Cơ sở lý thuyết logic trong chẩn đoán và dự báo

Cơ sở lý thuyết trong chẩn đoán kỹ thuật và dự báo đòi hỏi các thông số chẩn đoán được xem xét trong một hệ thống. Trong dự đoán đối tượng, lượng thông tin thu thập luôn đi kèm với khái niệm xác định hay chưa xác định trạng thái của hệ thống. Lượng thông tin thu được về trạng thái càng nhiều thì tính không xác định càng giảm.

17

Việc vận dụng lý thuyết thông tin cho phép có thể chọn các thông số chẩn đoán cần thiết, xây dựng các quy luật tư duy để có được kết luận chính xác về trạng thái.

Việc sử dụng logic trong chẩn đoán kỹ thuật và dự báo giúp con người có khả năng suy luận và nhanh chóng đưa ra các kết luận hợp lý về tình trạng kỹ thuật của đối tượng, bao gồm kết luận: tốt, xấu, hỏng, không hỏng. Mặt khác, con người dễ dàng tạo nên suy luận logic bằng máy tính, thông qua việc xây dựng mạng trí tuệ nhân tạo dùng trong công tác chẩn đoán tình trạng kỹ thuật và dự báo.

Trong chẩn đoán kỹ thuật và dự báo không tồn tại biên chính xác giữa trạng thái hỏng và không hỏng và khi chẩn đoán một đối tượng phức tạp thường không tồn tại quan hệ tương hỗ rõ rệt giữa không gian các phần tử. Các loại hư hỏng quan hệ với nhau mật thiết, có thể cùng giá trị như nhau nhưng lại ứng với các chẩn đoán khác nhau. Do tính không xác định trong việc phân loại, các đặc tính ngẫu nhiên của các đại lượng do không cho trước, đồng thời các biên của trạng thái cũng không tồn tại, như vậy, có thể dùng tập mờ và cụ thể là dùng logic mờ nhiều giá trị (khái niệm logic không xác định).

Sử dụng lý thuyết nhận dạng cũng cho phép xác định trạng thái của đối tượng, thư viện lưu trữ ngày nay đủ lớn để có thể xác định được chúng, khi có được một trạng thái cụ thể.

3.2.Lý thuyết tập mờ

Khái niệm về tập hợp được hình thành trên nền tảng logic và được

G.Cantor định nghĩa như là một sự xếp đặt chung lại các vật, các đối tượng có cùng chung một tính chất gọi là phần tử của tập hợp đó. Ý nghĩa logic của khái niệm tập hợp được xác định ở chỗ một vật hoặc một đối tượng bất kỳ chỉ có thể có hai khả năng hoặc là phần tử của tập đang xét hoặc không.

18

Cho một tập hợp A. Một phần tử x thuộc A được ký hiệu bằng xA.Ngược lại ký hiệu xA dùng để chỉ x không thuộc tập hợp A. Một tập hợp không có một phần tử nào được gọi là tập rỗng. Ví dụ tập hợp các số thực x thoả mãn phương trình x2 10 là một tập rỗng được ký hiệu bằng Ø.

Có nhiều cách để biểu diễn một tập hợp. Cách biểu diễn chấp nhận hơn cả là liệt kê những phần tử của tập hợp, ví dụ:

A1 = {1,2,3,5,7,11} hoặc A2 = {cây 4, nhà, ,xe máy}

Tuy nhiên cách này sẽ tỏ ra bất tiện khi phải biểu diễn những tập hợp có nhiều phần tử (hoặc vô số các phần tử). Thường dùng nhất là cách biểu diễn thông qua tính chất tổng quát của các phần tử. Một phần tử x thuộc A khi và chỉ khi nó thoả man tính chất tổng quát này, ví dụ:

A1 = {x | x là số nguyên tố} hoặc A2= {x | x là số thực x < 4}

Cho hai tập hợp A và B. Nếu mọi phần tử của a cũng là phần tử của B thì tập A được gọi là tập con của B và ký hiệu bằng AB.

Hai tập hợp A và B cùng đồng thời thoả mãn AB và BA thì được nói là chúng bằng nhau và ký hiệu A = B. Với hai tập hợp bằng nhau, mọi phần tử của tập này cũng là phần tử của tập kia và ngược lại.

Cho một tập hợp A, ánh xạ A:AR định nghĩa như sau:

1 ) (x  A  nếu xA 0 ) (x  A  nếu xA

được gọi là hàm thuộc tập A. Như vậy A(x) chỉ nhận hai giá trị hoặc bằng 1 hoặc bằng 0. Giá trị 1 của hàm thuộcA(x) còn được gọi là giá trị đúng, ngược lại 0 là giá trị sai của A(x).

Một tập X luôn có A(x) = 1 với mọi x được gọi là không gian nền (tập nền) Một tập A có dạng

x X x

19

Thì được gọi là có tập nền X, hay được định nghĩa trên tập nền X. Ví dụ như: A{xR|2x4}

Có tập nền là tập các số thực R.

Với khái niệm tập nền như trên thì hàm thuộc A của tập A có tập nền X được hiểu là ánh xạ A:X {0,1} từ X vào tập {0,1} gồm hai phần tử 0 và 1.

Có thể dễ dàng thấy được rằng AB khi và chỉ khi A(x)B(x), tức là

) ( ) (x x B A A B . Thật vây, từ AB và xA ta luôn có xB và do đó A(x)B(x)1. Ngược lại khi xA(A(x)0). Chưa thể khẳng định được x có thuộc B hay không. Bởi vậy A(x) có thể bằng 0 và cũng có thể bằng 1. Nói cách khác

) ( )

(x B x

A 

  hay hàm thuộc (x) là hàm không giảm.

3.2.1.Nhắc lại tập hợp kinh điển

Khái niệm mờ biểu thị một “tập hợp” nào đó. Ta lấy một tập X coi là “vũ trụ” trong vấn đề đang xét. Một tập con mờ A của X (AX) đặc trưng bởi hàm thuộc A:X  0,1. Các phép tính trên A tương ứng (1-1) với các phép tính trên A là một đẳng cấu. Vậy A được xem như đồng nhất với A.

Qua các khái niệm vừa nêu trên, ta có thể thấy với một tập hợp thông thường được định nghĩa bằng sự liệt kê, hoặc giới hạn điều kiện nào đó, nhưng với tập mờ A không có giới hạn. Mỗi phần tử của tập mờ luôn đi kèm một hàm thuộc , hàm này là ánh xạ từ các phần tử “thực” vào đoạn [0,1] mà giá trị của nó chỉ ra mức độ thuộc của phần tử này vào tập mờ.

Trong thực tế, luôn tồn tại rất nhiều tập hợp được coi là tập mờ. Ví dụ: Nói đến tập hợp những người “trẻ” ta không thể nói chính xác bao nhiêu tuổi thì trẻ. Vậy để giải quyết vấn đề này đã hình thành tập mờ “trẻ”. Nếu một người 15 tuổi thì hàm thuộc của người này vào tập “trẻ” có giá trị rất lớn, còn người 30 tuổi thì hàm thuộc của họ sẽ có giá trị nhỏ hơn. Ở đây tập người là

20

tập “rõ” còn tập những người trẻ là tập “mờ”. Nếu X là tập số năm tuổi: X = [0,100] thì khái niệm “trẻ” có thể biểu thị bằng hàm μtrẻ:X  0,1 , trong đó μtrẻ(u)  0,1 biểu thị mức độ chúng ta thừa nhận u là trẻ. Ví dụ ta có thể định nghĩa tập mờ những người trẻ là: Trẻ = {x| μtrẻ(x) : μtrẻ(x) = 1 nếu 0x25 μtrẻ(x) =   2 1 ) ) 5 / 25 (( 1 x  nếu 25x100

Với định nghĩa ấy ta xem chắc chắn là trẻ với những người từ 25 tuổi trở xuống, còn một người 30 tuổi chẳng hạn thì được xem là trẻ với mức độ 1(3025)/52)11/2, một người 50 tuổi được xem là trẻ với mức độ 1/1376...

Như vậy dùng hàm :X  0,1 có thể biểu thị được khái niệm tập mờ mà nó khái quát trực tiếp khái niệm tập hợp thông thường. Ta sẽ đồng nhất tập mờ và hàm, gọi là hàm thuộc.

Có thể thấy tập mờ là sự khái quát tự nhiên khái niệm tập hợp thông thường. Ví dụ: Xét X là tập vũ trụ và AX, trong đó: } ,..., , {x1 x2 xn X  và A{x1,x2,x5} nghĩa là Ã gồm 3 phần tử x1,x2,x5. Khi đó Ã có thể biểu thị bằng hàm thuộc sau mà nó chính là hàm đặc trưng của Ã:

Ã μà : X  0,1 được xác định như sau: à = {(x1,1),(x2,1),(x3,0),(x4,0),(x5,0),(x6,0),...,(xn,0)}

μÃ(x): Độ thuộc của x, xem như là thành viên của Ã

Như vậy một cách khái quát, ứng với mỗi xX;μÃ(x) 0,1 biểu thị mức độ “x thuộc A”.

μÃ(x) gần 1 thì có nghĩa mức độ x thuộc A là khá chắc chắn. μÃ(x) gần 0 thì có nghĩa mức độ x gần như không thuộc A

21

Mỗi phần tử X thuộc tập mờ A với những mức độ khác nhau từ 0 đến 1 và một tập con “rõ” (không mờ) của X có thể xem như một tập mờ mà hàm thuộc chỉ lấy giá trị 0 hay 1, chứ không lấy những giá trị trung gian giữa 0 và 1.

3.2.2.Các phép toán trên mờ

3.2.2.1.Phép hợp hai tập mờ.

Hợp của hai tập mờ A và B có cùng tập nền X là tập mờ cũng xác định trên nền X có hàm thuộc AB(x) thoả mãn:

1) AB(x) chỉ phụ thuộc vào A(x) và B(x). 2) A(x)= 0 với mọi x thì AB(x)= A(x). 3) Có tính chất giao hoán, AB(x)= BA(x).

4) Có tính chất kết hợp, (AB)C(x)= A(BC)(x).

5) Có tính chất không giảm, nếu A1 A2thì A1B A2B

Để thoả mãn 5 tính chất trên có nhiều công thức có thể áp dụng để định nghĩa hàm thuộc AB(x), thông thường hay sử dụng 5 công thức sau:

1) AB(x)= max{A(x),B(x)} (Luật lấy max) (3.1a)

max{A(x),B(x)}khi min{A(x),B(x)0 (3.1b)

1 khi min{A(x),B(x)0

3) AB(x) min{1,A(x)B(x)} (Phép hợp Lukasiewicz) (3.1c) 4) AB(x) ) ( ) ( 1 ) ( ) ( x x x x B A B A         (Tổng Einstein) (3.1d) 5) AB(x) A(x)B(x)A(x)B(x) (Tổng trực tiếp) (3.1e) 2) AB(x)

22

Hình 3.3. Hàm thuộc của tập hợp hai tập hợp có cùng không gian nền a- Hàm thuộc của tập mờ A; b- Hàm thuộc của tập mờ B;

c- Hợp hai tập mờ theo luật 2; d- Hợp hai tập mờ theo luật max; e- Hợp hai tập mờ theo luật Lukasiewicz;

f- Hợp hai tập mờ theo luật tổng trực tiếp.

3.2.2.2. Phép giao hai tập mờ.

Giao của hai tập mờ A và B có cùng tập nền X là tập mờ cũng xác định trên nền X có hàm thuộc AB(x) thoả mãn:

1) AB(x) chỉ phụ thuộc vào A(x)và A(x)

2) B(x)1 với mọi x thì AB(x) A(x). 3) Có tính chất giao hoán, AB(x) BA(x).

4) Có tính chất kết hợp, (AB)C(x)A(BC).

5) Có tính chất không giảm, nếu A1 A2thì A1B A2B

Cũng tương tự như phép hợp, có 5 công thức dùng để tính hàm thuộc

) (x B A

 của phép giao:

1) AB(x) min{A(x),B(x)} (Luật lấy min) (3.2a)

min{A(x),B(x)khi max{A(x),B(x)}1

(3.2b)



 ( )

)

23

0 khi min{A(x),B(x)}1

3) AB(x)max{0,A(x)B(x)1} (Phép giao Lukasiewicz) (3.2c) 4) ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( x x x x x x x B X B A B A B A             (Tích Einstein) (3.2d) 5) AB(x) A(x)B(x) (Tích đại số) (3.2e)

Hình 3.4. Hàm thuộc của giap hai tập hợp có cùng không gian nền a- Hàm thuộc của tập mờ A; b- Hàm thuộc của tập mờ B;

c- Hợp hai tập mờ theo min; d- Hợp hai tập mờ theo luật tích đại số;

3.2.2.3. Phép bù của một tập mờ.

Tập bù của tập mờ A định nghĩa trên nền X là tập mờ Ac cũng xác định trên nền X có hàm thuộc Ac(x) thoả mãn:

1) Ac(x) chỉ phụ thuộc vào A(x).

2) Nếu A(x)1 thì Ac(x)0.

24

4) Nếu A(x)B(x) thì Ac(x)Bc(x)

Hình 3.5. Tập bù mạnh Ac của tập mờ A

a- Hàm thuộc của tập mờ A; b- Hàm thuộc của tập mờ Ac