Mặc dù các hàm năng lượng có thể cung cấp thông tin rõ nét về quỹ đạo nghiệm toàn cục của các hệ động lực phi tuyến phi tuyến, nhưng vấn đề
quan trọng đặt ra đó là việc tìm một hàm năng lượng không hề dễ. Bên cạnh đó, việc xác định một hệ động lực cho trước có tồn tại hàm năng lượng hay không cũng khá khó khăn. Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày cách tính hàm năng lượng cho một lớp hệ động lực phi tuyến tổng quát.
Nhiều mô hình vật lý được mô tả bởi một hệ động lực học phi tuyến bậc hai dưới dạng
Mx¨+Dx˙ +f(x) = 0.
Bằng cách đặt x˙ = y, ta có thể viết lại như sau
My˙ = −Dy−f(x), (1.5) trong đó, M là một ma trận đường chéo dương, D là một ma trận đối xứng, chéo trội với các phần tử trên đường chéo dương và f : Rn →Rn
là một hàm thuộc lớp C1. Ta ký hiệu tập tất cả các điểm cân bằng của (1.5) là E và giả sử số điểm cân bằng trong hệ động lực này là hữu hạn. Định lý sau đây chỉ ra điều kiện đủ về sự tồn tại của hàm năng lượng và cũng chỉ rõ cách suy ra một hàm năng lượng đối với hệ (1.5).
Định lý 1.18. Nếu f(x) là một trường véctơ bảo toàn, tức là tồn tại một hàm thuộc lớp C1, vô hướng Vp : Rn → R sao cho f = ∇Vp thì tồn tại một hàm V : R2n →R for (1.5) thuộc lớp C1 sao cho
(a) V˙ (x(t), y(t)) ≤0,
(b) Đặt (x(0), y(0)) ∈/ E thì tập {t ∈ R : ˙V(x(t), y(t)) = 0} có độ đo không trong R.
Chứng minh. Ta xác định hàm V :Rn ×R →R có dạng như sau
V(x, y) = 1
2hy, M yi+ Vp(x). (1.6)
Đạo hàm V(x, y) dọc theo quỹ đạo nghiệm của (1.5) là ˙ V(x, y) =∂V ∂xx˙ + ∂V ∂yy˙ =− hy, Dyi ≤ 0.
Do đó, phần (a) được chứng minh. Để chứng minh phần (b), ta giả thiết phản chứng rằng kết luận trong phần (b) là không đúng. Khi đó, có một khoảng
T = (t1, t2) với t2 > t1 ≥ 0 sao cho V˙(x(t), y(t)) = 0 với mọi t ∈ T. Vì ˙
V(x, y) = − hy, Dyi ≤ 0 và D là ma trận đối xứng, chéo trội và có phần tử trên đường chéo dương nên ta suy ra y(t) = 0 với mọi t ∈ T. Điều này suy ra rằng y(t) = 0 và x(t) là một hằng số với t ∈ T. Từ (1.5), ta suy ra rằng f(x(t)) = 0. Do đó, ta có (x(t), y(t)) ∈ E với mọi t∈ T (E là tập các điểm cân bằng của (1.5)). Tuy nhiên, hệ (1.5) là một hệ ô tô nôm, nên suy ra (x(t), y(t)) ∈ E với mọi t ∈ R. Điều này có nghĩa là (x(0), y(0)) ∈ E, nhưng mâu thuẫn với giả thiết (x(0), y(0)) ∈/ E. Do đó, phần (b) cũng đã được chứng minh.
Định lý trên chỉ ra rằng (1.6) thỏa mãn các điều kiện (1)-(2) của hàm năng lượng. Định lý sau đây đưa ra sự tồn tại của hàm năng lượng.
Định lý 1.19 (Sự tồn tại của hàm năng lượng, [5]). Xét hệ phi tuyến tổng quát (1.5). Nếu hàm f bị chặn và Vp(x) là một hàm tương thích thì tồn tại một hàm năng lượng thuộc lớp C1 như sau V : R2n → R đối với hệ (1.5). Chứng minh. Ta chú ý rằng hàm V được mô tả trong (1.6) thỏa mãn các điều kiện (1)-(2) của hàm năng lượng được suy ra từ định lý trên. Bây giờ, ta chỉ cần chứng minh hàm V trong (1.6) cũng thỏa mãn điều kiện (3) của hàm năng lượng là đủ. Từ hệ (1.5), ta có ˙ y = −M−1Dy −M−1f(x). Đặt A = −M−1D, ta nhận được y(t) = y0eAt + Z t 0 eA(t−s)M−1f(x(s))ds,
với y là điều kiện đầu. Bằng cách lấy chuẩn hai vế và sử dụng bất đẳng thức của chuẩn, ta có
ky(tk ≤ kEAtkky0k+ Z t
0
VìM vàD là các ma trận đường chéo với phần tử trên đường chéo dương nên ma trận A = −M−1D có các giá trị riêng nằm ở bên trái mặt phẳng phức. Do đó, tồn tại một hằng số thực C >0 và α > 0sao cho keAtk ≤ Ce−αt với mọi t ≥ 0. Nếu kfk ≤ b, ta có
ky(t)k ≤ Cky0ke−αt + Z t
0
Ce−α(t−s)kM−1kbds.
Sử dụng đánh giá e−αt ≤ 1 và các tính toán trực tiếp, ta nhận được
ky(t)k ≤ Cky0k+ CkM−1kb
α .
Do đó, ta có thể đi đến kết luận y(t) là bị chặn. Bây giờ, ta giả thiết rằng (x(t), y(t)) là không bị chặn vớit ≥ 0trong khi giá trị củaV(x, y) tính toán được dọc theo quỹ đạo này bị chặn. Vìy(t) là bị chặn nênx(t) phải là không bị chặn và Vp(x) phải bị chặn. Điều này mâu thuẫn với giả thiết Vp là một hàm tương thích. Như vậy, hàm V(x, y) trong (1.6) thỏa mãn điều kiện (3) của một hàm năng lượng và ta kết thúc chứng minh.
Tiếp theo, ta xét lớp các hệ động lực cấp hai như sau ˙
x =y
My˙ =−Dy − ∂W
∂x −εg(x),
(1.7)
trong đó M và D là các ma trận đường chéo với hệ số dương, ε là số thực nhỏ. Ngoài ra, W : Rn → R là một hàm thuộc lớp C2 còn g là hàm bị chặn đều thuộc lớp C1. Rõ ràng, hệ (1.7) là một dạng nhiễu của hệ (1.5) và nhiễu
g :Rn → Rn
không là một trường véctơ gradient.
Hệ động lực phi tuyến tổng quát có dạng (1.7) không có hàm năng lượng. Các hệ dạng này xuất hiện nhiều trong các hệ thống vô tuyến điện, [5]. Sau đây, ta sẽ xét một ví dụ.
Ví dụ 1.4. Xét hệ được mô tả như sau ˙
x1 =y1
˙
x2 =y2
0.053 ˙y1 =1.78−3.16 sinx1−0.28 cosx1−0.9 sin(x1 −x2)
−εcos(x1−x2)−0.1y1
0.079 ˙y2 =3.83−7.85 sinx2−0.255 cosx2 −0.9 sin(x2−x1)
−εcos(x2−x1)−0.1y2.
Bây giờ, ta chuyển hệ đã cho về dạng (1.7) bằng cách chọn
W(x) =−1.78x1−3.83x2−3.16 cosx1+ 0.28 sinx1−7.85 cosx2
+ 0.255 sinx2−0.9 cos(x1−x2). Khi đó, ta có M = 0.053 0 0 0.079 ! , D = 0.1 0 0 0.1 ! and g(x) = cos(x1 −x2) cos(x2 −x1) ! .
Rõ ràng, hàm W thuộc lớp C2 và g(x) bị chặn đều, thuộc lớp C1. Do đó, hệ trên không có hàm năng lượng.
Chương 2
Miền ổn định và tựa ổn định của hệ động lực liên tục
Chương này đưa ra các đặc trưng về miền ổn định và tựa ổn định. Sau đó, chúng tôi đề xuất thuật toán xác định chính xác miền ổn định. Các kiến thức này chủ yếu dựa trên [4], [5], [12].
Ngày này, các kỹ thuật dùng để xấp xỉ miền ổn định của hệ động lực phi tuyến ngày càng trở nên quan trọng trong các mô hình tính toán như vật lý, xây dựng, kiến trúc, . . . . Vì thế, chúng tôi sẽ trình bày cách xác định miền ổn định trong chương này. Đây là một trong số ít các phương pháp không dựa trên hàm năng lượng. Một lần nữa, ta lại xét hệ động lực phi tuyến như sau
˙
x = f(x). (2.1)
Xuyên suốt chương này, ta luôn giả thiết hàm f : Rn → Rn thỏa mãn điều kiện đảm bảo bài toán giá trị ban đầu đối với (2.1) tồn tại và duy nhất nghiệm trên toàn không gian.
2.1 Điểm cân bằng trên biên ổn định
Trong phần này, chúng tôi sẽ đưa ra các đặc trưng động lực và tính chất tôpô của biên ổn định. Bên cạnh đó, chúng tôi đề cập đến đặc trưng của điểm tới hạn trên biên ổn định. Ta sẽ bắt đầu với các đặc trưng địa phương, sau đó mở rộng ra đặc trưng toàn cục của biên ổn định.
Những đặc trưng quan trọng nhất của một điểm cân bằng nằm trên biên ổn định của một hệ động lực phi tuyến tổng quát (2.1) sẽ được đưa ra trong định lý sau đây.
Định lý 2.1 ([5]). Xét hệ động lực phi tuyến tổng quát được mô tả bởi (2.1). Giả sử A(xs) là miền ổn định của điểm cân bằng ổn định tiệm cận xs. Cho
ˆ
x 6= xs là một điểm cân bằng hyperbolic. Khi đó,
(a) Nếu{Wu(ˆx)−xˆ}∩A(xs) 6= ∅thìxˆ∈ ∂A(xs); ngược lại nếu xˆ ∈ ∂A(xs)
thì {Wu(ˆx)−xˆ} ∩A(xs) 6= ∅.
(b) Giả sử xˆ không phải là một điểm nguồn (tức là {Ws(ˆx) −xˆ} 6= ∅) thì
ˆ
x ∈ ∂A(xs) khi và chỉ khi {Ws(ˆx)−xˆ} ∩∂A(xs) 6= ∅.
(c) Giả sử xˆ ∈ ∂A(xs). Khi đó, xˆlà một điểm nguồn khi và chỉ khi {Ws(ˆx)−
ˆ
x} ∩∂A(xs) =∅.
Chứng minh.
(a) Nếu y ∈ Wu(ˆx)∩ A(xs) thì lim
t→∞φ(−t, y) = ˆx. Nhưng vì A(xs) là tập bất biến nên ta có φ(−t, y) ∈ A(xs) với mọi t ∈ R. Từ đây, ta suy ra ˆ x ∈ A(xs).
Tuy nhiên, xˆ không thể nằm bên trong miền ổn định nên ta suy ra ˆ
x ∈ ∂A(xs).
Để chứng minh chiều ngược lại, ta giả sử rằng xˆ ∈ ∂A(xs). Ký hiệu
G ⊂ {Wu(ˆx)−xˆ} là miền cơ bản của Wu(ˆx). Điều này có nghĩa G là một tập compact sao cho
[
t∈R
φ(t, G) = {Wu(ˆx)−xˆ}.
Ký hiệu Gε là một ε-lân cận của G trong Rn. Tập Gε là một lân cận cơ bản tương ứng với Wu(ˆx). Suy ra với t < 0, ∪φ(t, Gε) chứa tập có
dạng {U −Ws(ˆx)}, trong đó U là một lân cận của xˆ. Do đó, ta suy ra U ∩A(xs) 6= ∅ từ xˆ∈ ∂A(xs). Thật vậy, từ Ws(ˆx)∩A(xs) = ∅, ta có {U −Ws(ˆx)} ∩A(xs) 6= ∅, hay [ t<0 φ(t, Gε)∩A(xs) 6= ∅, vì{U−Ws(ˆx)} ⊂ ∪φ(t, Gε), t < 0. Nói cách khác,φ(t, Gε)∩A(xs) 6= ∅ với mọi t < 0. Mặt khác, miền ổn định là một tập bất biến nên ta có
Gε∩ A(xs) 6= ∅.
Vì Glà một tập compact vàε là bất kỳ nên ta suy raGchứa ít nhất một điểm của A(xs). Vì thế, {Wu(ˆx) −xˆ} ∩A(xs) 6= ∅ và phần (a) được chứng minh.
(b) Chứng minh phần này tương tự như ở trên. Từ giả thiết xˆ không phải là một điểm nguồn, ta có {Ws(ˆx)−xˆ} 6= ∅. Trước hết, ta giả sử rằng
{Ws(ˆx)−xˆ}∩∂A(xs) 6= ∅. Khi đó, tồn tạiy ∈ {Ws(ˆx)−xˆ}∩∂A(xs) 6=
∅ sao cho
lim
t→+∞φ(t, y) = ˆx.
Vì ∂A(xs) cũng là tập bất biến nên ta có
φ(t, y) ∈ ∂A(xs) với mọi t ∈ R.
Do đó, xˆ nằm trên biên ổn định.
Chiều ngược lại, ta giả sử rằngxˆ ∈ ∂A(xs). ĐặtH ⊂ {Ws(ˆx)−xˆ}là một miền cơ bản của Ws(ˆx). Điều này được đảm bảo vì {Ws(ˆx)−xˆ} 6= ∅. Điều này cũng có nghĩa H là một tập compact sao cho
[
t∈R
φ(t, H) = {Ws(ˆx)−xˆ}.
Ký hiệu Hε là ε-lân cận của H trong Rn. Tập Hε là một lân cận cơ bản ứng vớiWs(ˆx). Từ đây suy ra vớit > 0, ∪φ(t, Hε) chứa một tập có dạng
{U−Wu(ˆx)}, với U là một lân cận của xˆ. Do đó, ta cóU∩∂A(xs) 6= ∅ vì xˆ∈ ∂A(xs). Thật vậy, từ Wu(ˆx)∩∂A(xs) =∅, ta có
[
t>0
φ(t, Hε)∩∂A(xs) 6= ∅,
vì{U−Wu(ˆx)} ⊂ ∪φ(t, Hε), t > 0. Điều này cũng có nghĩa làφ(t, Hε)∩
∂A(xs) 6= ∅ với t > 0. Mặt khác, biên ổn định cũng là tập bất biến đối với các dòng nghiệm nên ta suy ra
Hε ∩∂A(xs) 6= ∅.
Vì H là một tập compact và ε là bất kỳ nên ta suy ra H chứa ít nhất một điểm của ∂A(xs). Do đó, {Ws(ˆx)−xˆ} ∩∂A(xs) 6= ∅ và phần (b) được chứng minh.
(c) Nếu xˆ là một điểm nguồn, suy ra {Ws(ˆx)−xˆ} = ∅. Hiển nhiên,
{Ws(ˆx)−xˆ} ∩∂A(xs) = ∅∩∂A(xs) =∅.
Chiều ngược lại, giả sử {Ws(ˆx) − xˆ} ∩ ∂A(xs) = ∅. Giả thiết phản chứng rằng xˆ không phải là điểm nguồn. Khi đó, vìxˆ∈ ∂A(xs) nên theo phần (b) thì {Ws(ˆx)−xˆ} ∩∂A(xs) 6= ∅, mâu thuẫn. Do đó, xˆ phải là một điểm nguồn.
Định lý sau đây đưa ra đặc trưng cho quỹ đạo đóng (chu trình giới hạn1) trên biên ổn định. Nhắc lại rằng, một chu trình giới hạn γ được gọi là hyperbolic nếu với mọi p ∈ γ, ma trận Jacobi Df tại p có đúng một giá trị riêng có môđun bằng 1 và n−1 giá trị riêng có môđun khác 1. Chứng minh định lý này tương tự như định lý trên.
Định lý 2.2 ([5]). Xét hệ động lực phi tuyến liên tục tổng quát có dạng (2.1)
và giả sử A(xs) là miền ổn định của điểm cân bằng tiệm cận ổn định xs. Giả sử γ là một quỹ đạo đóng hyperbolic. Khi đó,
(a) γ ⊆ ∂A khi và chỉ khi {Wu(γ)−γ} ∩A(xs) 6= ∅.
(b) Giả sử {Ws(γ)−γ} 6= ∅ thì γ ⊆ ∂A(xs) khi và chỉ khi {Ws(γ)−γ} ∩
∂A(xs) 6= ∅.
Cho tới nay, ta mới chỉ giả thiết các điểm tới hạn là hyperbolic. Đây là tính chất chung đối với hệ động lực. Bên cạnh đó, một tính chất chung khác đó là giao của đa tạp ổn định và đa tạp không ổn định của điểm tới hạn thỏa mãn điều kiện hoành. Trong phần tiếp theo của mục này, ta sẽ trình bày định lý chính về đặc trưng của điểm cân bằng trên biên ổn định theo cả đa tạp ổn định và không ổn định. Hơn nữa, định lý này được dùng để kiểm tra điểm cân bằng nằm trên biên ổn định hay không bằng các tính toán số. Định lý 2.3 ([5]). Giả sử A(xs) là miền ổn định của điểm cân bằng tiệm cận ổn định xs trong hệ động lực phi tuyến tổng quát (2.1) và xˆ là một điểm cân bằng. Giả thiết rằng ba điều kiện sau đây được thỏa mãn.
(A1) Tất cả các điểm cân bằng trên biên ∂A(xs) là hyperbolic.
(A2) Đa tạp ổn định và đa tạp không ổn định của điểm cân bằng trên biên
∂A(xs) thỏa mãn điều kiện hoành.
(A3) Mọi quỹ đạo nghiệm trên biên ổn định ∂A(xs) đều tiến đến một điểm cân bằng khi t→ ∞.
Khi đó,
(1) xˆ ∈ ∂A(xs) khi và chỉ khi Wu(ˆx)∩ A(xs) 6= ∅,
(2) xˆ ∈ ∂A(xs) khi và chỉ khi Ws(ˆx) ⊆ ∂A(xs).
Để chứng minh định lý này, ta cần một số bổ đề sau đây.
Bổ đề 2.4 ([4]). Giả sử xi và xj là các điểm tới hạn của hệ động lực phi tuyến tổng quát dạng (2.1). Hơn nữa, giả thiết thêm rằng giao các đa tạp ổn định và không ổn định của xi, xj thỏa mãn điều kiện hoành và {Wu(xi)−
xi} ∩ {Ws(xj) −xj} 6= ∅. Khi đó, dimWu(xi) ≥ dimWu(xj), dấu bằng chỉ xảy ra khi xi là một điểm cân bằng còn xj là một quỹ đạo đóng.
Bổ đề 2.5 ([4]). Giả sử υˆ là một điểm tới hạn của hệ động lực phi tuyến tổng quát (2.1) với dimWu(ˆυ) = m. Nếu υˆ là một điểm cân bằng, đặt D là một
m-đĩa trong Wu(ˆυ). Nếu υˆ là một quỹ đạo đóng, đặt D là một (m−1)-đĩa trong Wu(ˆυ)∩ S, với S là một đoạn cắt tại p ∈ υˆ. Giả sử N là một m-đĩa (nếu υˆ là điểm cân bằng) hoặc (m −1)-đĩa (nếu υˆ là một quỹ đạo đóng) có một điểm giao hoành với Ws(ˆυ). Khi đó, D nằm trong bao đóng của tập ∩φ(t, N), t ≥ 0.
Chứng minh định lý 2.3.
(1) Ký hiệu nu loại điểm cân bằng xˆ, tức là số chiều đa tạp không ổn định của xˆ bằng nu. Từ giả thiết (A1), suy ra rằng nu(ˆx) ≥ 1 với mọi điểm cân bằng xˆ ∈ ∂A(xs). Giả sử xˆ là một điểm cân bằng trên ∂A(xs) và
nu(ˆx) = h. Theo Định lý 2.1, tồn tại một điểmy ∈ {Wu(ˆx)−xˆ}∩A(xs). Nếu y ∈ A(xs), chứng minh kết thúc. Do đó, ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp y ∈ ∂A(xs) là đủ. Từ giả thiết (A3), tồn tại một điểm cân bằng zˆ ∈ ∂A(xs) sao cho y ∈ {Ws(ˆz) −zˆ}. Đặt nu(ˆz) = m. Khi đó,
Wu(ˆx) và Ws(ˆz) giao hoành tại y. Theo Bổ đề 2.4, ta có h > m. Bây giờ, ta xét hai trường hợp
(a) Nếu h = 1 thì m phải bằng 0 (tức là zˆphải là một điểm cân bằng ổn định), điều này mâu thuẫn với giả thiết không có điểm cân bằng ổn định nào trên biên. Như vậy, Wu(ˆx)∩A(xs) 6= ∅.
(b) Nếu h > 1, không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết quy nạp rằng Wu(ˆz) ∩ A(xs) 6= ∅. Vì Wu(ˆx) và Ws(ˆz) giao hoành tại y,
Wu(ˆx) chứa một m-đĩa N tâm tại y, nằm ngang so với Ws(ˆz). Sử dụng Bổ đề 2.5 với υˆ = ˆz, ta có φ(t, N)∩A(xs) 6= ∅ với t > 0. Vì
A(xs) là tập bất biến nên ta suy ra N ∩ A(xs) 6= ∅. Điều này có nghĩa là Wu(ˆx)∩A(xs) 6= ∅.
Từ các lập luận trên và Định lý 2.1, phần thứ nhất của Định lý 2.3 được chứng minh.
(2) NếuWs(ˆx) ⊆∂A(xs), ta suy ra xˆ ∈ ∂A(xs)vì xˆ thuộc Ws(ˆx). Bây giờ, ta giả thiết rằng xˆ∈ ∂A(xs). Giả sử D ⊂Wu(ˆx)∩A(xs) là một m-đĩa
và m = dimWu(ˆx). Cách xác định D ở trên trên được định nghĩa tốt và khác rỗng vì Wu(ˆx) ∩ A(xs) 6= ∅, theo phần (1). Lấy y ∈ Ws(ˆx). Với mọi ε > 0, ký hiệu N là một m-đĩa hoành với Ws(ˆx) tại y, nằm trong ε-lân cận của y. Bằng cách sử dụng Bổ đề 2.5 với υˆ = ˆx, ta suy ra tồn tại một giá trị t > 0 sao cho φ(t, N) gần với D và φ(t, N) chứa một điểm p ∈ A(xs). Khi đó, φ(−t, N) ∈ N. Theo phần thứ nhất của định lý, ta có N ∩ A(xs) 6= ∅ vì A(xs) là bất biến. Cho ε → 0, y ∈ A(xs) được suy ra. Do đó, Ws(ˆx) ⊂ A(xs). Vì Ws(ˆx) phân biệt với A, ta suy ra rằng Ws(ˆx) ⊂ ∂A(xs).
Chú ý rằng điều kiện hoành trong Định lý 2.3 là cốt yếu. Bây giờ, ta sẽ đưa ra một phản ví dụ đã được trình bày trong [4], [5]. Trong Hình 2.1, đa tạp không ổn định của x1 và đa tạp ổn định của x2 là một phần của đa tạp mà không gian tiếp xúc có số chiều bằng 1. Do đó, điều kiện hoành không thỏa mãn. Theo Định lý 2.1, đa tạp không ổn định của x1 giao với biên ổn định. Tất nhiên, nó không nằm trọn vẹn trong miền ổn định. Mặc dù vậy, một phần của đa tạp ổn định của x1 không nằm trong miền ổn định, điều này mâu thuẫn với Định lý 2.3.
x1
x2 xs
Hình 2.1: Giao giữa đa tạp không ổn định củax1 và đa tạp ổn định của x2 không thỏa mãn điều kiện hoành.
trưng của điểm tới hạn trên biên ổn định.
Định lý 2.6 ([5]). Giả sử A(xs) là miền ổn định của điểm cân bằng ổn định
xs trong hệ động lực phi tuyến tổng quát (2.1) và rˆlà một điểm tới hạn. Hơn nữa, giả thiết thêm rằng hệ động lực (2.1) thỏa mãn các điều kiện (B1)-(B3) sau đây.
(B1) Mọi điểm tới hạn trên biên ∂A(xs) đều là điểm hyperbolic.
(B2) Các đa tạp ổn định và đa tạp không ổn định của điểm tới hạn trên biên thỏa mãn điều kiện hoành.
(B3) Mọi quỹ đạo nghiệm trên biên ổn định ∂A(xs) đều tiến đến một điểm tới hạn khi t → ∞.
Khi đó,
(1) rˆtrên biên ổn định ∂A(xs) khi và chỉ khi Wu(ˆr)∩A(xs) 6= ∅.
(2) rˆtrên biên ổn định ∂A(xs) khi và chỉ khi Ws(ˆr) ⊆ ∂A(xs).
Định lý tiếp theo sẽ trình bày về số điểm cân bằng trên biên ổn định. Trước hết, ta nhắc lại rằng đa tạp S là đa tạp trơn nếu S là một đa tạp tôpô và tồn tại một cấu trúc trơn trên S, [8]. Bằng cách sử dụng cấu trúc trơn trên Rn, ta định nghĩa S ⊂ Rn là một đa tạp trơn có số chiều s nếu với mỗi điểm p ∈ S, tồn tại một lân cận U ⊂ S của p và đồng phôi h : U → V, với V là tập con mở trong Rs sao cho đồng phôi ngược h−1 :V → U là một