Định nghĩa 2.1.1 (Đa giác lồi rỗng). Cho S là tập hợp các điểm ở vị trí tổng quát trong mặt phẳng (không có ba điểm nào thẳng hàng) với
|S| = k,k≥ 3. Đa giác P căng bởi các điểm của Q trong S với số phần tử của |Q| =n,n≤ k được gọi là đa giác lồi rỗng n đỉnh ( n-lỗ) trongS nếu nó không chứa các điểm khác củaS thuộc phần trong của nó. Ở đây|S| và
|Q| là kí hiệu số phần tử của tập S vàQ. Kí hiệuH(n)là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho mọi tậpS các điểm ở vị trí tổng quát với|S| ≥H(n)chứa đa giác rỗngn đỉnh.
Bài toán Erd¨os về đa giác lồi rỗng (1978)
Cho n là một số tự nhiên bất kì,n≥3. Hãy xác định số nguyên dương nhỏ nhất H(n), nếu nó tồn tại, sao cho mọi tập S có tối thiểu H(n) điểm ở vị trí tổng quát trên mặt phẳng, chứan điểm là đỉnh của một đa giác lồi rỗng.
Dễ dàng thấy rằng H(3) =3; H(4) =5 (xem hình 1.1.)
Sử dụng cách tiếp cận hình học trực tiếp, Harborth (1978) đã chứng minh rằngH(5) =10, tức là từ mười điểm ở vị trí tổng quát có thể chọn ra được năm điểm tạo thành ngũ giác lồi rỗng. Từ hình 2.1 cho thấy, tập chín điểm ở vị trí tổng quát không chứa năm điểm nào tạo thành ngũ giác lồi rỗng (tồn tại hai ngũ giác lồi, nhưng cả hai đều không rỗng).
Tuy nhiên, với n ≥ 7 bất kì, Horton (1983) [12] đã xây dựng ví dụ tập với n điểm ở vị trí tổng quát không chứa 7- giác lồi rỗng nào. Do đó,
H(n) = ∞với mọi số tự nhiênn≥ 7.
Như vậy, bài toán về đa giác lồi rỗng của Erd¨os đã có câu trả lời cho
n≤5 và n≥7. Có rất nhiều cố gắng để chứng minh hay bác bỏ sự tồn tại của H(6). Năm 2003, bằng máy tính, Overmars [17] đã tìm ra 29 điểm ở vị trí tổng quát không chứa lục giác lồi rỗng. Như vậy, nếuH(6)tồn tại thì
H(6)≥ 30. Năm 2007 Koselev [13] đã đưa ra định lý sau đây:
Định lý 2.1.2 (Koselev). Mọi tập với tối thiểu 463 điểm ở vị trí tổng quát trên mặt phẳng đều chứa sáu điểm tạo thành lục giác lồi rỗng.
Vậy đánh giá tốt nhất hiện nay là30≤ H(6)≤463.
Trong chương này chúng tôi phát biểu bài toán Erd¨os mở rộng về sự tồn tại của đa giác lồi rỗng suy rộng, nghĩa là các điểm có thể ở vị trí bất kỳ. Do đó trước tiên ta cần mở rộng định nghĩa về đa giác lồi rỗng.