lý 1.18 và Định lý 1.19 được thỏa mãn. Từ đây, dẫn đến hệ động lực có dạng (2.2) thỏa mãn Định lý 1.13 và Định lý 1.14. Như vậy, đây là một kết quả quan trọng trong việc kiểm tra các điều kiện (A1)-(A3).
2.3 Miền tựa ổn định và đặc trưng của biên tựa ổnđịnh định
Phần này chủ yếu trình bày về định nghĩa miền tựa ổn định sau đó hoàn thiện lý thuyết về đặc trưng của biên và miền tựa ổn định. Để cho dễ hiểu, chúng ta sẽ bắt đầu bằng việc xét ví dụ hai chiều sau đây.
Ví dụ 2.1. Xét hệ phương trình vi phân như sau ˙ x =hpx2 +y2 −3 hx2+y2 + (y −2)px2 +y2−2y+ 1.5i+yix ˙ y =hpx2 +y2 −3 hx2+y2 + (y −2)px2 +y2−2y+ 1.5iyi−x2. (0,3) (0,0.5) (0,−3) Ws(0,−3) Ws(0,1.5) Ws(0,−3) Wu(0,1.5) Wu(0,1.5) (0,1.5) A(0,0)
Hình 2.2: Miền ổn định của điểm cân bằng ổn định (0,0)trong Ví dụ 2.1 Bằng việc giải f(x, y) = 0 và tìm tất cả các giá trị riêng của ma trận Jacobi
Df tại các điểm cân bằng, ta dễ dàng nhận thấy (0,0)là một điểm cân bằng ổn định của hệ đã cho. Miền ổn định A(0,0) và biên ổn định ∂A(0,0) được minh họa trong Hình 2.2. Ngoài ra, còn có 4 điểm cân bằng khác trên biên ổn định. Trong số đó, (0,0.5) và (0,3) là các điểm cân bằng loại 2 còn (0,1.5) và (0,−3) các điểm cân bằng loại 1.
Ta có thể thấy rằng biên ổn định của điểm cân bằng ổn định (0,0) là hợp các đa tạp ổn định của các điểm cân bằng (0,−3), (0,1.5), (0,0.5) và (0,3). Dễ thấy đa tạp ổn định của (0,1.5) nằm trong phần trong bao đóng của miền ổn định A(0,0). Điều này có nghĩa là dưới các nhiễu thì mọi quỹ đạo nằm trên đa tạp ổn định của (0,1.5) đều hội tụ về điểm cân bằng ổn định (0,0). Do đó, ta sẽ ít quan tâm đến phần biên này. Phần thứ hai của biên ổn định chứa đa tạp ổn định của điểm cân bằng (0,−3) và điểm nguồn (0,3). Hơn nữa, nó chia không gian pha thành hai phần. Phần thứ nhất chứa tất cả các điểm mà mọi quỹ đạo xuất phát từ đây đều hội tụ về (0,0) và phần này được gọi là miền tựa ổn định, ký hiệu là Aq. Miền thứ hai chứa toàn bộ các điểm mà mọi quỹ đạo nghiệm xuất phát từ đây sẽ tiến ra xa khỏi bao đóng của miền ổn định. Biên chia không gian pha thành hai miền như trên được gọi là biên tựa ổn định.
Ví dụ trên đưa ra định nghĩa một cách trực quan về biên tựa ổn định. Sau đây, ta sẽ xây dựng lý thuyết về biên tựa ổn định.
Định nghĩa 2.13. Một điểm tới hạn σ nằm trên biên tựa ổn định ∂Aq khi và chỉ khi hai điều kiện sau được thỏa mãn:
(a) σ ∈ ∂A,
(b) Wu(σ)∩(A)C 6= ∅.
Tiếp theo, ta sẽ chỉ ra định nghĩa trên là tương thích với định nghĩa về miền ổn định.
Định lý 2.14 ([5]). Giả sử A là miền ổn định của điểm cân bằng ổn định trong hệ phi tuyến (2.1). Nếu σ là một điểm tới hạn hyperbolic nằm trên biên tựa ổn định thì đa tạp ổn định của điểm tới hạn này nằm trong phần bù của miền ổn định, tức là nếu σ ∈ ∂Aq thì Ws(σ) ⊆(A)C.
Phần lớn các định lý trong mục này được chứng minh tương tự hoặc có một phần giống với các định lý trong phần trước nên chúng ta sẽ không đưa ra chứng minh chi tiết của một số định lý ngay sau đây.
Định lý 2.15 (Quan hệ giữa ∂Aq và ∂A, [5]). Giả sử A là miền ổn định của điểm cân bằng ổn định tiệm cận trong hệ (2.1). Nếu σ là một điểm hyperbolic trên biên ∂Aq thì σ phải nằm trên ∂A.
Tiếp theo, ta trình bày hai định lý sau đây về các đặc trưng của điểm tới hạn trên ∂A.
Định lý 2.16 ([5]). Giả sử A là miền ổn định của điểm cân bằng ổn định trong hệ (2.1). Nếu σ là một điểm hyperbolic thì σ ∈ ∂A suy ra {Wu(σ)−
σ} ∩(A)C 6= ∅. Ngược lại, nếu {Wu(σ) −σ} ∩( ¯A)C 6= ∅ và {Wu(σ) −
σ} ∩A 6= ∅ thì σ ∈ ∂A.
Định lý 2.17 (Đặc trưng của điểm tới hạn trên ∂A, [5]). Giả sử A là miền ổn định của điểm cân bằng ổn định trong hệ động lực phi tuyến (2.1)thỏa mãn các giả thiết (B1)-(B2). Khi đó, nếu σ là một điểm hyperbolic thì σ ∈ ∂A
suy ra rằng {Wu(σ)−σ} ∩(A)C 6= ∅.
Kết quả sau đây chỉ ra mối quan hệ giữa ∂Aq và ∂A.
Định lý 2.18 ([4]). Xét hệ động lực phi tuyến tổng quát thỏa mãn các giả thiết (B1)-(B2). Khi đó, nếu σ là một điểm tới hạn thì σ ∈ ∂Aq khi và chỉ khi σ ∈ ∂A.
Chứng minh. Đầu tiên, ta giả sử rằng σ ∈ ∂Aq. Từ Định lý 2.16, ta suy ra ngay được σ ∈ ∂A.
Chiều ngược lại, giả sử rằng σ ∈ ∂A. Vì ∂A ⊂ ∂A nên σ ∈ ∂A. Theo Định lý 2.17, ta có {Wu(σ) −σ} ∩(A)C 6= ∅. Điều này có nghĩa là
σ ∈ ∂Aq.
Định nghĩa 2.19. Giả sử A là miền ổn định của điểm cân bằng ổn định trong hệ động lực (2.1). Khi đó, biên tựa ổn định ∂Aq là ∂A và miền tựa ổn định Aq là tập mở int A.
xs
A(xs)
∂A(xs) biên tựa ổn định
miền tựa ổn định
Hình 2.3: Minh họa sự khác nhau giữa miền ổn định và miền tựa ổn định. Nói chung, nếu các giả thiết (B1)-(B3) được đảm bảo thì ∂ int A =
∂Aq. Hơn nữa, miền tựa ổn định A1 cũng là một tập mở bất biến, vi phôi với
Rn và biên tựa ổn định∂Aq là một tập đóng, bất biến. Ngoài ra, nếuA 6= Rn
thì biên tựa ổn định ∂Aq có số chiều là n−1. Các tính chất này giống hoàn toàn với tính chất của biên ổn định và miền ổn định đã trình bày trong Mục 1.2. Trong phần dưới đây, ta sẽ đề cập đến điều kiện cho một điểm cân bằng nằm trên biên tựa ổn định.
Định lý 2.20 ([4]). Giả sử A, Aq lần lượt theo thứ tự là miền ổn định và miền tựa ổn định của hệ động lực phi tuyến (2.1). Giả sử σ 6= xs là một điểm tới hạn hyperbolic. Nếu các giả thiết (B1)-(B3) được đảm bảo thì các khẳng định sau đây là đúng:
(a) σ ∈ ∂Aq khi và chỉ khi Wu(σ)∩A 6= ∅ và Wu(σ)∩(A)C 6= ∅,
(b) σ ∈ ∂Aq khi và chỉ khi Ws(σ) ⊆∂Aq.
Định lý sau đây là một kết quả tương tự với Định lý 2.8 và Định lý 2.9.
Định lý 2.21(Đặc trưng của biên tựa ổn định, [5]). Xét hệ động lực phi tuyến tổng quát (2.1) thỏa mãn các giả thiết (B1)-B(3). Giả sử σi, i = 1,2, . . ., là các điểm tới hạn trên biên tựa ổn định ∂Aq(xs) của điểm cân bằng ổn định
xs. Khi đó,
Chứng minh. Từ Định lý 2.20 suy ra
∪Ws(σi) ⊆∂Aq(xs), σi ∈ ∂Aq(xs).
Do đó, ta chỉ cần chứng minh∂Aq(xs) ⊆ ∪Ws(σi)là đủ. Thật vậy, vì∂Aq(xs) là một tập bất biến nên từ giả thiết (B3), mọi điểm của biên ∂Aq(xs) phải nằm trên Ws(σ), σ ∈ ∂Aq(xs). Điều này có nghĩa là ∂Aq(xs) ⊆ ∪Ws(σi). Do đó, Định lý 2.21 được chứng minh.