vị trí bất kỳ
Ta cần chứng minh H(5) = 10 - Mọi tập gồm tối thiểu mười điểm ở
vị trí bất kỳ trên mặt phẳng luôn tồn tại năm điểm lập thành ngũ giác lồi rỗng suy rộng.
Ta lần lượt xét các khả năng sau (theo chiều giảm dần về số điểm của tập ∂Ω):
Trường hợp 1 (|∂Ω|=10 ).
Gọi các đỉnh của ∂Ω lần lượt làV1,V2, ...,V10. Hiển nhiên một xích có độ dài bằng năm tạo thành một ngũ giác lồi rỗng suy rộng. Xem hình 2.11.
Hình 2.11: Tập 10 điểm có|∂Ω|=10, chứa ngũ giác lồi rỗng suy rộng.
Trường hợp 2 (|∂Ω|=9 ).
Gọi các đỉnh của∂Ωlần lượt làV1,V2, ...,V9.Gọi điểm thuộcint{convΩ}
là A. Ta có được cấu hình (9,1). Theo mệnh đề 5 đường thẳng AV1 chia mặt phẳng thành hai miền (I) và (II). Ta luôn có một miền chứa không ít hơn ba đỉnh của ∂Ω, ba đỉnh liên tiếp này kết hợp với A vàV1 tạo thành ngũ giác lồi rỗng suy rộng. Xem hình 2.12.
Hình 2.12: Tập 10 điểm có|∂Ω|=9,chứa ngũ giác lồi rỗng suy rộng.
Trường hợp 3 (|∂Ω|=8 ).
Gọi các đỉnh của ∂Ω lần lượt là V1,V2, ...,V8. Gọi các điểm thuộc
int{convΩ} là A và B. Ta có được cấu hình (8,2). Theo mệnh đề 6 đường thẳng AB chia mặt phẳng thành hai miền (I) và (II). Ta luôn có một miền chứa không ít hơn 3 đỉnh của∂Ω, ba đỉnh liên tiếp này kết hợp vớiAvàB
tạo thành ngũ giác lồi rỗng suy rộng. Xem hình 2.13.
Hình 2.13: Tập 10 điểm có|∂Ω|=8, chứa ngũ giác lồi rỗng suy rộng.
Trường hợp 4 (|∂Ω|=7 ).
Ta gọi các đỉnh của ∂Ω lần lượt là V1,V2, ...,V7. Gọi các điểm thuộc
int{convΩ} là A,B vàC. Ta có được cấu hình (7,3). Kẻ đường thẳng qua
• Khả năng thứ nhất: Miền (II) chứa không ít hơn ba đỉnh của ∂Ω, ba đỉnh liên tiếp này kết hợp với Avà Btạo thành ngũ giác lồi suy rộng rỗng. Xem hình 2.14.
Hình 2.14: Tập 10 điểm có|∂Ω|=7,chứa ngũ giác lồi rỗng suy rộng.
• Khả năng thứ hai: Ngược lại miền (I) sẽ chứa không ít hơn năm đỉnh
của∂Ω. Ta kết hợp lại các đỉnh trên miền (I) vớiAvàB.Ta được cấu hình dạng (m,1) với m =7. Theo mệnh đề 5 ta có được ngũ giác lồi rỗng suy rộng. Xem hình 2.15.
Hình 2.15: Tập 10 điểm có|∂Ω|=7,chứa ngũ giác lồi rỗng suy rộng.
Trường hợp 5 (|∂Ω|=6 ).
Ta gọi các đỉnh của∂Ω lần lượt làV1,V2, ...,V6.Ta xét hai cấu hình sau (6,4) và (6,3,1).
1. Cấu hình (6,4) Ta gọi các đỉnh của∂Ω1 là A,B,CvàD. Kẻ đường thẳng quaC vàD, đường thẳngCD, chia mặt phẳng thành hai miền (I) và (II) và ta giả sử điểm A và B thuộc miền (I) (nếu không ta đổi tên các đỉnh A, B,C,D). Ta có hai khả năng sau:
• Khả năng thứ nhất: Miền (II) chứa không ít hơn ba đỉnh của∂Ω, ba đỉnh liên tiếp này kết hợp với C và D tạo thành ngũ giác lồi rỗng suy rộng. Xem hình 2.16.
Hình 2.16: Tập 10 điểm có|∂Ω|=6, có cấu hình (6,4).
• Khả năng thứ hai: Ngược lại miền (I) sẽ chứa không ít hơn bốn đỉnh của∂Ω. Ta kết hợp lại các đỉnh trên miền (I) vớiCvàD.Ta được cấu hình dạng (k,2) với k≥ 6. Theo mệnh đề 6 ta có được ngũ giác lồi rỗng suy rộng. Xem hình 2.17.
2. Cấu hình (6,3,1) Gọi các đỉnh của ∂Ω1 là B, C, D và đỉnh thuộc
int{convΩ1}là A. Theo mệnh đề 3 cấu hình (6,3,1) có chứa ngũ giác lồi rỗng suy rộng. Xem hình 2.18.
Hình 2.18: Tập 10 điểm có|∂Ω|=6,có cấu hình (6,3,1).
Trường hợp 6 (|∂Ω|=5 ).
Gọi các đỉnh của ∂Ω lần lượt làV1,V2, ...,V5. Ta xét các cấu hình sau: (5,5); (5,4,1) và (5,3,2).
1. Cấu hình (5,5) Gọi các đỉnh của ∂Ω1 là A, B, C, D và E. Hiển nhiên ta có ngũ giác lồi rỗng suy rộng ABCDE. Xem hình 2.19.
Hình 2.19: Tập 10 điểm có|∂Ω|=5,có cấu hình (5,5).
2. Cấu hình (5,4,1) Gọi các đỉnh của ∂Ω1 là B, C, D , E. Gọi đỉnh thuộc int{convΩ1} là A. Khi đó ta chia mặt phẳng thành bốn miền
sau: Xem hình 2.20.
Miền (I) được giới hạn bởi các tiaAB vàAC. Miền (II) được giới hạn bởi các tiaAC vàAD. Miền (III) được giới hạn bởi các tiaADvàAE. Miền (IV) được giới hạn bởi các tia AE vàAB.
Như vậy bao giờ cũng tồn tại một miền chứa không ít hơn hai
Hình 2.20: Tập 10 điểm có|∂Ω|=5,có cấu hình (5,4,1).
đỉnh của∂Ω,ta giả sử là miền (I), các đỉnh này kết hợp cùng với A,B
vàC lập thành ngũ giác lồi rỗng suy rộng. Xem hình 2.21.
Hình 2.21: Tập 10 điểm có|∂Ω|=5,có cấu hình (5,4,1).
3. Cấu hình (5,3,2) Ta gọi các đỉnh của∂Ω1 làC,D,E.Gọi các đỉnh thuộc int{convΩ1} là A và B. Theo mệnh đề 4 cấu hình này cho ta
Trường hợp 7 (|∂Ω|=4 ).
Gọi các đỉnh của ∂Ω lần lượt làV1,V2, ...,V4. Ta xét các cấu hình sau: (4,6); (4,5,1); (4,4,2) và (4,3,3).
1. Cấu hình (4,6) Gọi các đỉnh của ∂Ω1 là A, B,C, D, E và F. Hiển nhiên năm đỉnh liên tiếp cho ta ngũ giác lồi rỗng suy rộng. Xem hình 2.22.
Hình 2.22: Tập 10 điểm có|∂Ω|=4,có cấu hình (4,6).
2. Cấu hình (4,5,1) Gọi các đỉnh của ∂Ω1 là B, C, D, E, F, đỉnh thuộcint{convΩ1} là A. Ta có hai khả năng sau:
• Khả năng thứ nhất. Điểm Athuộc vào phần trong của một trong các tam giác sau: BFC, FEB, EDF, DCE vàCBD (ta giả sử là tam giác BFC). Khi đó điểm A ở vị trí lồi với tứ giác lồiCDEF.
Vậy ACDEF tạo thành một ngũ giác lồi rỗng suy rộng. Xem hình 2.23.
• Khả năng thứ hai. Ngược lại điểmAkhông thuộc vào phần trong của một trong các tam giác trên. Khi đó ta chia mặt phẳng thành năm miền sau ( xem hình 2.24):
Miền (I) được giới hạn bởi các tiaAB vàAC. Miền (II) được giới hạn bởi các tia AC vàAD.
Hình 2.23: Tập 10 điểm có|∂Ω|=4,có cấu hình (4,5,1).
Miền (III) được giới hạn bởi các tiaAD vàAE. Miền (IV) được giới hạn bởi các tia AE và AF.
Miền (V) được giới hạn bởi các tiaAF vàAB. Khi đó:
Hình 2.24: Tập 10 điểm có|∂Ω|=4, có cấu hình (4,5,1).
[i] Tồn tại một trong năm miền chứa ít nhất hai đỉnh của ∂Ω,
ta giả sử là miền (I) và giả sử hai điểm đó là V1, V2. Khi đó ABV1V2C lập thành ngũ giác lồi rỗng suy rộng. Xem hình 2.25.
[ii] Ngược lại mỗi miền chứa nhiều nhất một đỉnh của ∂Ω, ta giả sử là miền (I) là miền không có đỉnh nào của ∂Ω - được tô mầu xanh, vì |∂Ω|= 4. Khi đó:
Hình 2.25: Tập 10 điểm có|∂Ω|=4,có cấu hình (4,5,1).
[*] Nếu có một đỉnh ∂Ωnằm trong vị trí lồi với các tứ giác lồiABCD,ACDE,ADEF vàAEFB ( miền gạch chéo), thì ta thu được ngũ giác lồi rỗng suy rộng (ta giả sử là miền (II) và đỉnh đó làV1 ). Khi đóABCV1Dlập thành ngũ giác lồi rỗng suy rộng. Xem hình 2.26.
[**] Ngược lại thì bốn đỉnh của ∂Ω phải thuộc vào đúng bốn miền (*), sao cho mỗi miền (*) chứa đúng một đỉnh của∂Ω(còn một miền (*) thuộc phần trong của miền (I)). Như vậy có ba đỉnh liên tiếp nằm trong vị trí lồi với đường thẳngED(hoặcEF). Do đó chúng cùng vớiED(hoặcEF
) lập thành ngũ giác lồi rỗng suy rộng. Xem hình 2.27.
Hình 2.27: Tập 10 điểm có|∂Ω|=4,có cấu hình (4,5,1).
3. Cấu hình (4,4,2) Gọi các đỉnh của∂Ω1 làC,D,E,F.Gọi các đỉnh thuộc int{convΩ1} là A và B. Chia mặt phẳng thành bốn miền sau (xem hình 2.28):
Miền (I) được giới hạn bởi các tia ACvà AD.
Miền (II) được giới hạn bởi tia AD, đoạnAB và tia BE. Miền (III) được giới hạn bởi các tiaBE vàBF.
Miền (IV) được giới hạn bởi tiaBF doạn AB và tiaAC. Khi đó:
Hình 2.28: Tập 10 điểm có|∂Ω|=4và có cấu hình (4,4,2).
• Khả năng thứ nhất Miền (II) hoặc miền (IV) chứa ít nhất một đỉnh
của ∂Ω, ta giả sử là miền (II) và đỉnh đó làV1. VậyADV1EBlập thành ngũ giác lồi rỗng suy rộng. Xem hình 2.29
Hình 2.29: Tập 10 điểm có|∂Ω|=4và có cấu hình (4,4,2).
• Khả năng thứ hai Ngược lại miền (I) hoặc miền (III) phải có một miền chứa nhiều hơn hai đỉnh của ∂Ω, giả sử là miền (I) và hai đỉnh đó là V1 vàV2. Vậy ACV1V2D lập thành ngũ giác lồi rỗng suy rộng.Xem hình 2.30.
4. Cấu hình (4,3,3) Gọi các đỉnh của ∂Ω1 là D, E, F. Gọi các đỉnh thuộcintΩ1 là A,BvàC.Ta chia mặt phẳng thành ba miền sau ( xem
Hình 2.30: Tập 10 điểm có|∂Ω|=4và có cấu hình (4,4,2).
hình 2.31):
Miền (I) được giới hạn bởi các tia ADvàAF. Miền (II) được giới hạn bởi các tia BDvà BE. Miền (III) được giới hạn bởi các tiaCE vàCF.
Như thế phải có một miền có nhiều hơn hai đỉnh của ∂Ω, ta giả sử
Hình 2.31: Tập 10 điểm có|∂Ω|=4và có cấu hình (4,3,3).
là miền (I) và hai đỉnh đó làV1vàV2. Khi đóAFV1V2D lập thành ngũ giác lồi rỗng suy rộng. Xem hình 2.32.
Trường hợp 8 (|∂Ω|=3 ).
Gọi các đỉnh của ∂Ω lần lượt là V1,V2,V3. Ta xét các cấu hình sau: (3,7); (3,6,1); (3,5,2); (3,4,3); (3,3,4) và (3,3,3,1).
Hình 2.32: Tập 10 điểm có|∂Ω|=4và có cấu hình (4,3,3).
1. Cấu hình (3,7)Hiển nhiên thất giác thuộc int{convΩ}sẽ cho ta ngũ giác lồi rỗng suy rộng.
2. Cấu hình (3,6,1)Cấu hình (3,6,1) chứa cấu hình con chuẩn tắc dạng (m,1) vớim=6.Theo mệnh đề 5 cấu hình này chứa ngũ giác lồi rỗng suy rộng.
3. Cấu hình (3,5,2)Cấu hình (3,5,2) chứa cấu hình con chuẩn tắc dạng (m,2) vớim=5. Theo mệnh đề 6 cấu hình này chứa ngũ giác lồi rỗng suy rộng.
4. Cấu hình (3,4,3) Ta gọi các đỉnh của∂Ω1 là D, E, F, G. Gọi các đỉnh thuộcint{convΩ1} là A, BvàC.Ta có hai khả năng sau:
• Khả năng thứ nhất: Tồn tại một cạnh của tam giácABC,mà trong nửa mặt phẳng không chứa đỉnh còn lại của tam giác có đúng ba đỉnh của ∂Ω1, (ta giả sử như hình 2.33). Khi đó ABFGD lập thành một ngũ giác lồi rỗng suy rộng. Xem hình 2.33.
• Khả năng thứ hai: Ngược lại mỗi cạnh của tam giác ABC chia mặt phẳng thành hai miền và trong mỗi miền chứa đúng hai đỉnh của ∂Ω1. Khi đó ta chia mặt phẳng thành bốn miền sau. Xem
Hình 2.33: Tập 10 điểm có|∂Ω|=3và có cấu hình (3,4,3).
hình 2.34:
Miền (I) được giới hạn bởi tiaAE, đoạn AC và tiaCD. Miền (II) được giới hạn bởi tia AE, đoạnAB và tia BF. Miền (III) được giới hạn bởi tiaBF,đoạn BCvà tiaCG. Miền (IV) được giới hạn bởi các tiaCDvàCG.
Ta có ba miền liên tiếp là (I), (II) và (III) ở trong vị trí lồi với
Hình 2.34: Tập 10 điểm có|∂Ω|=3và có cấu hình (3,4,3).
các tứ giác lồi tương ứng là ACDE, ABFE và BCGF. Như vậy phải tồn tại ít nhất một đỉnh của ∂Ω thuộc vào vị trí lồi với một trong các tứ giác lồi trên (vì bao lồi ngoài cùng là một tam giác – do đó muốn bao được cầu hình (4, 3) bên trong thì các đỉnh của nó không thể nằm về một nửa mặt phẳng của đường thẳng
DG), ta giả sử đỉnh đó làV1 và thuộc vào miền (I). Vậy ta được ngũ giác lồi rỗng suy rộng ACDV1E.Xem hình 2.35.
Hình 2.35: Tập 10 điểm có|∂Ω|=3và có cấu hình (3,4,3).
5. Cấu hình (3,3,4) Ta gọi các đỉnh của ∂Ω1 là E, F, G. Gọi các đỉnh thuộcint{convΩ1} là A, B,C vàD. Ta có hai khả năng sau:
• Khả năng thứ nhất: Có ít nhất một đỉnh của ∂Ω1 nằm trong vị trí lồi với tứ giác lồi ABCD ( phần được gạch chéo). Khi đó đỉnh này kết hợp với tứ giác lồi ABCD để được ngũ giác lồi rỗng suy rộng. Xem hình 2.36.
• Khả năng thứ hai: Ngược lại phải có ba đỉnh liên tiếp E, F, G
của ∂Ω1 thuộc vào ba miền (*) liên tiếp, ta giả sử như hình sau (xem hình 2.37).
Gạch chéo các miền con bên ngoài tam giác lồiEFG mà nếu
Hình 2.37: Tập 10 điểm có|∂Ω|=3và có cấu hình (3,3,4).
có một đỉnh của ∂Ωnằm trong vị trí lồi với các tứ giác lồiCBEF
và CDGF. Như vậy phải tồn tại ít nhất một đỉnh của ∂Ω thuộc vào vị trí lồi với một trong các tứ giác lồi trên (vì bao lồi ngoài cùng là một tam giác – do đó muốn bao được cấu hình (3, 4) bên trong thì các đỉnh của nó không thể nằm về một nửa mặt phẳng của đường thẳngFG). Do đó ta được ngũ giác lồi rỗng suy rộng. Xem hình 2.38.
6. Cấu hình (3,3,3,1)Ta gọi các đỉnh của∂Ω1 là E,F,G.Gọi các đỉnh của ∂Ω2 là B, C, D và đỉnh thuộc int{convΩ2} là A. Ta chia mặt phẳng thành ba miền, xem hình 2.39:
Miền (I) được giới hạn bởi các tia ABvà AC.
Miền (II) được giới hạn bởi các tia AC vàAD.
Miền (III) được giới hạn bởi các tiaAD vàAB.
Hình 2.38: Tập 10 điểm có|∂Ω|=3và có cấu hình (3,3,4).
Hình 2.39: Tập 10 điểm có|∂Ω|=3và có cấu hình (3,3,3,1).
• Khả năng thứ nhất. Tồn tại một miền chứa đúng hai đỉnh của
∂Ω1. Giả sử là miền (I) và hai đỉnh đó là E và F. Vậy ta được ngũ giác lồi rỗng suy rộng là ABEFC. Xem hình 2.40.
• Khả năng thứ hai. Ngược lại mỗi miền (I), (II), (III) chứa đúng một đỉnh của ∂Ω1, ta giả sử đỉnhE thuộc miền (I), đỉnh F thuộc miền (II), đỉnh G thuộc miền (III). Khi đó ta chia lại mặt phẳng thành ba miền mới là (xem hình 2.41 ): Miền (IV) được giới hạn bởi các tia AB vàAC.
Miền (V) được giới hạn bởi các tiaAC và AD.
Miền (VI) được giới hạn bởi các tia ADvà AB. Khi đó :
Hình 2.40: Tập 10 điểm có|∂Ω|=3và có cấu hình (3,3,3,1).
Hình 2.41: Tập 10 điểm có|∂Ω|=3và có cấu hình (3,3,3,1).
hai đỉnh của ∂Ω. Giả sử là miền (IV) và hai đỉnh đó làV1 và
V2.Vậy ta được ngũ giác lồi rỗng suy rộng làCEV1V2F. Xem hình 2.42.
[ii] Mỗi miền (IV), (V), (VI) chứa đúng một đỉnh của ∂Ω.
[*] Tồn tại một đỉnh của ∂Ω nằm trong vị trí lồi với các tứ giác (miền gạch chéo):
ABECvàACFD trong miền (IV).
ACFDvàADGB trong miền (V).
ADGBvàABEC trong miền (VI).
Hình 2.42: Tập 10 điểm có|∂Ω|=3và có cấu hình (3,3,3,1).
đỉnhV1 nằm trong vị trí lồi của tứ giác lồi ABEC. Vậy ta có được ngũ giác lồi rỗng suy rộng ABEV1C. Xem hình 2.43.
Hình 2.43: Tập 10 điểm có|∂Ω|=3và có cấu hình (3,3,3,1).
[**] Ngược lại mỗi miền (*) chứa đúng một đỉnh của∂ {convΩ}.
Khi đó với hai đỉnh của ∂Ω thuộc hai miền (*) liên tiếp chúng luôn nằm trong vị trí lồi với một trong các tam giác
CEF, DFGvà tam giácBEG.Vậy ta có được ngũ giác lồi rỗng suy rộng. Xem hình 2.44.
Hình 2.44: Tập 10 điểm có|∂Ω|=3và có cấu hình (3,3,3,1).
Như vậy ta đã chứng minh được các công thức:
Chương 3
Chứng minh giả thuyết Erd¨os-Szekeres
với trường hợp n = 6 trong một số trường
hợp riêng.
Trong chương này chúng tôi trình bày lại một cách tóm lược công trình của Knut Dehnhardt, Heiko Harboth và Zsolt Lángi[9]đã chứng minh cho giả thuyết Erd¨os-Szekeres với trường hợp n =6 trong một số trường hợp riêng mà không sử dụng máy tính.