n = 6 trong một số trường hợp riêng.
Nhận xét 3.2.1. Giả sử Ω là tập 17 điểm trong mặt phẳng ở vị trí tổng quát và có cấu hình(s1,s2, ...,sk); k ≥0 ta thấy:
(i), Nếu∀i=0, ...,kmà|si| ≥6thì Giả thuyết Erd¨os-Szekeres với trường hợpn= 6được chứng minh.
(ii), Như vậy chúng ta còn phải chứng minh Giả thuyết Erd¨os-Szekeres với trường hợp n= 6, khi tập Ω có cấu hình (s1,s2, ...,sk); k ≥0 mà
∀i=0, ...,kthì |si| ≤5. Như vậy ta có tất cả 72 loại cấu hình cho tập Ω từ(5,5,5,2),(5,5,4,3),...,(3,3,3,3,3,2).
(iii), Chúng tôi trình bày lại một cách tóm lược công trình của Knut Dehnhardt, Heiko Harboth và Zsolt Lángi [9] đã chứng ming Giả thuyết Erd¨os-Szekeres với trường hợp n = 6, khi tập Ω có ∂Ω =
Ω\int{convΩ} là một ngũ giác lồi. Kết quả chính của họ là định lý sau đây:
Định lý 3.2.2. Nếu Ω là một tập 17 điểm trong mặt phẳng ở vị trí tổng quát (không có ba điểm bất kỳ nào thẳng hàng). Nếu∂Ω=Ω\int{convΩ}= 5, thì Ω chứa 6điểm là đỉnh lục giác lồi.
Để chứng minh định lý 3.2.2 ta cần có các định nghĩa và một loạt các bổ đề sau:
Nếu Ω = {A1 : i= 1,2, ...,n} là một tập hữu hạn điểm trong mặt phẳng ở vị trí tổng quát(tức là không có ba điểm nào thẳng hàng). Ta kí hiệuV(Ω)là tập các điểm thuộc ∂Ω.
Định nghĩa 3.2.3(Vượt qua chính xác m-cạnh (beyond exactlym-edges)).
Giả sử a,b là hai điểm phân biệt trong mặt phẳng. Ta kí hiệu:
[a,b]là đoạn thẳng đóng với điểm cuối là a vàb. L(a,b)là đường thẳng chứa avà b.
L+(a,b)là tia đóng đi ra từ a và chứab.
L−(a,b)là tia đóng đi ra từ a trong L(a,b) và không chứab.
Nếu tậpΩ có|∂Ω|=s; s≥3là một s-giác lồi. Gọiblà một điểm thuộc Ω. Khi đó nếu điểm b không nằm trên bất kỳ đường biên nào của ∂Ω và được tách hoàn toàn từ đúng m cạnh của ∂Ω, với 1≤ m≤ s, thì chúng ta nói rằng điểmb là vượt qua chính xácm-cạnh của ∂Ω.
Nếu các đường biên là các đường đi qua các cạnh E1,E2, ...,Em của ∂Ω với 1 ≤ m ≤ s, thì ta có thể nói rằng điểm điểm b là vượt qua chính xác
m-cạnh E1,E2, ...,Em của ∂Ω. Xem hình 3.1.
Hình 3.1: Điểmbvượt qua chính xác 2-cạnh củaP.
Định nghĩa 3.2.4(Tập hợp đồng nhất ). NếuAvàBlà các tập hợp điểm trong mặt phẳng ở vị trí tổng quát. Giả sử có một song ánh f :A→B sao cho với mỗi a1,a2,a3 ∈A, bộ ba (a1,a2,a3) và (f (a1), f (a2), f (a3)) có sự định hướng giống nhau hoặc là có sự định hướng ngược nhau (opposite orientation), độc lập với cách chọna1, a2 vàa3. Khi đó chúng ta nói rằng
tập Avà tậpB là cáctập hợp đồng nhất.
Chúng ta thừa nhận một loạt các bổ đề sau:
Bổ đề 1. Cho Ω là một tập hữu hạn điểm trong mặt phẳng ở vị trí tổng quát. Nếu ∂Ω và Q là các đa giác lồi với Q ⊂ int{convΩ}. Nếu X ⊂ ∂Ω
là một tập vượt qua chính xác cạnh củaQ, thì ∂Q∪X là các điểm ở trong vị trí lồi (in convex position). Xem hình 3.2.
Hình 3.2: NếuX thuộc miền được gạch chéo thìX ở trong vị trí lồi vớiQ.
Bổ đề 2. Nếu {Pi: i =1,2, ...,m} là một họ của t tam giác, q tứ giác,
p ngũ giác sao cho p+q+t = m và M = ∂{P1∪P2∪...∪Pm} là một
m−giác (x1,x2, ...,xm) sao cho [xi,xi+1] là một cạnh của Pi. Ngoài ra Pi
và Pi+1 có phần trong rời nhau với mọi i = 1,2, ...,m. Nếu M thuộc phần trong của k−giác P0, và giả sử rằng nếu các điểm củaW= ∪m1=0∂Pi là ở vị trí tổng quát. Nếuq+2t <k,thìW có chứa lục giác lồi. Xem hình 3.3.
Trong các chứng minh chúng tôi thường sử dụng bổ đề 2 với k=5.
Bổ đề 3. Nếu Ω là một tập 11 điểm trên mặt phẳng ở vị trí tổng quát sao cho ∂Ω là một ngũ giác lồi, Q = ∂{Ω\V(Ω)} là một tam giác và
Hình 3.3: Với{Pi: i=1,2, ...,5}
giác lồi. Xem hình 3.4.
Hình 3.4: Các điểmr1,r2,r3vàqiluôn tạo thành một tứ giác lồi vớii=1,2,3.
Bổ đề 4. Nếu Ω là một tập 13 điểm trên mặt phẳng ở vị trí tổng quát sao cho∂Ω là một ngũ giác lồi, Q= ∂{Ω\V(Ω)} là một tam giác, thì Ω
chứa lục giác lồi.
Bổ đề 5. Nếu Ω là một tập không ít hơn13 điểm trên mặt phẳng ở vị trí tổng quát sao cho ∂Ω là một ngũ giác lồi, Q= ∂ {Ω\V(Ω)} là một tam giác, và Ω không chứa 6 đỉnh tạo thành một hình lục giác lồi, thì Q đồng nhất với một trong các loại sau: Loại 0; loại 1; loại 2; loại 3a; loại 3b;
loại 4a; loại 4b và loại 4c như trong các hình sau (Xem hình 3.5):
Hình 3.5:
Bổ đề 6. Nếu Ω là một tập 17 điểm trên mặt phẳng ở vị trí tổng quát sao cho ∂Ω là một ngũ giác lồi, Q = ∂{Ω\V(Ω)} là một tứ giác, thì Ω
Bổ đề 7. Nếu Ω là một tập hợp điểm trên mặt phẳng ở vị trí tổng quát sao cho∂ΩvàQ=∂ {Ω\V(Ω)}là một ngũ giác lồi, vàR=Ω\ {∂Ω∪∂Q}
có một tập con loại 3a hoặc một tập con đồng nhất với một trong các kiểu loại 5a; loại 5b và loại 5c, thìΩ chứa lục giác lồi. Xem hình 3.6.
Hình 3.6: Với các đỉnh của∂Rlàr1,r2,r3,r4và các đỉnh thuộcint{convR}làt1,t2,t3.
Bổ đề 8. Nếu Ω là một tập17 điểm trên mặt phẳng ở vị trí tổng quát có cấu hình (5,5,5,2) tức là |∂Ω| = 5; |∂Q|= 5; |∂R| = 5 và |T| = 2, thì Ω
chứa lục giác lồi.
Chứng minh. Định lý 3.2.2
Ta có∂Ω=Ω\int{convΩ}=5. GọiQ=Ω\∂Ωthì∂Q=Q\int{convQ}. GọiR=Ω\ {∂Ω∪∂Q}thì∂R=R\int{convR}. GọiT =Ω\ {∂Ω∪∂Q∪∂R}. Khi đó ta xét các khả năng sau:
1. Nếu|∂Q|=3 thì theo bổ đề 4 ta có Ωchứa lục giác lồi. 2. Nếu|∂Q|=4 thì theo bổ đề 6 ta có Ωchứa lục giác lồi. 3. Nếu|∂Q|=5 thì ta lại xét các trường hợp sau theo|∂R|.
• (i) Nếu |∂R|=3thì theo bổ đề 5 ta có:∂R∪T là loại 4a, 4b hoặc 4c. Do đó nó chứa một tập con loại 3a. Theo bổ đề 3 ta có Ωchứa lục giác lồi.
• (ii) Nếu |∂R| = 4 thì ta có: ∂R∪T chứa một tập con đồng nhất với loại 5a; loại 5b hoặc loại 5c. Theo bổ đề 7 ta có Ω chứa lục giác lồi.
• (iii) Nếu |∂R| = 5 thì ta có cấu hình (5,5,5,2) tức là |∂Ω| = 5; |∂Q|= 5; |∂R|=5 và|T|= 2. Theo bổ đề 8 ta có Ω có chứa lục giác lồi.
Như vậy định lý được chứng minh.
Trong [9] đã chứng minh được 24 trên tổng số 72 lớp cấu hình được phân loại bởi Bonnice[7]. Như vậy bài toán vẫn còn lại 48 lớp cấu hình chưa có lời giải, cho nên đây vẫn còn là một bài toán mở, mà hy vọng sẽ sớm có lời giải đáp.
KẾT LUẬN
Luận văn trình bày tổng quan về giả thuyết Erd¨os-Szekeres và chứng minh giả thuyết cho các trường hợpn=3,4,5 với tập hợp điểm ở vị trí bất kỳ. Đặc biệt là chứng minh công thức H(5) =10 với tập hợp điểm trên mặt phẳng ở vị trí bất kỳ (mặc dù vào năm 1978 Harboth đã chứng minh công thức H(5) =10 với tập hợp điểm trên mặt phẳng ở vị trí tổng quát, xong do hạn chế về ngôn ngữ và khả năng nên chúng tôi không có được bài báo này- Harboth h., Konvece Funfecke in ebenen Punktmegen, Elem. Math. 33 (1978), 116-118, MR 80a:52003).
Đồng thời luận văn trình bày tóm lược lại công trình của Knut Dehn- hardt, Heiko Harboth và Zsolt Lángi, đã chứng minh cho giả thuyết Erd¨os- Szekeres với trường hợpn=6 trong một số trường hợp riêng mà không sử dụng máy tính.
Với khuôn khổ, thời gian và năng lực của chúng tôi còn nhiều hạn chế, cho nên còn rất nhiều câu hỏi mở chưa tìm được câu trả lời. Hy vọng với sự lỗ lực của các nhà toán học trong thời gian gần nhất sẽ trả lời được phần nào các câu hỏi mở nêu trên.
Tài liệu tham khảo
[1] Đoàn Hữu Dũng, Lời giải của bài toán Ecđôtsơ trong một trường hợp đặc biệt, Tạp chí Toán học và Tuỏi trẻ, số 33, tháng 6, 1967, trang 14-16.
[2] Đoàn Hữu Dũng, Tạ Duy Phượng, Nguyễn Tiến Thịnh, Về bài toán Erd¨os-Szekeres cho ngũ giác lồi suy rộng, Kỉ yếu Hội Thảo khoa học các chuyên toán bồi dưỡng học sinh giỏi bậc THPT, Nguyễn Văn Mậu chủ biên, Nam Định, 26-28, 2010, trang 140-153.
[3] Đoàn Hữu Dũng, Nguyễn Tiến Thịnh, Về sự tồn tại ngũ giác gần rỗng trong số chín điểm ở vị trí bất kỳ, Kỉ yếu Hội Thảo khoa học các chuyên đề Olympic toán học khu vực cấp THPT, Nguyễn Văn Mậu chủ biên, Phú Thọ, 09-10/04, 2011, trang75-82.
[4] Đoàn Hữu Dũng, Nguyễn Tiến Thịnh, Bài toán Erd¨os-Szekeres cho ngũ giác lồi suy rộng, Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ, số 41, tháng 8 năm 2011, trang 12-14.
[5] Hoàng Đức Tân, Định lí Ramsey, Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ, số 178, tháng 2 năm 1991, trang 1-2.
[6] Zachary Abel, Brad Ballinger, Prosenjit Bose, Sébastien Collette, Vida Dujmovi´c, Ferran Hurtado, Scott D. Kominers, Stefan Langer- man, Attila Pór, and R. David, Every large point set contains
[math.CO] 24 Apr 2009, 1-16 hoặc Graphs and Combinatorics 27(1): 47-60 (2011)..
[7] W. E. Bonnice,On convex polygons determined by a finite planar set, Amer. Math. Monthly 81 (1974), 749-752. MR 50:8301.
[8] F. R. L. Chung, R.L. Graham, Forced convex n-gons in the place, Discrete Comput.Geom. 19 :367-371, 1998.MR 99e:52020.
[9] Knut Dehnhardt, Heiko Harborth and Zsolt Lansgi, A partial proof of the Erd¨os-Szekeres conjecture for hexagons, Journal of Pure and Applied Mathematics: Advances and Applications; Volume no: 2, Issue no: 1, August (2009), 69-86
[10] D. Kleitman, L. Pachter, Finding convex sets among points in the place, Discrete Comput.Geom. 19 :405-410, 1998.MR 99e:52021. [11] P. Erd¨os and G. Szekeres, On some extremum problems in elemen-
tary geometry, Ann. Universitatis Scientiarum Budapestinensis, Sec- tio Mathematica III-IV (1960-1961), 53-62.
[12] Joseph D. Horton, Sets with empty convex 7-gons, Canadian Math. Bulletin 26 (4):482–484, 1983. MR 85f:52007
[13] V. A. Koshelev,On the Erd¨os-Szekeres Problem, Doklady Mathemat- ics, 2007, Vol. 76, No1, pp. 603-605.
[14] V. A. Koshelev, On Erd¨os-Szekeres problem for empty hexagons in the plane, Modeling and analysis of information systems, Vol. 16, 2, 22-74, 2009, On Russian.
[15] Wanter D. Morris and Valeru Soltan,The Erd¨os-Szekeres problem on points in convex position - A survey,Bulletin of the American Math- ematical Society (N. S.), 37(4):437–458, 2000.
[16] Jessca L. Nielsen, On the of Empty Convex Hexagons, Harvey Mudd College, 2003.
[17] M. Overmars, Finding sets of points without empty convex 6- gons, Discrete and Computational Geometry 29(1):153–158, 2003. doi:10.1007/s00454-002-2829-x .
[18] George Szekeres and Lindsay Peters, Computer solution
to the 17-point Erd¨os-Szekeres problem,The ANZIAM
Journal 48: 151–164. doi:10.1017/S144618110000300X, http://www.austms.org.au/Publ/ANZIAM/V48P2/2409.html .
[19] Géza Tóth, Paven Valtr, Note on thr Erd¨os-Szekeres therem, Discrete Comput.Geom. 19 :457-459, 1998.MR 99e:52022.
[20] Géza Tóth, Paven Valtr, The Erd¨os-Szekeres theorem: upper bounds and related result, Combinatorial and Computational geometry. MSRI Publication 52 :557-568, 2005.
[21] P. Valtr, On empty hexagons, In Survey on discrete and computa- tional geometry, Vol. 453 of Contemporary Mathematics, pp. 433- 441, Amer. Math. Soc., 2008.