điểm ở vị trí bất kỳ
Trong phần này ta sẽ chứng minh công thức H(n) của bài toán Erd¨os về sự tồn tại của đa giác lồi rỗng suy rộng với tập điểm ở vị trí bất kỳ. Ta vẫn sẽ sử dụng phương pháp bao lồi theo chiều giảm dần về số điểm của
∂Ω-bao lồi ngoài cùng lớn nhất của tập hợp điểm, như trong Chương 1.
Định nghĩa 2.2.1 (Cấu hình dạng (m,a1, ...,ak) ). Cho Ω là một tập hợp
n điểm trên mặt phẳng ở vị trí bất kỳ với n≥ 3. Ta nói tập Ω có cấu hình dạng(m,a1, ...,ak) nếu ai= const,∀i= 1, ...,k vàm≥ 3:
(i) k ∑ i=1 ai= n−m,với m≥3 vàn ≥m (ii) | |=m;| |= a, ∀i=1,k.
Một cấu hình dạng(m,a1, ...,ak)vớim ≥4 chưa chắc đã chứa cấu hình con chuẩn tắc dạng (m−1,a1, ...,ak).
Mệnh đề 3. Cho Ω là tập hợp các điểm trên mặt phẳng ở vị trí bất kỳ trong mặt phẳng,|Ω| ≥8.Nếu Ω có cấu hình dạng (m,3,1) với m≥4,thì luôn có năm điểm thuộc Ωlập thành ngũ giác lồi rỗng suy rộng.
Chứng minh.
(i)Vớim≥4và nếuΩchứa cấu hình con chuẩn tắc (4,3,1) thì theo chứng minh mệnh đề 1 cấu hình (m,3,1) chứa ngũ giác lồi suy rộng rỗng. xem hình 1.3.
(ii) Ngược lại nếu Ω không chứa cấu hình con chuẩn tắc (4,3,1) thì theo chứng minh mệnh đề 1. Ta có một miền có nhiều hơn hai đỉnh của
∂Ω, ta giả sử là miền (I) có chứa k đỉnh V1,V2, ...,Vk của ∂Ω với
m−1 ≥ k ≥ 2. Khi đó ta có k+3 giác lồi rỗng ABV1,V2, ...,VkC, từ
k+3 đỉnh đó ta lấy ra năm đỉnh liên tiếp ta được ngũ giác lồi suy rộng rỗng. Xem hình 2.3.
Mệnh đề 4. Cho Ω là tập hợp các điểm trên mặt phẳng ở vị trí bất kỳ trong mặt phẳng,|Ω| ≥8. Nếu Ω có cấu hình dạng (m,3,2) vớim≥ 3, thì luôn có năm điểm thuộc Ωlập thành ngũ giác lồi rỗng suy rộng.
Chứng minh.
(i) Với m ≥ 3 nếu Ω chứa cấu hình con chuẩn tắc (3,3,2) thì theo chứng minh mệnh đề 2 cấu hình (m,3,2) chứa ngũ giác lồi suy rộng rỗng. Xem hình 1.5.
(ii) Ngược lại nếu Ω không chứa cấu hình con chuẩn tắc (3,3,2) thì theo chứng minh mệnh đề 2. Khi đó ta có hoặc là miền (I) hoặc (II) có nhiều hơn hai đỉnh của∂Ω, hoặc là miền (III) có nhiều hơn một đỉnh của∂Ω. Ta giả sử là miền (III) có chứa k đỉnhV1,V2, ...,Vk của∂Ωvới
m−1≥ k≥1. Khi đó ta cók+4 giác lồi rỗngABEV1,V2, ...,VkF, từ
k+4 đỉnh đó lấy ra năm đỉnh liên tiếp ta được ngũ giác lồi suy rộng rỗng. Xem hình 2.4.
Mệnh đề 5. Cho Ω là tập hợp các điểm trên mặt phẳng ở vị trí bất kỳ trong mặt phẳng, |Ω| ≥ 7. Nếu Ω có cấu hình dạng (m,1) với m ≥ 6, thì luôn có năm điểm thuộc Ωlập thành ngũ giác lồi rỗng suy rộng.
Chứng minh.
Ta gọi các đỉnh của ∂Ω lần lượt là V1,V2, ...,Vm với m≥ 6 và gọi điểm thuộc int{convΩ} là A. Ta kẻ đường thẳng qua A vàV1, đường thẳng AV1
chia mặt phẳng thành hai miền (I) và (II). Ta luôn có một miền chứa không ít hơn 3 đỉnh của ∂Ω - trừ ra đỉnhV1, ba đỉnh liên tiếp này kết hợp với A
vàV1 tạo thành ngũ giác lồi suy rộng rỗng. Xem hình 2.5.
Hình 2.5: Cấu hình (m,1) vớim≥6có ngũ giác lồi rỗng suy rộng.
Mệnh đề 6. Cho Ω là tập hợp các điểm trên mặt phẳng ở vị trí bất kỳ trong mặt phẳng, |Ω| ≥ 7. Nếu Ω có cấu hình dạng (m,2) với m ≥ 5, thì luôn có năm điểm thuộc Ωlập thành ngũ giác lồi rỗng suy rộng.
Chứng minh.
Ta gọi các đỉnh của ∂Ω lần lượt là V1,V2, ...,Vm với m ≥ 5 và gọi các điểm thuộc int{convΩ} là A và B. Ta kẻ đường thẳng qua A và B, đường thẳng AB chia mặt phẳng thành hai miền (I) và (II). Ta luôn có một miền
chứa không ít hơn 3 đỉnh của∂Ω. Do đó ba đỉnh liên tiếp này kết hợp với
AvàB tạo thành ngũ giác lồi suy rộng rỗng. Xem hình 2.6.
Hình 2.6: Cấu hình (m,2) vớim≥5có ngũ giác lồi rỗng suy rộng.
Sau đây ta chứng minhCông thức H(n)cho từng trường hợpn=3,4,5.