Mô hình POLS áp dụng hồi OLS thông thƣờng trên cả đơn vị chéo i và thời gian t nên có dạng đơn giản nhƣ sau:
Yit Xit uit
Với Yit = (Y1, Y2,…, YN) với YN = (YN1, YN2,…,YNT) nên Yit có vector NTx1; β = (β1,β2,…,βk) có vector Kx1 và Xit = (Xit,1,Xit,2,…, Xit,k) với Xit,k = (X1,k, X2,k,…,XN,k) suy
● Yit, Xit lần lƣợt là biến phụ thuộc và biến độc lập của mô hình
● β là hệ số hồi quy ƣớc lƣợng tác động của tất cả các biến Xk và không thay đổi theo thời gian hay đơn vị chéo
● uit là phần dƣ của hồi quy thay đổi theo các đơn vị chéo và thời gian Và các giả định chính của mô hình là:
Giả định POLS1: T it it ) 0 với i=1,2,…, N; t=1,2,…,T (3.1) Giả định POLS1 cho thấy sự không tƣơng quan giữa phần dƣ và biến giải thích của mô hình hồi quy tại cùng thời điểm và cùng đơn vị chéo. Và trong hầu hết các ứng dụng trong kinh tế lƣợng, các biến giải thích gần nhƣ không có biến đơn vị nên từ đó ta có thể suy ra từ giả định POLS1 là
E(uit | Xit ) 0 với i=1,2,…, N; t=1,2,…,T (3.2) Nghĩa là kỳ vọng có điều kiện của phần dƣ hồi quy bằng 0 tại cùng đơn vị chéo và thời điểm với biến giải thích y. Nếu so sánh với giả định của mô hình REM hay FEM thì đây là giả định yếu hơn hẳn để có thể khiến hệ số hồi quy riêng đạt đƣợc sự nhất quán (consistent estimator) cần thiết. Dƣới giả định POLS1 ta suy ra đƣợc
E(XT X ) E(XTY ) và E( X T
X ) là ma trận xác định dƣơng, đối xứng có dạng vector
it it it it it it
KxK và POLS2.
E( XTY
) có vector Kx1. Nên để ƣớc lƣợng có vector Kx1 ta cần giả định
Giả định POLS2: rank[E( X XT )] K
Từ giả định POLS1 và POLS2 hệ số β đƣợc xác định là: (3.3) X T X 1 X TY (3.4) POLS i1 t 1 it it i1 t 1 it it
Đồng thời dƣới giả định POLS1 và POLS2, ƣớc lƣợng
POLS
đạt đƣợc tính chất
nhất quán (consistent) nhƣng không đạt đƣợc tính chất không chệch (unbiased). Để
E( X u it it it N T N T
POLS
có tính chất không chệch giả định POLS1 cần đƣợc thay thế bằng giả định
nghiêm ngặt hơn:
Nghĩa là tại mọi thời điểm của phần dƣ và biến giải thích có cùng đơn vị chéo thì giữa chúng không có tƣơng quan. Mặc dù giả định (3.5) mạnh hơn giả định POLS1 đồng nghĩa rằng nó ít đƣợc áp dụng thƣờng hoặc sẽ bị vi phạm trong các tình huống thực tế nhƣng đôi khi nó cũng phù hợp trong một số tình huống. Để áp dụng tính chất thống kê chuẩn của OLS và để POLS đạt đƣợc hiệu quả tƣơng đối thì mô hình (3.1) cần có thêm các giả định phƣơng sai đồng nhất và không có tƣơng quan chuỗi của phần dƣ. Từ đó, ta có giả định tiếp theo.
Giả định POLS3: (a) E(u 2XT X ) 2 E( XT X ) và E(u2 ) 2 với t = 1,2,…,T it it it it it it (b) T it is it it ) 0 với s≠t, t,s = 1,2,…,T
Phần (a) của giả định POLS3 là một giả định phƣơng sai đồng nhất ràng buộc cao, nó cho rằng phƣơng sai có điều kiện của phần dƣ không phụ thuộc vào Xit và phƣơng sai không điều kiện của nó cũng bằng nhau tại mọi khoảng thời gian của đơn vị chéo. Phần
(b) của giả định cho thấy ma trận tƣơng quan có điều kiện của phần dƣ tại các thời điểm khác nhau bằng không. Từ giả định POLS3, ta có suy ra phƣơng sai tiệm cận của hệ số
POLS là 2 1 2 N T 1 AVar E X T X X T X (3.6) POLS 2 it it i1 t 1 it it Với phƣơng sai
đƣợc lấy từ mô hình POLS (3.1)