So với POLS, mô hình REM thêm vào các yếu tố không quan sát được mà có tác động đến mô hình tuy nhiên, mô hình REM lại yêu cầu giả định ngoại sinh nghiêm ngặt hơn POLS để có thể đạt được ước lượng nhất quán cho hệ số hồi quy. Mô hình có dạng tương tự như POLS chỉ thêm vào ci đại diện cho tác động không quan sát thay đổi theo đối tượng nhưng không thay đổi theo thời gian
Y = c + X β+u (3.7)
it i itr lτt × z
Các giả định quan trọng của mô hình là:
Giả định RE1: (a) E(uιt | X1,C1) = 0 với t = 1,2,.. .,T
(b)E(Ci∖Xi) = E(Ci) = 0
Phần (a) của giả định cho thấy phần dư của mô hình sẽ không tương quan với biến tại mọi thời điểm khi cả hai có cùng đơn vị chéo cũng như không tương quan với các tác động không quan sát được. Giả định này cũng cho thấy rằng E( X-tuιs)
= 0 với t≠s và t,s = 1,2,.. .,T, so với giả định POLS1 thì giả định này mạnh hơn đáng kể. Phần (b) của giả định cho thấy sự độc lập của biến giải thích và biến tác động không quan sát được. Dễ dàng thấy rằng giả định RE1 đặt ra nhiều hạn chế cho mô hình hơn là POLS để nhằm đạt được tính chất nhất quán cho hệ số hồi quy vì mô hình tác động ngẫu nhiên sử dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất tổng quát (GLS) để ước lượng hệ số hồi quy và một trong những điều kiện của phương pháp này yêu cầu là biến giải thích phải là một dạng của biến ngoại sinh.
Gọi v = c + u là phần dư tổng hợp và cũng được hiểu v = c.jτ + u. Từ đó ma trận phương sai (không điều kiện) của v được định nghĩa là:
Ω = EVvt ) (3-8)
Cũng giống như POLS để hệ số hồi quy của GLS có thể đạt được tính nhất quán thì cần giả định về hạng của mô hình.
Giả định RE2: rank [E(XtQk1Xtt)] = K
Từ giả định RE1 và RE2 thì ước lượng PRE nhất quán dưới phương pháp GLS. Nhưng để tính toán được PRE thì cần ước lượng Ω . Theo mô hình tác động ngẫu nhiên chuẩn thì phương pháp GLS khả thi (FGLS) được áp dụng và hai giả định mới được thêm vào nhằm xác định phương sai không điều kiện của phần dư tổng hợpE(ut) = σ2
u với t = 1,2,.. .T (3.9)
E(uιtuιs) = 0 với t≠s (3.10) Từ hai giả định trên suy ra:
E (V ) = σ u2 +σ c2 (3-11) E (Vlt vιs ) = σC (3-12) Do đó, Ω có dạng đặc biệt: Ω = σUIτ+σtjτjτ τvớijj là ma trận đơn vị TxT. Và Λ
để Ω có dạng như Ω và đạt được tính hiệu quả thì mô hình cần thêm giả định phương 40
sai phần dư tổng hợp không điều kiện bằng phương sai phần dư tổng hợp có điều kiện và bằng hằng số không thay đổi. Từ đó, ta có giả định tiếp theo.
Giả định RE3: (a) E(uιtuT | X1,cι) = σκ24 với t = 1,2,.. .T
(b)E{<c X∖ ,) = σ
Từ phần (a) của giả định và (3.9), (3.10) suy ra E(u21X,c) = σ2 và
E(uitUis | Xi, Ci) = 0. Từ giả định RElb và RE3b thì phương sai của biến tác động không quan sát được của mô hình là đồng nhất và bằng nhau giữa có điều kiện và không có điều kiện Var(c | X) = Var(c) = σ2. Từ hai giả định của REl, RE3 ta suy ra ma trận
phương sai có điều kiện của phần dư tổng hợp
E(VVT | X) = E(VV ) ∖vit v is I i) y v it v is / (3.13) A Từ lúc này ta có thể xác định được Ω : A A 2 A 2 iΩ — σ -U Iτ + σ c JT r . A 2 A 2A 2 Với σu= σv-Gc A 2 NT A 2 .A (3.14) A 2 1 A A ∕A A < , ,ʌzʌ,
σc ɪ,,,, ,.∑∑∑Vit Vis (Vit, Vis là phần dư của POLS)
NT (T-1)/2 - Kz- ⅛ ⅛
A
Sau đó ước lượng p
RE được tính toán như sau:
A C N^ A -1 PRE = ∑∑ XT Ω Xlt I R^ it it V i=1 t=l -1 ( N T A -1 ∑∑XT Ω Yit it it V i =1 t=1 (3.15) Theo phương pháp FGLS thì lúc này phương sai tiệm cận của FGLS thì tiệm cận
A
phương sai của PRE có dạng:
Var(P) = p - lim( XT Ω-1X,t) C A ʌ C _ N A -1Σ C N A -1 A A T A -1 ) C N A -1 AVarI PRE I = I ∑XT Ω X I I ∑XT Ω U1U1 Ω X Il ∑XT Ω X ' R^ i i i i ĩ ĩ (3.16) (3.17) 41