Mô hình POLS áp dụng hồi OLS thông thường trên cả đơn vị chéo i và thời gian t nên có dạng đơn giản như sau:
γt = x,tβ + uIt
Với Yit = (YI, Y2,., YN) với YN = (YNI, YN2,.,YNT) nên Yit có vector NTx1; β = (β1,β2,.,βk) có vector Kxl và Xit = (X⅛1,X⅛2,..., Xit,k) với X1t,k = (Xι,k, X2,k,.. ∙,XN,k) suy ra Xit có vector NTxK; uittương tự Yit có vector NTxl với i=1,2,...,N; t=1,2,.,T
Trong đó:
• Yit, Xit lần lượt là biến phụ thuộc và biến độc lập của mô hình
• β là hệ số hồi quy ước lượng tác động của tất cả các biến Xk và không thay đổi theo thời gian hay đơn vị chéo
• uit là phần dư của hồi quy thay đổi theo các đơn vị chéo và thời gian Và các giả định chính của mô hình là:
Giả định POLS1: h. ..∖ u) = 0 với i=1,2,..., N; t=1,2,...,T (3.1) Giả định POLS1 cho thấy sự không tương quan giữa phần dư và biến giải thích của mô hình hồi quy tại cùng thời điểm và cùng đơn vị chéo. Và trong hầu hết các ứng dụng trong kinh tế lượng, các biến giải thích gần như không có biến đơn vị nên từ đó ta có thể suy ra từ giả định POL S1 là
E(uιt∖Xιt) = 0 với i=1,2,..., N; t=1,2,...,T (3.2) Nghĩa là kỳ vọng có điều kiện của phần dư hồi quy bằng 0 tại cùng đơn vị chéo và thời điểm với biến giải thích y. Nếu so sánh với giả định của mô hình REM hay FEM thì đây là giả định yếu hơn hẳn để có thể khiến hệ số hồi quy riêng đạt được sự nhất quán (consistent estimator) cần thiết. Dưới giả định POLS1 ta suy ra được
E(Xτ
tXit)β = E(Xτ
tYit) và E(Xτ Xit) là ma trận xác định dương, đối xứng có dạng vector KxK và E(Xτ
tYit) có vector Kx1. Nên để ước lượng β có vector Kx1 ta cần giả định POLS2.
Giả định POLS2: rank[E(XιtXτTt)] = K (3.3) Từ giả định POLS1 và POLS2 hệ số β được xác định là:
Λ C N T N T ∖
β POLS =I ∑∑XX I ∑∑XτΛ I (3-4)
K i=1 t=1 ) K i=1 t=1 )
Λ
Đồng thời dưới giả định POLS1 và POLS2, ước lượng β
P0Ls đạt được tính chất nhất quán (consistent) nhưng không đạt được tính chất không chệch (unbiased). Để
Λ
β'POLS có tính chất không chệch giả định POLS1 cần được thay thế bằng giả định nghiêm ngặt hơn:
E(UΛ∖XΛ,XΛ,...,X1T) = E(Ui,∖X,) = 0 v<ji t = 1,2,.,T (3.5)
Nghĩa là tại mọi thời điểm của phần dư và biến giải thích có cùng đơn vị chéo thì giữa chúng không có tương quan. Mặc dù giả định (3.5) mạnh hơn giả định POLS1 đồng nghĩa rằng nó ít được áp dụng thường hoặc sẽ bị vi phạm trong các tình huống thực tế nhưng đôi khi nó cũng phù hợp trong một số tình huống. Để áp dụng tính chất thống kê chuẩn của OLS và để POLS đạt được hiệu quả tương đối thì mô hình (3.1) cần có thêm các giả định phương sai đồng nhất và không có tương quan chuỗi của phần dư. Từ đó, ta có giả định tiếp theo.
Giả định POLS3: (a) E(u2Xτ
ιtXιt) = σ2E(Xτ
ltXlt) và E(u2
ιt) = σ2với t = 1,2,...,T
(b)E(uituisXτ
itXit) = 0 với s≠t, t,s = 1,2,...,T
Phần (a) của giả định POLS3 là một giả định phương sai đồng nhất ràng buộc cao, nó cho rằng phương sai có điều kiện của phần dư không phụ thuộc vào Xit và phương sai không điều kiện của nó cũng bằng nhau tại mọi khoảng thời gian của đơn vị chéo. Phần (b) của giả định cho thấy ma trận tương quan có điều kiện của phần dư tại các thời điểm khác nhau bằng không. Từ giả định POLS3, ta có suy ra phương sai tiệm cận của hệ số A β' POLS là AVar ( β ‰ σ Γ E (XTtXlt) = σ ∣"y ∑X'Xit ì (3-6) POLS it It lt It KS L i=1 t=1 _ A 2 ,
Với phương sai σ được lấy từ mô hình POLS (3.1)