Định lý 3.1.1.[4] Nhóm G là abel khi và chỉ khi mọi biểu diễn bất khả quy của nó đều có cấp bằng 1.
Chứng minh
Gọi n1, n2, ..., nk là cấp của tất cả các biểu diễn bất khả quy đôi một không đẳng cấu của G.
Nhóm G là abel nếu và chỉ nếu mọi lớp liên hợp của nó chứa đúng một phần tử, tức là |G|= k.
Mà theo Hệ quả 2.2.4.3, |G| = n21 +n22 +...+n2k nên n1 = n2 = ...= nk = 1.
Hệ quả 3.1.2. [4] Giả sử A là một nhóm con abel của G. Khi đó, mọi biểu diễn bất khả quy của G đều có cấp nhỏ hơn hoặc bằng [G : A].
Chứng minh
Giả sử ρ : G →GL(V) là một biểu diễn bất khả quy của G. Xét hạn chế của ρ trên A:
ρA : A →GL(V)
Giả sử W ⊂V là một không gian biểu diễn con bất khả quy của ρA. Theo Định lý 3.1.1, dim W = 1.
Đặt V0 = P
s∈G
ρ(s)W ⊂V.
Khi đó, V’ ổn định dưới tác động của G, nên V’ là G - không gian con của G.
Vì ρ bất khả quy nên V không có không gian con nào khác V và 0. Mà V’ 6= 0 nên V’ = V.
Mặt khác, ∀s ∈ G, a ∈ A, ρ(sa)W = ρ(s)ρ(a)W = ρ(s)W.
Do đó, số các không gian khác nhau có dạng ρ(s)W là không vượt quá số lớp kề [G :A].
Vậy dimV ≤ [G : A]dimW = [G :A].
Định lý 3.1.3 [4] Có tương ứng một - một giữa các biểu diễn cấp một của G với các biểu diễn bất khả quy của nhóm abel G/[G,G]. Số biểu diễn cấp một không đẳng cấu với nhau của G bằng chỉ số của [G,G] trong nhóm G.
Chứng minh
Giả sử ρ : G →GL(C) là một biểu diễn cấp một của G.
VìGL(C)là abel nênImρ cũng là abel. Do đó, theo Mệnh đề 1.1.2.7,Kerρ chứa nhóm con giao hoán tử [G,G]. Ta có một biểu diễn của G/[G,G] sinh bởi ρ như sau:
e
ρ : G/[G, G] →GL(C)
s[G, G] 7→ρe(s[G, G]) = ρ(s),∀s ∈ G.
Vì [G, G] ≤ Kerρ nên định nghĩa trên không phụ thuộc vào đại diện lớp kề s[G,G].
Biểu diễn ρecó cấp một nên ρebất khả quy.
Ngược lại, giả sử ϕ là một biểu diễn bất khả quy của nhóm G/[G, G]. Vì G/[G, G] là abel nên ϕ có cấp một. Nó cảm sinh một biểu diễn cấp một
ϕ của G xác định bởi:
ϕ(s) =ϕπ(s), s ∈ G trong đó, π : G →G/[G, G] là phép chiếu tự nhiên. Tương ứng ϕ 7→ ϕ là ngược của tương ứng ρ → ρ.e
Do tương ứng một - một vừa thiết lập và do G/[G,G] là một nhóm abel, nên số các biểu diễn cấp một không đẳng cấu với nhau của G bằng |G/[G, G]| = [G: [G, G]]. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
3.2. Biểu diễn nhóm cyclic hữu hạnXét nhóm cyclic cấp n sinh bởi a