Theo lý thuyết, có thể sử dụng bộ điều khiển để điều khiển bất kỳ một quá trình nào mà có: một đầu ra có thể đo được (PV), một giá trị đặt biết trước cho đầu ra (SP) và một đầu vào cho chu trình (MV) là các tín hiệu tác động vào đầu ra. Các bộ điều khiển được sử dụng phổ biến trong công nghiệp để điều khiển các yêu cầu sản xuất như: điều chỉnh nhiệt độ, điều chỉnh áp suất, điều khiển tốc độ dòng chảy, … và các đại lượng khác có thể đo lường được. Một số ví dụ điều khiển trong thực tế như điều khiển nhiệt độ nước trong bồn, điều chỉnh áp suất trong máy nén khí, điều khiển hành trình cho xe điện, …
Trong thực tế các bộ điều khiển dung PID được lựa chọn cho nhiều các ứng dụng khác nhau do có độ tin cậy về lý thuyết và được kiểm chứng qua thực tế điều khiển trong thời gian dài, hơn nữa bộ điều khiển này đơn giản, dễ sử dụng, dễ cài đặt và dễ bảo trì.
Tên gọi của sơ đồ điều khiển PID được đặt tên chính là ba khâu của nó, tổng hợp của ba khâu này được tạo ra từ các biến điều khiển MV. Do đó ta có:
MV(t) = Pout + Iout + Dout (2.6)
Trong đó: Pout, Iout và Dout là các đầu ra từ các khâu trông bộ điều khiển PID được xác định như sau:
Khâu tỉ lệ (P)
Khâu tỉ lệ (còn được gọi là độ lợi) sẽ làm thay đổi đầu ra và tỉ lệ với giá trị sai số hiện tại để có thể đáp ứng được tỉ lệ này người ta sẽ điều chỉnh bằng cách nhân sai số với độ lợi tỉ lệ là một hằng số Kp
Hình 2.8: Đồ thị đầu ra theo thời gian, các giá trị Kp,Ki và Kd là các hằng số
Khâu tỉ lệ được viết:
Pout = Kpе(t) (2.7)
Trong đó Pout: Thừa số tỉ lệ đầu ra
Kp: Là độ lợi tỉ lệ
e = SP-PV Là sai số
t: Là thời gian tại thời điểm xet
Khi có sự thay đổi lớn ở đầu ra mà sai số thay đổi tương đối nhỏ là do độ lợi của khâu tỉ lệ lớn và khi độ lợi của khâu tỉ lệ quá cao sẽ dẫn tới hệ thống hoạt động không ổn định. Trái lại nếu độ lợi nhỏ lại xảy ra khi đáp ứng đầu ra nhỏ trong khi đó sai số đầu vào lại lớn điều này cũng làm cho bộ điều khiển kém nhạy hoặc đáp ứng chậm và khi độ lợi này quá thấp các tác động điều khiển sẽ quá nhỏ khi đáp ứng với các nhiễu của hệ thống. Do đó để hệ thống hoạt động ổn định cần đáp ứng độ lợi phù hợp.
Độ trượt: Trong một hệ thống nếu không có nhiễu thì bộ điều khiển tỉ lệ thuần túy sẽ không xác lập tại các giá trị đặt (giá trị mong muốn) tuy nhiên nó vẫn có một sai số ổn định trạng thái và là một hàm của độ lợi tỉ lệ và độ lợi quá trình. Trong trường hợp độ lợi quá trình trong khoảng thời gian dài bị trôi đi do
không có điều khiển ví dụ như ta làm mát một lò nung đến nhiệt độ phòng được ký hiệu là G và giả sử sai số là hằng số , khi đó độ trượt xảy ra khi có độ lợi không đổi và bằng thừa số tỷ lệ đầu ra là Pout với sai số tuyến tính. Ta có G = KPe nên e = G/KP. Khi thừa số tỷ lệ được đưa vào thông số đạt tới giá trị đặt và được bù chính xác bởi độ lợi quá trình thì nó sẽ đưa thông số ra ngoài giá trị đặt. Trong trường hợp độ lợi quá trình giảm khi làm lạnh thì sẽ có trạng thái dừng nằm dưới điểm đặt mà thường gọi là droop (hay độ trượt).
Hình 2.9: Đồ thị ngõ ra theo thời gian, tương ứng với ba giá trị Ki,
Kp và Kd không đổi
Các thành phần tác động tới độ trượt là các thành phần dịch chuyển của độ lợi, với các dao động ngẫu nhiên hoặc dao động đều các thành phần dịch chuyển sẽ bị triệt tiêu.
Như ta đã biết độ trượt sẽ tỷ lệ thuận với độ lợi quá trình và tỷ lệ nghịch với độ lợi tỷ lệ. Đây cũng là nhược điểm luôn có ở các bộ điều khiển tỷ lệ thuần túy. Để giảm bớt độ trượt có trong hệ thống có nhiều biện pháp như: thêm một thừa số độ lệch trên điểm đặt cho giá trị đầu ra mong muốn thực tế, hoặc them khâu tích phân trong các bộ điều khiển điều này sẽ giúp cải thiện giảm độ trượt một cách hữu hiệu. mặc dù còn có những hạn chế là độ trượt nhưng cả trên lý thuyết điều khiển và thực tế đã chứng minh rằng khâu tỷ lệ là một trong các khâu rất cần thiết và cần phải có trong quá trình điều khiển.
Khâu tích phân ( I )
Khâu tích phân là một khâu trong bộ điều khiển PID nó tỷ lệ thuận với biên độ sai số và quãng thời gian xảy ra sai số. Trong đó tổng các sai số tức thời theo thời gian cho các tích lũy bù đã được thực hiện hiệu chỉnh trước đó. Các tích lũy sai số sau đó sẽ được nhân với độ lợi tích phân và cộng với các tín hiệu đầu ra
của bộ điều khiển. Biên độ của khâu tích phân trên tất cả các tác động điều chỉnh được xác định từ: Độ lợi tích phân Ki
Thừa số tích phân được cho bởi:
0 . t out i I =K d (2.8) Trong đó:
Iout : Thừa số tích phân của đầu ra Ki: Độ lợi tích phân.
t: Thời gian tức thời tại thời điểm xét τ: Là biến tích phân trung gian
Khâu tích phân khi kết hợp với khâu tỷ lệ sẽ tang tốc quá trình chuyển động tới điểm đặt mong muốn và khử đi số dư sai số ổn định với tỷ lệ chỉ phụ thuộc vào các bộ điều khiển. Do khâu tích phân đáp ứng các sai số tích lũy trong quá khứ nên trong quá trình hoạt động có thể sẽ khiến giá trị hiện tại bị vọt lố khỏi các giá trị đặt và tạo ra độ lệch với các hướng khác làm hệ thống làm việc mất ổn định.
Khâu vi phân D
Khâu vi phân hay còn gọi là khâu đạo hàm trong bộ điều khiển PID khi tốc độ thay đổi sai số quá trình sẽ được tính toán bằng cách xác định độ dốc của các sai số theo thời gian (đạo hàm theo thời gian) sau đó nhân tốc độ với độ lợi tỷ lệ Kd.
Hình 2.10: Đồ thị PV theo thời gian, với các giá trị Kd,Kp và Ki không đổi
Khâu vi phân có biên độ trên tất cả các hoạt động điều khiển được giới hạn bởi độ lợi vi phân Kd.
Thừa số vi phân được viết như sau: ( ) out d d D K e t dt = (2.9) Trong đó:
Dout: Thừa số vi phân của đầu ra
Kd: Độ lợi vi phân, một thông số điều chỉnh e: Sai số = SP-PV
t: Thời gian tức thời tại thời điểm xét
Khâu vi phân giúp làm chậm tốc độ đầu ra của bộ điều khiển đây là đặc tính nổi bật giúp bộ điều khiển đạt tới điểm đặt mong muốn. với những ưu điểm này bộ điều khiển vi phân được sử dụng để làm giảm biên độ vọt lố được tạo ra bởi các thành phần tích phân và giúp làm tang cường độ ổn định của bộ điều khiển hỗn hợp. tuy có nhiều ưu điểm nhưng phép vi phân của tín hiệu cũng sẽ khuếch đại nhiễu dẫn đến khâu này sẽ tác động nhạy hơn với các nhiễu trong sai số, có thể khiến quá trình điều khiển không ổn định trong trường hợp nhiễu và độ lợi vi phân đủ lớn. khi đó cần sử dụng một giá trị gần đúng từ bộ vi sai với bang thông giới hạn sẽ được áp dụng như mạch bù sớm pha.
Để tính toán đầu ra của bộ điều khiển PID người ta đã sử dụng ba khâu là: khâu tỷ lệ, khâu tích phân và khâu vi phân cộng lại với nhau. Nếu ta định nghĩa u(t) là đầu ra của bộ điều khiển thì biểu thức của giải thuật PID được viết như sau: 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t p d d u t MV t K e t e d K e t dt = = + + (2.10)
Trong đó các thông số hiệu chỉnh sẽ có tác động tới hoạt động của bộ điều khiển cụ thể như sau:
Về độ lợi tỷ lệ được đặc trưng bởi hệ số Kp, Khi Kp có giá trị càng lớn thì đáp ứng càng nhanh dẫn đến sai số càng lớn, khâu bù tỷ lệ càng lớn. Như vậy với giá trị độ lợi tỷ lệ quá lớn sẽ làm cho quá trình điều khiển mất ổn định và nhiều dao động không mong muốn. Do đó để hệ thống ổn định thì cần xác định được độ lợi tỷ lệ phù hợp tùy thuộc vào yêu cầu của mỗi hệ thống.
Với độ lợi tích phân được đặc trưng bởi hệ số Kd , khi giá trị Kd càng lớn sẽ làm sai số ổn định bị khử càng nhanh nhưng độ vọt lố lại càng lớn, tất cả các sai số âm được tích phân trong suốt quá trình đáp ứng quá độ sẽ được triệt tiêu bằng sai số dương trước khi đạt tới trạng thái ổn định. Như vậy với độ lợi vi phân khi
Kd càng lớn sẽ càng làm giảm vọt lố nhưng lại làm chậm quá trình đáp ứng quá độ có thể làm hệ thống mất ổn định do các khuếch đại nhiễu tín hiệu sảy ra trong phép vi phân.
Bộ điều khiển tích phân PI:
Bộ điều khiển PI là sự kết hợp hai khâu tỷ lệ và khâu tích phân, phương trình vi phân sẽ mô tả mối quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của bộ điều khiển như sau: 0 ( ) ( ) ( ). t p i u t =K e t +K e d (2.11) 0 1 ( ) ( ) ( ). t m i u t K e t e d T = + (2.12) Trong đó: Kp = Km: là hệ số khuếch đại
e(t): Tín hiệu đầu vào của bộ điều khiển u(t): Tín hiệu ra của bộ điều khiển
Ti = Kp/Ki : là hằng số thời gian tích phân
Hình 2.11: Đồ thị đặc tính của khâu PI
Quan sát trên đồ thị ta thấy các tín hiệu vào có tần số thì luật tích phân tác động không lớn và khi tần số tiền gần về không thì bộ điều khiển làm việc đúng theo luật tỷ lệ.
Hai tham số của bộ điều khiển là Km và Ki khi ta cho T bằng vô cùng thì bộ điều khiển sẽ làm việc theo luật tỷ lệ. Khi Km bằng không thì bộ điều khiển sẽ hoạt động theo luật tích phân. Tín hiệu ra của bộ điều khiển lệch so với tín hiệu vào một góc α trong đó (-π/2<α<0). Lúc này bộ điều khiển sẽ triệt tiêu sai lệch
dư của hệ thống và đáp ứng đước các tác động nhanh. Bằng lý thuyết hoặc thực nghiệm người ta đã xác định được các tham số Km và Ti để bộ điều khiển có thể đáp ứng được các đặc tính theo yêu cầu đặt ra của hệ thống. Để hệ thống đảm bảo vừa tác động nhanh vừa triệt tiêu các sai lệch dư người ta đã thực hiện việc kết hợp các quy luật với nhau cụ thể: là kết hợp quy luật tỷ lệ với quy tích phân tạo nên quy luật tỷ lệ tích phân. Trong trường hợp này khi ω bằng không thì φ(ω)= π/2 còn khi ω = ∞, φ(ω)= 0. Sự chậm pha của tín hiệu ra so với tín hiệu vào là một góc trong khoảng -π/2 đến 0 điều này phụ thuộc vào các tham số Km và Ti và tần số của tín hiệu vào. Như vậy ta thấy tốc độ tác động theo quy luật PI chậm hơn quy luật tỷ lệ và nhanh hơn quy luật tích phân. Hình 2.11 thể hiện quá trình quá độ của hệ thống điều khiển tự động sử dụng quy luật điều khiển PI với các tham số khác nhau của Km và Ti.
Hình 2.12: Mô tả các quá trình quá độ điều chỉnh của quy luật PI
Từ hình 2.12 ta thấy có năm trường hợp xảy ra khi ta thay đổi các giá trị thông số của Km và Ti cụ thể như sau:
Trường hợp 1: Là đường số 1 trên hình ở trường hợp này có giá trị Km nhỏ còn Ti có giá trị lớn. Do tác động điều chỉnh nhỏ nên quá trình không có dao động.
Trường hợp 2: Là đường số 2 trên hình trong trường hợp này Km có giá trị nhỏ và Ti cũng có giá trị nhỏ do đó tác động điều chỉnh tương đối lớn và thiên về hoạt động theo quy luật tích phân vì thế có sự tác động chậm, hệ số dao động với tần số nhỏ và không suất hiện sai lệch dư.
Trường hợp 3: Là đường số 3 trên hình ở trường hợp này Km có giá trị lớn và Ti cũng có giá trị lớn do đó tác động điều chỉnh là tương đối lớn và thiên về hoạt
động theo quy luật tỷ lệ vì vậy hệ thống dao động với tần số lớn và có tồn tại các sai lệch dư.
Trường hợp 4: Là đường số 4 trên hình trong trường hợp này Km có giá trị lớn và Ti cũng có giá trị nhỏ do đó tác động điều chỉnh là rất lớn quá trình điều khiển ddao động mạnh, thời gian điều chỉnh kéo dài và không suất hiện có sai lệch dư.
Trường hợp 5: Là đường số 5 trên hình và đây được coi là quá trình tối ưu khi giá trị của Km Ti phù hợp với đối tượng điều khiển.
Quy luật PI trong thực tế đã được sử dụng rộng rãi trong các bộ điều khiển và đáp ứng được chất lượng điều khiển ở hầu hết các quy trình công nghệ. Tuy nhiên do trong cấu trúc của bộ điều khiển có thành phần tích phân nên tốc độ tác động của quy luật này bị chậm đi vì thế trong quá trình điều khiển nếu đối tượng có nhiễu tác động một cách liên tục mà đòi hỏi có độ chính sác cao, thời gian tác động nhanh thì sử dụng bộ điều khiển PI sẽ không đáp ứng được cho quá trình điều khiển.