Ta sẽ xây dựng một không gian vectơ chứa các đặc trưng của các biểu diễn của một nhóm.
Cho G là nhóm hữu hạn. Tập hợp:
F(G, C) = {α : G →C}
gồm các hàm phức trên G cùng với phép cộng và phép nhân vô hướng được định nghĩa như sau: với ∀α, β ∈ F(G,C),∀s ∈ G, k ∈ C
(α+ β)(s) = α(s) +β(s) (kα)(s) =kα(s).
Khi đó, F(G,C) cùng với hai phép toán trên lập nên một không gian véctơ, và được gọi là không gian F(G,C) các hàm phức trên G. Thật ra
F(G, C) ' C|G|.
Trên F(G,C), biểu thức hα, βi = 1 |G| X s∈G α(s)β(s),∀α, β ∈ F(G,C)
xác định một tích vô hướng, tức là một dạng Hermit xác định dương, đối với α, β ∈ F(G,C).
Định lý 2.2.3.1. [4] Giả sử χ, χ0 lần lượt là các đặc trưng của hai biểu diễn bất khả quy không đẳng câu với nhau, khi đó:
i. < χ, χ >= 1. ii. < χ, χ0 >= 0.
Chứng minh
Giả sử ρ :G → GL(V) là một biểu diễn của G. Khi đó, ta có thể chọn một tích vô hướng <,> trên V bất biến đối với ρ, nghĩa là thỏa mãn hệ thức:
hρs(x), ρs(y)i = hx, yi,∀s ∈ G,∀x, y ∈ V. Thật vậy, nếu <,> chưa có tính chất trên thì ta thay nó bởi P
s∈G
hρs(.), ρs(.)i. Nếu <,> bất biến đối với ρ thì trong mọi cơ sở trực chuẩn theo <,> của V, ma trận Ps = Pij(s)) của ρs là một ma trận Unitare (tức là Pij(s−1) =Pji(s)).
i. Giả sử χ là đặc trưng của biểu diễn bất khả quy ρ, được cho trong một cơ sở nào đó bởi ma trận Unitare Ps = (Pij(s), s ∈ G.
Khi đó χ(s) =P i Pii(s). Theo Hệ quả 2.2.2.6, ta có: hχ, χi = |G1| P s∈G χ(s)χ(s) =|G1| P s∈G P i,k Pii(s)Pkk(s) = n P i=1 n P i=1 1 |G| P s∈G Pii(s)Pkk(s) = |G1| P s,i,k Pkk(s−1)Pii(s) = P i,k δik n = nn = 1.
Hệ quả 2.2.3.2. [4] Giả sử V là một G - không gian với đặc trưng α và giả sử V được phân tích thành các G - không gian bất khả quy như sau:
V = W1 ⊕W2...⊕Wk
Khi đó, nếu W là một G - không gian bất khả quy với đặc trưng χ thì số các Wi đẳng cấu với W bằng < α, χ >.
Chứng minh
Giả sử χi là đặc trưng của Wi.
Theo Mệnh đề 2.2.1.6, ta có α = χ1 +...+χk. Suy ra hα, χi = hχ1, χi+...+ hχk, χi
Áp dụng Định lý 2.2.3.1, < χi, χ > bằng 1 hoặc bằng 0 tùy thuộc vào Wi có đẳng cấu với W hay không.
Vậy số các Wi đẳng cấu với W bằng < α, χ >.
Định nghĩa 2.2.3.3. Số < α, χ > được gọi là số lần xuất hiện của W trong V, hay số bội mà W được chứa trong V.
Như vậy, mỗi G - không gian có phân tích duy nhất (sai khác một đẳng cấu) thành tổng trực tiếp của các G - không gian bất khả quy.
Hệ quả 2.2.3.4. [4] Cho hai biểu diễn của G có cùng một hàm đặc trưng thì đẳng cấu với với nhau.
Chứng minh
Theo Hệ quả 2.2.3.2, hai biểu diễn có cùng hàm đặc trưng thì có cùng số lần xuất hiện của mỗi biểu diễn bất khả quy của G. Do đó, hai biểu diễn này có phân tích duy nhất thành tổng trực tiếp của các G - không gian bất khả quy, tức là chúng đẳng cấu với nhau.
Hệ quả này cho phép quy nghiên cứu các biểu diễn về việc nghiên cứu các đặng trưng của chúng.
Định lý 2.2.3.5. [4] Biểu diễn ρ : G→ GL(V) là bất khả quy khi và chỉ khi đặc trưng χρ của nó có chuẩn bằng 1, tức là < χρ, χρ >= 1.
Chứng minh
Giả sử V được phân tích thành các tổng trực tiếp các G - không gian bất khả quy:
V = m1W1 ⊕m2W2 ⊕...⊕mkWk, mi > 0, i = 1, .., k trong đó, W1, ..., Wk đôi một không đẳng cấu với nhau.
Gọi χi là đặc trưng của G - không gian bất khả quy Wi. Ta có: hχρ, χρi = * X i miχi,X j mjχj + = X i,j mimjhχi, χji = X i,j mimjδij = k X i=0 m2i Theo Định lý 2.2.3.1, < χρ, χρ >= 1 ⇔ k = 1 và m1 = 1.
Khi đó, V ' W1. Mà W1 là một G - không gian bất khả quy nên V cũng vậy, do đó ρ bất khả quy.