệm yếu tố toàn phần (bao gồm quy hoạch thực nghiệm yếu tố từng phần).
Xác định các hệ sốtrong phương trình (2.18):
Giả sử rằng nghiên cứu của chúng ta chỉ khảo sát một yếu tố. Chúng ta thực hiện các thí nghiệm ở mức thấp và mức cao của yếu tố khảo sát và đo đạc giá trị của biến mục tiêu,
tương ứng y1 và y2 (xem Hình 2.13).
Hình 2.13. Yếu tố x biến thiên liên tục giữa -1 và +1. Biến mục tiêu y biến thiên một cách tuyến tính với x.
Tuy nhiên, điều gì diễn ra giữa -1 và +1 khi yếu tốx được nghiên cứu biến đổi trên toàn bộ khoảng biến thiên? Giả sử rằng biến mục tiêu khi đó sẽ biến đổi tuyến tính, và chúng ta sử dụng một phương trình toán học như sau để biểu diễn sự biến thiên đó:
o 1
y a a x (2.19)
với y là biến mục tiêu và x là mức của yếu tốđược nghiên cứu; ao và a1 là các hệ số.
Phương trình (2.19) được giải như sau:
x Tại A (x 1) ta có: 1 o 1 y a a (2.20) x Tại B (x 1) ta có: 2 o 1 y a a (2.21)
x Giải hệhai phương trình gồm (2.20) và (2.21), ta được:
> @ > @ o 1 2 1 1 2 1 a y y 2 1 a y y 2 Chúng ta có thể thấy rằng:
9 ao bằng yo, giá trị trung bình của hai biến mục tiêu y1 và y2.
9 a1 là hệ số góc của đường thẳng PQ (Hình 2.13), đó chính là hiệu ứng chính của yếu tốđược nghiên cứu.
Chúng ta có thể viết mô hình toán học theo dạng như sau:
y I Ex (2.22) với I là giá trị trung bình của các giá trị biến mục tiêu và E là hiệu ứng chính của yếu tố được nghiên cứu.
Nếu chúng ta nghiên cứu hai yếu tố, giả sử rằng mỗi yếu tố đều có ảnh hưởng tuyến tính đến biến mục tiêu và sựảnh hưởng này có tính chất cộng tính. Nếu hai biến
1
x và x2 liên tục, mô hình toán học được sử dụng (khi không có tương tác giữa hai
tương tác) sẽ là:
o 1 1 2 2
và khi xét đến tương tác, mô hình toán học được sử dụng sẽ là: o 1 1 2 2 12 1 2 y a a x a x a x x (2.24) với: x y là biến mục tiêu. x x1 là yếu tố thứ nhất có khoảng biến thiên từ -1 và +1.
x x2 là yếu tố thứ hai có khoảng biến thiên từ -1 và +1.
x ao, a1, a2 và a12 là các hệ số.
Tương tựnhư phương trình (2.22), phương trình (2.24) có thểđược viết như sau : 1 1 2 2 12 12
y I E x E x E x (2.25) Một nhận xét chung đối với các phương trình (2.22) và (2.25): dễ dàng xây dựng
được các mô hình toán học cho các QHTN yếu tố kiểu 22 bởi vì các hệ số của mô hình
được tính trực tiếp từ các hiệu ứng chính và các hiệu ứng tương tác.
Mô hình toán học đối với quy hoạch 23:
1 1 2 2 3 3 12 1 2 13 1 3 23 23 123 1 2 3
y I E x E x E x E x x E x x E x E x x x (2.26)
Áp dụng:
Trong Ví dụ 2, dựa vào ma trận thực nghiệm (Bảng 2.3), chúng ta dễ dàng lập
được mô hình toán học của nghiên cứu là:
1 2 1 2
H 76,25 6,25x 11,25x 1,25x x (2.27)
trong đó, H là hiệu suất của phản ứng; x , x1 2 lần lượt là mức (mức cao và mức thấp) của các yếu tố nhiệt độ và áp suất.