Định lý 2.2.4.1. [4] Cho ánh xạ ρ : G → GL(C[G]) là biểu diễn chính quy của G. Đặc trưng của biểu diễn chính quy của G được cho bởi công thức: rG(s) = |G| (s = e) 0 (s 6= e)
với e là đơn vị của G.
Chứng minh
Giả sử (t)t∈G là một cơ sở của C[G]. Với ∀t ∈ G, ta có ρs(t) =st.
Nếu s 6= e thì st6= t. Suy ra, các phần tử trên đường chéo của ma trận liên kết với ρs đối với cơ sở trên đều bằng 0.
Theo Mệnh đề 2.2.1.3, ta có rG(s) = dimC[G] = |G|. Vậy rG(s) = |G| (s = e) 0 (s 6= e)
Hệ quả 2.2.4.2. [4] Mỗi biểu diễn bất khả quy đều chứa trong biểu diễn chính quy với số bội bằng cấp của nó.
Chứng minh
Giả sử χ là đặc trưng của G - không gian bất khả quy W có cấp n. Theo Hệ quả 2.2.3.2, số lần W xuất hiện trong C[G] bằng
hrG, χi = 1 |G| X s∈G rG(s)χ(e) = 1 |G| |G|χ(e) =χ(e) =n = n
Vậy mỗi biểu diễn bất khả quy đều được chứa trong biểu diễn chính quy với số bôi bằng cấp của nó.
Hệ quả 2.2.4.3. [4] Giả sử W1, ..., Wk là tất cả các G - không gian bất khả quy đôi một không đẳng cấu với nhau, lần lượt có các đặc trưng là χ1, ..., χk với các cấp tương ứng n1, ..., nk. Khi đó:
i. n21 +...+n2k = |G| ii. k P i=1 niχi(s) = 0,∀s ∈ G\{e}. Chứng minh Theo Hệ quả 2.2.4.2,rG = k P i=1 niχi. Tác động 2 vế vào s ∈ G và áp dụng Định lý 2.2.3.4,với s = e ta suy ra i), với s 6= e ta suy ra ii).
Nhận xét 2.2.4.4. Điều kiện cần và đủ để các biểu diễn bất khả quy đôi một không đẳng cấu của G có các cấp tương ứng n1, ..., nk lập thành một hệ đầy đủ các biểu diễn bất khả quy của G là :
n21 +...+n2k = |G|
G nếu
f(tst−1) =f(s),∀s, t ∈ G.
Kí hiệu RC(G) là không gian vectơ con của không gian F(G,C) gồm tất cả các hàm lớp trên G.
Ví dụ 2.2.4.6. Đặc trưng của một biểu diễn tuyến tính ρ của một nhóm G, χρ : G →C là một hàm lớp trên G.
Bổ đề 2.2.4.7. [4] Giả sử f là một hàm lớp trên G vàρ : G →GL(V)
là một biểu diễn bất khả quy bậc n với đặc trưng χ. Khi đó phép biến đổi tuyến tính
ρf = X
s∈G
f(s)ρs : V →V
là một phép vị tự theo tỉ số λ = |Gn|hf, χi. Trong đó, χ là hàm được định nghĩa bởi χ(s) = χ(s). Chứng minh: ∀s ∈ G, ρ−s1ρfρs = X t∈G ρ−s1f(t)ρtρs = X t∈G f(t)ρs−1ts. Đặt u = s−1ts, ta có f(t) =f(sus−1) =f(u). Do đó ρ−s1ρfρs = X u∈G f(u)ρu = ρf ⇒ρfρs = ρsρf. Theo Bổ đề Schur, ρf = λidV. Khi đó:
nλ = T r(λidV) = T r(ρf) =T r(P s∈G f(s)ρs) = P s∈G f(s)T r(ρs) = P s∈G f(s)χ(s) = |G||G1| P s∈G D f(s), χ(s)E = |G| hf, χi.
Vậy ρf là một phép vị tự theo tỉ số λ = |Gn| hf, χi.
Định lý 2.2.4.8. [4] Gọi χ1, χ2, ..., χk là đặc trưng của tất cả những biểu diễn bất khả quy đôi một không đẳng cấu của G. Khi đó χ1, χ2, ..., χk lập nên một cơ sở trực chuẩn của không gian RC(G) các hàm lớp trên G.
Từ Định lý 2.2.3.1, ta có χ1, χ2, ..., χk là một hệ trực chuẩn. Giả sử f ∈ RC(G) và f trực giao với mọi χi, tức là:
hf, χii = 0,∀i = 1, n. Theo Bổ đề 2.2.4.7,ρf = P s∈G f(s)ρslà phép vị tự theo tỉ sốλ = |Gn|f, χi0 = 0 nên ρf = P s∈G f(s)ρs = 0.
Vì mỗi biểu diễn là tổng trực tiếp của các biểu diễn bất khả quy nên ρf = 0 với mọi biểu diễn ρ (không nhất thiết bất khả quy) (theo Định lý 2.1.6.2).
Áp dụng kết luận trên cho ρ là một biểu diễn chính quy của G. Với e là đơn vị của G, ta có: 0 = ρf(e) =X s∈G f(s)ρs(e) =X s∈G f(s)s.
Suy ra: f(s) = 0,∀s ∈ G. Do đó, χ1, χ2, ..., χk là một cơ sở của RC(G). Vậy χ1, χ2, ..., χk lập nên một cơ sở trực chuẩn của không gian RC(G).
Định lý 2.2.4.9. [4] Số các biểu diễn bất khả quy đôi một không đẳng cấu của G bằng số lớp liên hợp của G.
Chứng minh
Giả sử C1, ..., Ck là tất cả các lớp liên hợp trong G.
Hàm f : G → C là một hàm lớp nếu và chỉ nếu f là một hằng số trên mỗi lớp liên hợp Ci (các hằng số phức này có thể chọn tùy ý). Do đó, số chiều của không gian RC(G) bằng số k các lớp liên hợp trong G.
Mặt khác, theo Định lý 2.2.4.8, số chiều của RC(G) cũng bằng số các biểu diễn bất khả quy đôi một không đẳng cấu của G. Do đó số các biểu diễn bất khả quy đôi một không đẳng cấu của G bằng số liên hợp của G.
của nhóm G×H khi đã biết các đặc trưng bất khả quy của G và H. Định lý 2.2.4.10. [10] Cho χ1, χ2, ..., χm là m đặc trưng bất khả quy của G và ψ1, ..., ψn là n đặc trưng bất khả quy của H. Khi đó, G×H có m.n đặc trưng bất khả quy, đó là:
χi ×ψj với mọi i = 1, m, j = 1, n.
Ta hiểu phép nhân trong Định lý 2.2.4.10 như sau: Giả sử χi : G →C g 7→ χi(g) và ψj : H → C h 7→ ψj(h) Khi đó: χi×ψj : H ×G → C (g, h) 7→(χi ×ψj)(g, h) = χi(g).ψj(h) 2.2.5. Phép nâng đặc trưng
Mệnh đề 2.2.5.1. [4] Giả sử N / G và χe là một đặc trưng của G/N. Hàm χ : G →C được xác định bởi χ(s) =χe(sN), s ∈ G. Khi đó, χ là một đặc trưng của G, và χ và χe có cùng cấp.
Chứng minh
Giả sử ρe: G/N →GL(V) là một biểu diễn của G/N với đặc trưng χ.e Hàm ρ: G →GL(V) được xác định bởi sự hợp thànhs 7→ sN 7→ρe(sN)
(s ∈ G) là một đồng cấu từ G vào GL(V). Do đó, ρ là một biểu diễn của G. Đặc trưng χ của ρ thỏa mãn:
χ(s) =T r(ρ(s)) = T r(ρe(sN)) = χe(sN),∀s ∈ G. Hơn nữa, χ(e) =χe(N) nên χ và χe có cùng cấp.
Định nghĩa 2.2.5.2. Nếu N / G và χe là một đặc trưng của G/N. Hàm χ : G → C được xác định bởi χ(s) = χe(sN), s ∈ G được gọi là cái nâng của χe lên G.
Định lý 2.2.5.3. [4] Giả sử N / G. Bằng cách kết hợp mỗi đặc trưng của G/N với cái nâng của nó lên G, ta thu được một song ánh giữa tập hợp các đặc trưng của G/N và tập hợp các đặc trưng χ của G thỏa mãn N ≤ Kerχ. Các đặc trưng bất khả quy của G/N tương ứng với các đặc trưng bất khả quy của G mà chứa N trong hạt nhân của chúng.
Chứng minh
Nếu χe là một đặc trưng của G/N và χ là cái nâng của χe lên G thì
e
χ(N) = χ(e).
Với∀a ∈ N, ta cũng có :χ(a) = χe(aN) =χe(N) =χ(e). Vì vậy N≤ Kerχ. Giả sử χ là một đặc trưng của G với N ≤ Kerχ và ρ : G → GL(V)
là một biểu diễn của G với đặc trưng χ. Nếu s1, s2 ∈ G và s1N = s2N thì s1s−21 ∈ N ⇒ ρ(s1s2−1) =idV ⇒ρ(s1) =ρ(s2). Do đó, ta có thể định nghĩa hàm ρe: G/N → GL(V) bởi e ρ(sN) =ρ(s),∀s ∈ G. Khi đó, với ∀s, t ∈ G, ta có: e ρ((sN)(tN)) = ρe(stN) = ρ(st) = ρ(s)ρ(t) =ρe(sN)ρe(tN). Vì vậy, ρelà một biểu diễn của G/N. Nếu χe là đặc trưng của ρethì:
e
χ(sN) =χ(s),∀s ∈ G. Do đó, χ là cái nâng χ.e
Bây giờ ta thiết lập một hàm cho tương ứng mỗi đặc trưng của G/N với cái nâng của nó lên G. Hàm này là một song ánh giữa tập các đặc trưng của G/N và tập các đặc trưng của G mà N chứa trong hạt nhân của chúng.
Hàm đặc trưng này còn chỉ ra rằng các đặc trưng bất khả quy của G/N tương ứng với các đặc trưng bất khả quy của G. Để thấy điều này, giả sử U là một không gian con của Cn, và vì
uρ(s) ∈ U,∀u ∈ U ⇔uρe(sN) ∈ U,∀u ∈ U.
Do đó, U là một C[G] - môđun con của Cn khi và chỉ khi biểu diễn ρelà bất khả quy nên đặc trưng χ là bất khả quy khi và chỉ khi đặc trưng χe là bất khả quy.
CHƯƠNG3
BIỂU DIỄN MỘT SỐ NHÓM HỮU HẠN
Áp dụng các kết quả của chương 2, chương này trình bày biểu diễn của một số nhóm hữu hạn quen biết. Nội dung của chương được tham khảo từ các tài liệu [4], [10]
3.1. Biểu diễn nhóm Abel hữu hạn.
Định lý 3.1.1.[4] Nhóm G là abel khi và chỉ khi mọi biểu diễn bất khả quy của nó đều có cấp bằng 1.
Chứng minh
Gọi n1, n2, ..., nk là cấp của tất cả các biểu diễn bất khả quy đôi một không đẳng cấu của G.
Nhóm G là abel nếu và chỉ nếu mọi lớp liên hợp của nó chứa đúng một phần tử, tức là |G|= k.
Mà theo Hệ quả 2.2.4.3, |G| = n21 +n22 +...+n2k nên n1 = n2 = ...= nk = 1.
Hệ quả 3.1.2. [4] Giả sử A là một nhóm con abel của G. Khi đó, mọi biểu diễn bất khả quy của G đều có cấp nhỏ hơn hoặc bằng [G : A].
Chứng minh
Giả sử ρ : G →GL(V) là một biểu diễn bất khả quy của G. Xét hạn chế của ρ trên A:
ρA : A →GL(V)
Giả sử W ⊂V là một không gian biểu diễn con bất khả quy của ρA. Theo Định lý 3.1.1, dim W = 1.
Đặt V0 = P
s∈G
ρ(s)W ⊂V.
Khi đó, V’ ổn định dưới tác động của G, nên V’ là G - không gian con của G.
Vì ρ bất khả quy nên V không có không gian con nào khác V và 0. Mà V’ 6= 0 nên V’ = V.
Mặt khác, ∀s ∈ G, a ∈ A, ρ(sa)W = ρ(s)ρ(a)W = ρ(s)W.
Do đó, số các không gian khác nhau có dạng ρ(s)W là không vượt quá số lớp kề [G :A].
Vậy dimV ≤ [G : A]dimW = [G :A].
Định lý 3.1.3 [4] Có tương ứng một - một giữa các biểu diễn cấp một của G với các biểu diễn bất khả quy của nhóm abel G/[G,G]. Số biểu diễn cấp một không đẳng cấu với nhau của G bằng chỉ số của [G,G] trong nhóm G.
Chứng minh
Giả sử ρ : G →GL(C) là một biểu diễn cấp một của G.
VìGL(C)là abel nênImρ cũng là abel. Do đó, theo Mệnh đề 1.1.2.7,Kerρ chứa nhóm con giao hoán tử [G,G]. Ta có một biểu diễn của G/[G,G] sinh bởi ρ như sau:
e
ρ : G/[G, G] →GL(C)
s[G, G] 7→ρe(s[G, G]) = ρ(s),∀s ∈ G.
Vì [G, G] ≤ Kerρ nên định nghĩa trên không phụ thuộc vào đại diện lớp kề s[G,G].
Biểu diễn ρecó cấp một nên ρebất khả quy.
Ngược lại, giả sử ϕ là một biểu diễn bất khả quy của nhóm G/[G, G]. Vì G/[G, G] là abel nên ϕ có cấp một. Nó cảm sinh một biểu diễn cấp một
ϕ của G xác định bởi:
ϕ(s) =ϕπ(s), s ∈ G trong đó, π : G →G/[G, G] là phép chiếu tự nhiên. Tương ứng ϕ 7→ ϕ là ngược của tương ứng ρ → ρ.e
Do tương ứng một - một vừa thiết lập và do G/[G,G] là một nhóm abel, nên số các biểu diễn cấp một không đẳng cấu với nhau của G bằng |G/[G, G]| = [G: [G, G]].
3.2. Biểu diễn nhóm cyclic hữu hạnXét nhóm cyclic cấp n sinh bởi a Xét nhóm cyclic cấp n sinh bởi a
Cn = ha|an = ei.
Vì Cn là nhóm abel, nên mọi biểu diễn bất khả quy của nó đều có cấp bằng 1. Mỗi biểu diễn bất khả quy cấp một ρ của Cn được đồng nhất với đặc trưng χ của nó, là một đồng cấu từ Cn vào nhóm nhân C\{0}. Nếu đặt w = χ(a), thì χ(am) = wm. Vì an = e, nên wn = 1. Nghĩa là w là một căn bậc n của đơn vị, suy ra:
w =e2πikn (k = 0,1, ..., n−1)
Ta thu được n biểu diễn bất khả quy bậc 1 của Cn với đặc trưng là: χk(am) = e2πikmn (k = 0,1, ..., n−1)
Ta có bảng đặc trưng của nhóm Cn
e a ... am ... an−1
χ0 1 1 ... ... ... 1
... ... ... ... ... ... ...
χk 1 e2πikn ... e2πikmn ... e2πik(nn−1)
... ... ... ... ... ... ...
3.3. Biểu diễn nhóm diheral Dn, n > 2
Biểu diễn của Dn phụ thuộc vào tính chẵn lẻ của n.[10] 3.3.1. Biểu diễn của nhóm Dn với n chẵn.
Theo Mệnh đề 1.2.2.2, nhóm Dihedrah Dn có n2 + 3 lớp liên hợp: {e}, n an/2 o ,ar, a−r 1≤ r ≤ n 2 −1 , n a2jb,1≤ j ≤ n 2 o , a2j+1b,1≤ j ≤ n2 . Do đó Dn có n2 + 3 đặc trưng bất khả quy. Xét K =< a2 > là nhóm con chuẩn tắc của Dn. Ta có Dn/K ∼= C
2 ×C2 và [Dn, Dn] =< a2 > có n2 phần tử. Suy ra số biểu diễn bất khả quy cấp một của Dn (n chẵn) bằng
[Dn : [Dn, Dn]] = 4.
Bốn đặc trưng bất khả quy cấp một χ1, χ2, χ3, χ4 này củaDn thu được bằng 4 cách đặt tương ứng ±1 với a và b. Các đặc trưng tương ứng được mô tả trong bảng sau:
am bam
χ1 1 1
χ2 1 -1
χ3 (−1)m (−1)m
χ4 (−1)m (−1)m+1
Tiếp theo, ta xét các biểu diễn cấp 2 của nhóm Dn. Đặt w = e2πi/n và định nghĩa biểu diễn ρk của Dn bởi công thức:
ρk(am) = wkm 0 0 w−km , ρk(bam) = 0 w−km wkm 0
biểu diễn, với mọi k. Đặc trưng của biểu diễn này là hàm χ0k sau đây: χ0k(am) = wkm + w−km = 2 cos2πkm n ;χ 0 k(bam) = 0. Từ đó, ta có ρk ∼= ρk+n, ρk = ρn−k. Vì vậy, ta chỉ cần xét k trong khoảng 0≤ k ≤ n/2. Nhận xét rằng: χ00 = χ1 +χ2, χ0n 2 = χ3 +χ4.
Với 0< k < n/2, dễ kiểm tra lại rằng< χ0k, χ0k >= 1, do đó χ0k là một đặc trưng bất khả quy.
Các đặc trưng χ1, χ2, χ3, χ4, χ01, χ02, ..., χ0n
2−1 là hệ đầy đủ các đặc trưng bất khả quy đôi một khác nhau của Dn bởi vì tổng bình phương các cấp của chúng là 4.1 + (n2 −1).4 = 2n và bằng cấp của Dn.
Từ kết quả trên, ta có bảng đặc trưng của nhóm Dn, với n chẵn như sau: e an/2 ar b ab χ1 1 1 1 1 1 χ2 1 1 1 -1 -1 χ3 1 (−1)n/2 (−1)r 1 -1 χ4 1 (−1)n/2 (−1)r -1 1 χ0k 2 2(−1)k 2cos2πkrn 0 0 với 1≤ r ≤ n2 −1, 1≤ k ≤ n2 −1
3.3.2. Biểu diễn của nhóm Dn với n lẻ
Theo Mệnh đề 1.2.2.2, nhóm Dn ứng với n lẻ có đúng n+32 lớp liên hợp là:
{e},ar, a−r (1 ≤ r ≤ n−1
2 ),{asb,0≤ s ≤ n−1}.
quy.
Đồng thời ta có [Dn, Dn] =< a >∼= C
2. Vì Cn / Dn và Dn/Cn ∼= C
2, nên ta theo Định lý 3.1.1, Dn có hai biểu diễn bất khả quy cấp một
Do đó Dn có hai đặc trưng cấp một χ1, χ2 xác định bởi: χ1(am) =χ1(bam) = 1
χ2(am) = 1, χ2(bam) = −1
Các biểu diễn cấp hai ρk(0 < k < n2) được định nghĩa bởi cùng một công thức khi n chẵn. Các đặc trưng χ01, χ02, ..., χ0n−1
2
của ρ1, ..., ρn−21 cùng với χ1, χ2 lập thành hệ đầy đủ các đặc trưng bất khả quy đôi một không đẳng cấu với nhau của Dn, vì
2.1 + n−1
2 .4 = 2n = |Dn| Ta có bảng đặc trưng của Dn ứng với n lẻ như sau:
e ar b χ1 1 1 1 χ2 1 1 -1 χ0k 2 2cos2πkrn 0 với 1≤ r ≤ n−1 2 , 1≤ k ≤ n−1 2 .
3.4. Biểu diễn nhóm quaternionXét nhóm quaternion Q8 Xét nhóm quaternion Q8
Q8 = a, b|a4 = e, a2 = b2, aba= b
Theo Mệnh đề 1.2.2.4, nhóm Q8 có 5 lớp liên hợp được đại diện bởi các phần tử e, a2, a, b, ab, nên nó có 5 biểu diễn bất khả quy đôi một không đẳng cấu với nhau.
Mặt khác, [Q8, Q8] =< a2 > là nhóm cyclic cấp 2 nên
Theo Định lí 3.1.3, Q8 có đúng 4 biểu diễn bất khả quy cấp một đôi một