vị trí bất kỳ
H(3) = 3: Thật vậy với tập Ω có đúng ba điểm, ta chỉ có hai khả năng:
(i)Nếu ba điểm của Ω không thẳng hàng thì hiển nhiên là H(3) =3.
(ii) Nếu ba điểm của Ω thẳng hàng thì |convΩ| = 3, thì ba điểm là một tam giác lồi rỗng suy rộng.
Vậy H(3) =3. Hay mọi tập có tối thiểu ba điểm ở vị trí bất kỳ trong mặt phẳng luôn tồn tại tam giác lồi rỗng suy rộng.
2.2.2. Chứng minh công thức H(n) cho trường hợpn=4với tập điểm ởvị trí bất kỳ vị trí bất kỳ
(i) Nếu |∂Ω|= 5. Gọi các đỉnh của ∂Ω làV1,V2, ..,V5, như vậy bốn đỉnh liên tiếp của∂Ω lập thành tứ giác lồi rỗng suy rộng. Xem hình 2.7.
Hình 2.7: Cấu hình (5) có chứa tứ giác lồi rỗng suy rộng.
(ii) Giả sử |∂Ω| = 4. Gọi các đỉnh của ∂Ω là V1,V2, ..,V4 và đỉnh thuộc
int{convΩ} làA. Như vậy xảy ra hai khả năng sau:
1. Khả năng thứ nhất ĐiểmAthuộc phần trong của tam giácV1V2V4
( kể cả đỉnhAthuộc cạnhV2V4,) khi đó AV2V3V4 lập thành tứ giác lồi rỗng suy rộng. Xem hình 2.8.
Hình 2.8: Cấu hình (4,1) luôn chứa tứ giác lồi rỗng suy rộng.
2. Khả năng thứ hai Ngược lại điểm A thuộc phần trong của tam giác V1V2V4 ( không kể đỉnhA thuộc cạnh V2V4, khi đó V1V2AV4
Hình 2.9: Cấu hình (4,1) luôn chứa tứ giác lồi rỗng suy rộng.
(iii) Giả sử |∂Ω| = 3. Gọi các đỉnh của ∂Ω là V1,V2,V3, gọi các đỉnh thuộc int{convΩ} là A và B. Ta kẻ đường thẳng AB chia mặt phẳng thành hai miền (I) và(II). Như vậy bao giờ cũng tồn tại một miền chứa không ít hơn hai đỉnh của ∂Ω ( giả sử là miền (I)). Khi đó hai đỉnh này kết hợp với A và B lập thành ngũ giác lồi rỗng suy rộng. Xem hình 2.10.
Hình 2.10: Cấu hình (3,2) có chứa tứ giác lồi rỗng suy rộng.
Mặt khác: Ta có thể chỉ ra tập bốn điểm không tạo thành ngũ giác lồi, xem hình 1.12.
Vậy H(4) = 5. Hay mọi tập có tối thiểu năm điểm ở vị trí bất kỳ trong mặt phẳng luôn tồn tại tứ giác lồi rỗng suy rộng.