Q8 = a, b|a4 = e, a2 = b2, aba= b
Theo Mệnh đề 1.2.2.4, nhóm Q8 có 5 lớp liên hợp được đại diện bởi các phần tử e, a2, a, b, ab, nên nó có 5 biểu diễn bất khả quy đôi một không đẳng cấu với nhau.
Mặt khác, [Q8, Q8] =< a2 > là nhóm cyclic cấp 2 nên
Theo Định lí 3.1.3, Q8 có đúng 4 biểu diễn bất khả quy cấp một đôi một không đẳng cấu với nhau, vì chỉ số [Q8 : [Q8, Q8]] = 4.
Theo Hệ quả 2.2.4.3, biểu diễn bất khả quy thứ 5 của Q8 có cấp bằng √
8−4 = 2
Ta lại có một biểu diễn cấp 2 của Q8, được cho bởi tương ứng a 7→ √ −1 0 0 −√−1 b 7→ 0 1 1 0
Ta có đặc trưng χ5 của biểu diễn này có các tính chất: χ5(e) = 2, χ5(a2) =−2, χ5(a) =χ5(b) =χ5(ab) = 0.
Từ đó suy ra < χ5, χ5 >= 1. Vậy χ5 là một đặc trưng bất khả quy.
Bốn đặc trưng bất khả quy cấp một còn lại của Q8 được tìm theo phương pháp của Định lí 3.1.1. Chúng đều bằng 1 trên các phần tử của nhóm các giao hoán tử [Q8, Q8] = e, a2. Hơn nữa, vì a2 = b2 nên bốn đặc trưng này tương ứng với 4 cách ánh xạ a, b vào ±1, là các căn bậc hai của 1. Cuối cùng, giá trị của mỗi đặc trưng này trên ab bằng tích của hai giá trị của nó trên a và trên b.
Tất cả các đặc trưng bất khả quy đôi một không đẳng cấu của G được cho trong bảng sau, trong đó các số của dòng đầu tiên là số phần tử của lớp liên hợp đại diện bởi phần tử tương ứng ở dòng dưới.
1 1 2 2 2 e a2 a b ab χ1 1 1 1 1 1 χ2 1 1 -1 -1 1 χ3 1 1 -1 1 -1 χ4 1 1 1 -1 -1 χ5 2 -2 0 0 0