9. Cấu trúc của luận văn
2.2.4. Thiết kế hệ thống bài tập chủ đề số thập phân để rèn kĩ năng tư duy cho HS
2.2.1.1. Mục đích của biện pháp
- Xây dựng hệ thống bài tập làm tài liệu định hướng trong việc rèn luyện và phát triển các thao tác tư duy cho HS.
- Qua hệ thống bài tập giúp HS rèn luyện các phẩm chất và năng lực, góp phần phát triển các thao tác tư duy.
2.2.2.2. Cơ sở khoa học của biện pháp
Tư duy được hình thành và phát triển trong quá trình hoạt động. Vì vậy, việc tổ chức cho HS hoạt động học tập thông qua một số dạng bài tập có ưu thế trong phát triển các thao tác tư duy vừa để củng cố kiến thức, nâng cao năng lực giải toán vừa góp
2.2.2.3. Nội dung và cách tiến hành biện pháp
a) Bài toán có nhiều cách giải
Với dạng toán này, để rèn kĩ năng tư duy cho HS thì GV có thể yêu cầu HS đọc kĩ đề toán, suy nghĩ tìm ra cách giải. GV nên cho HS nêu phương hướng trước khi trình bày bài giải. Sau khi HS đã tìm ra cách giải đúng, GV đặt câu hỏi để khuyến khích HS tìm ra cách giải khác: Ngoài cách giải vừa nêu, em hãy suy nghĩ xem còn cách giải nào khác không? GV tổ chức cho HS thảo luận tìm ra cách giải khác nhau cho bài toán.
Ví dụ 1. Có 32 chai loại 0,75 lít đựng dầu hoả, mỗi chai chứa 0,75 lít dầu, mỗi lít dầu nặng 0,76kg, mỗi vỏ chai nặng 0,25kg. Hỏi 32 chai dầu hoả nặng bao nhiêu ki - lô - gam?
GV yêu cầu HS đọc đề bài và trả lời các câu hỏi để khắc sâu hơn nội dung bài toán. Chẳng hạn, bài toán cho biết gì? (Có 32 chai loại 0,75 lít đựng dầu hoả, mỗi chai chứa 0,75 lít dầu, mỗi lít dầu nặng 0,76kg, mỗi vỏ chai nặng 0,25kg); Bài toán hỏi gì? (Hỏi 32 chai dầu hoả nặng bao nhiêu ki-lô-gam?)
GV tổ chức cho HS thảo luận nhóm 4 để tìm ra cách giải của bài toán. GV có thể gợi ý cho các nhóm gặp khó khăn bằng hệ thống câu hỏi:
Mỗi chai chứa bao nhiêu lít dầu? (0,75 lít) Mỗi lít nặng bao nhiêu ki-lô-gam? (0,76 kg)
Khối lượng dầu hoả trong mỗi chai biết chưa? (Chưa biết)
Muốn biết khối lượng dầu hoả trong mỗi chai nặng bao nhiêu ta làm thế nào? (Lấy 0,76 nhân với 0,75)
Muốn tính khối lượng của mỗi chai thì làm thế nào? (Lấy khối lượng dầu hoả trong mỗi chai cộng với khối lượng của vỏ chai)
Biết khối lượng của một chai dầu hoả, tìm khối lượng của 32 chai dầu hoả thì làm thế nào? (Lấy khối lượng của một chai, nhân với 32 chai).
Sau khi HS tìm ra phương hướng giải bài toán, GV yêu cầu HS trình bày bài giải. Bài giải
Khối lượng dầu hoả trong mỗi chai là: 0,76 0,75 = 0,57 (kg)
Khối lượng của mỗi chai dầu hoả là: 0,57 + 0,25 = 0,82 (kg)
Khối lượng của 32 chai dầu hoả là: 0,82 32 = 26,24 (kg)
Đáp số: 26,24kg.
GV đặt câu hỏi cho HS: Có cách giải nào khác không? HS thảo luận cặp đôi để tìm ra cách giải khác cho bài toán. GV cần chuẩn bị một số câu hỏi gợi ý nếu HS gặp khó khăn trong việc tìm ra cách giải khác.
Cách giải khác như sau:
Bài giải
Số lượng dầu trong 32 chai là: 0,76 0,75 32 = 18,24 (kg) Khối lượng vỏ của 32 chai là:
0,25 32 = 8 (kg)
Khối lượng của 32 chai dầu hoả là: 18,24 + 8 = 26,24 (kg)
Đáp số: 26,24 kg.
HS có thể làm theo cách sau:
Bài giải Số dầu trong 32 chai là:
0,75 32 = 24 (lít)
Khối lượng dầu hoả trong 32 chai là: 0,76 24 = 18,24 (kg)
Khối lượng của 32 vỏ chai là: 0,25 32 = 8 (kg)
Khối lượng của 32 chai dầu hoả là: 18,24 + 8 = 26,24 (kg)
Ví dụ 2. Một người đi từ A đến B với vận tốc 22,5 km/giờ. Sau đó 1 giờ 30
phút, người thứ hai cũng rời A đi về B với vận tốc 37,5 km/giờ và đến B trước người thứ nhất 30 phút. Tính quãng đường AB.
Nhận xét
Người thứ nhất đi chậm hơn người thứ hai nên đi nhiều thời gian hơn. Vậy nếu người thứ nhất cũng đi thời gian như người thứ hai hoặc người thứ hai cũng đi thời gian như người thứ nhất thì sao? Ta có một số cách làm sau.
Cách 1:
Giả sử người thứ hai đi với thời gian như người thứ nhất thì người thứ hai đi quãng đường nhiều hơn người thứ nhất là:
37,5 × 2 = 75 (km)
Vận tốc người thứ hai hơn người thứ nhất là: 37,5 - 22,5 = 15(km)
Thời gian người thứ nhất đi là: 75: 15 = 5 (giờ)
Quãng đường AB dài là: 22,5 × 5 = 112,5 (km)
Đáp số: 112,5km
Cách 2:
Giả sử người thứ nhất đi với thời gian như người thứ hai thì người thứ nhất đi quãng đường ít hơn người thứ hai là:
22,5 × 2 45 (km)
Một giờ người thứ nhất đi ít hơn người thứ hai 5 km nên thời gian người thứ hai đi là:
45 15 = 3(giờ) Quãng đường AB là:
Đáp số: 112,5km.
Theo suy nghĩ: cùng một quãng đường thì vận tốc tỉ lệ nghịch với thời gian ta có cách giải sau.
Cách 3:
Gọi vận tốc của người thứ nhất là v1 (km/h); Vận tốc của người thứ hai là v2 (km/h);
Thời gian người thứ nhất đi quãng đường AB là t1 (giờ) Thời gian người thứ hai đi hết quãng đường AB là t2 (giờ) Ta có: 𝑣1 𝑣2 = 22,5 37,5 = 3 5 suy ra 𝑡1 𝑡2 = 5 3 Biết tỉ số 𝑡1 𝑡2 = 5 3 và 𝑡1 − 𝑡2 = 2
Ta tính được t1 = 5 (giờ) ; t2 = 3 (giờ)
Do đó quãng đường AB dài là: 22,5 × 5 = 112,5 (km) Đáp số: 112,5km
Ví dụ 3. Một đội công nhân đã sửa xong một quãng đường trong bốn tuần. Tuần
thứ nhất sửa được 30% chiều dài quãng đường. Tuần thứ hai sửa xong 40% chiều dài còn lại của quãng đường. Tuần lễ thứ ba sửa xong 60% chiều dài còn lại của quãng đường sau hai tuần lễ đầu. Tuần lễ thứ tư sửa được 2km 100m thì vừa xong. Hỏi đội công nhân đó đã sửa được quãng đường dài bao nhiêu ki-lô-mét?
GV tổ chức cho HS đọc cá nhân đề bài toán và xác định dữ kiện đã cho, dữ kiện cần tìm. HS gạch chân các từ khoá mang chứa đựng nội dung cần thiết của bài toán.
Một đội công nhân đã sửa xong một quãng đường trong bốn tuần. Tuần thứ nhất sửa được 30% chiều dài quãng đường. Tuần thứ hai sửa xong 40% chiều dài còn lại của quãng đường. Tuần lễ thứ ba sửa xong 60% chiều dài còn lại của quãng đường sau hai tuần lễ đầu. Tuần lễ thứ tư sửa được 2km 100m thì vừa xong. Hỏi đội công nhân đó đã sửa được quãng đường dài bao nhiêu ki-lô-mét ?
GV tổ chức HS hoạt động nhóm tìm cách giải bài toán. Nếu HS gặp khó khăn trong quá trình tìm cách giải của bài toán, GV có thể đưa ra hệ thống câu hỏi dẫn dắt HS tìm ra cách giải của bài toán. Bài toán này HS có thể giải được bằng các cách giải sau:
Cách 1. Đổi 2km 100m = 2,1km
Tuần thứ tư sửa được quãng đường chiếm số phần trăm quãng đường còn lại sau hai tuần lễ đầu là:
100% 60% = 40%
Quãng đường còn lại sau hai tuần lễ đầu là: 2,1 : 40 100 = 5,25 (km)
5,25km ứng với số phần trăm quãng đường còn lại sau tuần thứ nhất là: 100% 40% = 60%
Quãng đường còn lại sau tuần thứ nhất là: 5,25 : 60 100 = 8,75 (km)
8,75km chiếm số phần trăm quãng đường đã sửa là: 100% 30% = 70%
Quãng đường đội đó đã sửa là:
8,75: 70 100 = 12,5 (km) Đáp số: 12,5km. Cách 2. Đổi 2km 100m = 2,1km 30% = 3 10 ; 40% = 2 5 ; 60% = 3 5
Tuần thứ tư đội đó sửa được số phần quãng đường còn lại sau 2 tuần đầu là: 1 35 = 2
5 (quãng đường còn lại sau 2 tuần đầu)
Quãng đường còn lại sau hai tuần đầu là: 2,1 : 2
5 = 5,25 (km)
5,25km ứng với số phần quãng đường còn lại sau tuần đầu là: 1 25 = 3
Quãng đường còn lại sau tuần đầu là: 5,25 : 3
5 = 8,75 (km)
8,75km ứng với số phần quãng đường đã sửa là: 1 103 = 7
10 (quãng đường đã sửa)
Quãng đường đội đó đã sửa là: 8,75: 7 10 = 12,5 (km) Đáp số: 12,5km Cách 3. Đổi 2km 100m = 2,1km 30% = 3 10 ; 40% = 2 5 ; 60% = 3 5
Phân số biểu thị quãng đường còn lại sau tuần đầu là: 1 103 = 7
10 (quãng đường)
Phân số biểu thị quãng đường tuần thứ hai sửa là:
2
5 107 = 7
25 (quãng đường)
Phân số biểu thị quãng đường còn lại sau tuần thứ hai là:
7
10 257 = 21
50 (quãng đường)
Phân số biểu thị quãng đường tuần thứ ba sửa là:
3
5 2150 = 63
250 (quãng đường)
Phân số biểu thị quãng đường còn lại sau tuần thứ ba là:
21
50 63
250 =
42
250 (quãng đường)
Quãng đường đội đó sửa được là: 2,1: 42
250 = 12,5 (km)
Ví dụ 4. Một đội thợ gặt xong 4 ha lúa trong 3 ngày. Ngày thứ nhất đội gặt được
35% diện tích đó. Ngày thứ hai đội gặt được 60% diện tích còn lại. Hỏi ngày thứ ba đội gặt được mấy héc-ta?
HS thực hiện cá nhân đọc đề bài toán, xác định cái đã cho, cái cần tìm của bài toán. Cái đã cho: Một đội thợ gặt xong 4 ha lúa trong 3 ngày. Ngày thứ nhất đội gặt được 35% diện tích đó. Ngày thứ hai đội gặt được 60% diện tích còn lại.
Cái cần tìm: Ngày thứ ba đội gặt được mấy héc-ta?
HS thảo luận tìm cách giải. Trong trường hợp HS chỉ tìm ra một cách giải, GV nên khuyến khích HS suy nghĩ tìm cách giải khác cho bài toán.
Các cách giải của HS có thể là: Bài giải Cách 1:
Ngày thứ nhất đội thợ gặt được là: 4 : 100 × 35 = 1,4 (ha)
Sau ngày thứ nhất còn lại số héc-ta lúa là: 4 1,4 2,6 (ha)
Ngày thứ ba đội đó gặt được số phần trăm diện tích còn lại là: 100% 60% 40%
Ngày thứ ba đội đó gặt được số héc-ta lúa là: 2,6 100 × 40 1,04 (ha)
Đáp số: 1,04ha lúa. Cách 2:
Diện tích còn lại sau ngày thứ nhất chiếm số phần trăm diện tích phải gặt là: 100% 35% 65% (diện tích)
Phần diện tích ngày thứ hai đội đó gặt là: 65% × 60% 39% (diện tích) Phần diện tích ngày thứ ba đội đó gặt là:
100% (35% 39%) = 26% (diện tích) Ngày thứ ba đội đó gặt được số héc-ta lúa là:
4 100 × 26 = 1,04 (ha)
Biện pháp này chú trọng đến việc tìm bài tập có nhiều cách giải, GV hướng dẫn HS tư duy để tìm ra nhiều cách giải cho bài tập. Qua đó học sinh được vận dụng nhiều hơn, thường xuyên hơn các kĩ năng tư duy : phân tích, tổng hợp, khái quát hóa,….
b) Dạng toán yêu cầu đặt đề bài với một số dữ kiện cho trước rồi giải bài toán đó
Việc tự đặt đề toán sẽ giúp HS có thể nhìn bài toán một cách tổng quát hơn, sâu sắc hơn. Lúc này tư duy HS đang được kích thích vận động một cách linh hoạt, sáng tạo để có thể đưa ra các tình huống khác nhau của bài toán. Và khi các em đặt được bài toán cũng có nghĩa là các em đã hình dung ra cách giải bài toán, điều đó sẽ củng cố cách giải dạng toán đó một cách vững chắc hơn. Như vậy chúng ta có thể khẳng định rằng việc khuyến khích HS tự đặt đề toán không những giúp các em hiểu một cách sâu sắc hơn bản chất của bài toán, mà còn đặc biệt có tác dụng trong việc phát triển tư duy, khả năng ứng dụng toán học vào giải quyết các vấn đề thường gặp trong thực tiễn đời sống, ngoài ra nó còn góp phần rèn luyện và phát triển ngôn ngữ cho HS.
Ví dụ 1. Viết tiếp phần câu hỏi của bài toán sau rồi giải
Một cửa hàng bán ngày thứ nhất được 360,9m vải, ngày thứ hai bán được số vải bằng 2
3 số mét vải ngày thứ nhất, ngày thứ ba bán được số mét vải bằng 1
2 tổng số mét vải bán hai ngày đầu. Hỏi………?
Lúc này, HS không phải bắt tay vào tìm lời giải của bài toán ngay mà được đặt vào tình huống có vấn đề, cần phải tìm hiểu bài toán, các thông tin đã cho, mối quan hệ giữa chúng để có thể “sáng tác” đề toán trước khi bắt tay vào giải. Thông thường HS đứng trước một bài toán gắn với nội dung thực tế diễn tả bằng lời văn cho trước, các em chỉ phải tìm cách giải (giải quyết vấn đề) theo yêu cầu của đề bài. Nhưng trong trường hợp này, khi GV cho trước một số thông tin về mối quan hệ giữa các đại lượng, yêu cầu HS dùng ngôn ngữ để diễn tả yêu cầu của bài toán trước khi giải thì đặt HS
yêu cầu bài toán sao cho phù hợp, vừa đúng về mặt toán học, vừa phù hợp với thực tiễn. HS sẽ suy nghĩ đưa ra các phương án bổ sung thông tin còn thiếu để hoàn thành đề toán rồi giải bài toán theo câu hỏi đã được đưa ra. Yêu cầu của bài toán có thể là các câu hỏi như:
Ngày thứ ba cửa hàng bán được bao nhiêu mét vải? Ngày thứ hai và ngày thứ ba bán được bao nhiêu mét vải? Cả ba ngày cửa hàng bán được bao nhiêu mét vải?
Ngày thứ ba bán được nhiều hơn hay ít hơn ngày thứ hai và ít hơn (nhiều hơn) bao nhiêu mét vải?
Trung bình mỗi ngày cửa hàng bán được bao nhiêu mét vải? Ngày nào cửa hàng đó bán được nhiều nhất?
Khi đó, ứng với mỗi câu hỏi thì HS được bài toán hoàn chỉnh. Chẳng hạn, HS có được bài toán hoàn chỉnh và giải như sau:
- Một cửa hàng bán ngày thứ nhất được 360,9m vải, ngày thứ hai bán được số vải bằng 2
3 số mét vải ngày thứ nhất, ngày thứ ba bán được số mét vải bằng 1
2 tổng số mét vải bán hai ngày đầu. Hỏi ngày thứ ba cửa hàng bán được bao nhiêu mét vải?
Bài giải
Ngày thứ hai cửa hàng bán được số mét vải là: 360,9 × 2
3 = 240,6 (m)
Hai ngày đầu cửa hàng bán được số mét vải là: 360,9 240,6 = 601,5 (m)
Ngày thứ ba cửa hàng bán được số mét vải là: 601,5 2 = 300,75 (m)
Đáp số: 300,75m vải.
- Một cửa hàng bán ngày thứ nhất được 360,9m vải, ngày thứ hai bán được số vải bằng2
3 số mét vải ngày thứ nhất, ngày thứ ba bán được số mét vải bằng 1 2 tổng
số mét vải bán hai ngày đầu. Hỏi ngày thứ hai và ngày thứ ba bán được bao nhiêu mét vải?
Bài giải
Ngày thứ hai cửa hàng bán được số mét vải là: 360,9 × 2
3 = 240,6 (m)
Hai ngày đầu cửa hàng bán được số mét vải là: 360,9 240,6 = 601,5 (m)
Ngày thứ ba cửa hàng bán được số mét vải là: 601,5 2 = 300,75 (m)
Ngày thứ hai và ngày thứ ba cửa hàng bán được số mét vải là: 240,6 300,75 = 541,35 (m)
Đáp số: 541,35m vải.
Cả ba ngày cửa hàng bán được bao nhiêu mét vải?
Bài giải
Ngày thứ hai cửa hàng bán được số mét vải là: 360,9 × 2
3 = 240,6 (m)
Hai ngày đầu cửa hàng bán được số mét vải là: 360,9 240,6 = 601,5 (m)
Ngày thứ ba cửa hàng bán được số mét vải là: 601,5 2 = 300,75 (m)
Cả ba ngày cửa hàng bán được số mét vải là: 601,5 300,75 = 902,25 (m)
Đáp số: 902,25m vải.
- Một cửa hàng bán ngày thứ nhất được 360,9m vải, ngày thứ hai bán được số vải bằng2
3 số mét vải ngày thứ nhất, ngày thứ ba bán được số mét vải bằng 1
2 tổng số
mét vảibán hai ngày đầu Ngày thứ ba bán được nhiều hơn hay ít hơn ngày thứ hai và ít hơn (nhiều hơn) bao nhiêu mét vải?
Bài giải
Ngày thứ hai cửa hàng bán được số mét vải là:
Hai ngày đầu cửa hàng bán được số mét vải là: 360,9 240,6 = 601,5 (m)
Ngày thứ ba cửa hàng bán được số mét vải là: 601,5 2 = 300,75 (m)
Ngày thứ ba cửa hàng bán được nhiều hơn ngày thứ hai và nhiều hơn số mét vải là:
300,75 240,6 = 60,15 (m)
Đáp số: 60,15m vải.
- Một cửa hàng bán ngày thứ nhất được 360,9m vải, ngày thứ hai bán được số vải