Trong mục này, chúng tôi sẽ mở rộng các đặc trưng của biên ổn định cho lớp các hệ động lực phi tuyến được mô tả bởi (2.1). Xuyên suốt mục này, chúng ta sẽ luôn giả thiết biên ổn định khác rỗng. Trước khi bắt đầu, ta đưa ra một số giả thiết sau đây đối với trường véctơ.
(A1) Tất cả các điểm cân bằng trên biên ổn định đều là điểm hyperbolic. (A2) Đa tạp ổn định và đa tạp không ổn định của điểm cân bằng trên biên
(A3) Mọi quỹ đạo nghiệm trên biên đều hội tụ về một điểm cân bằng khi
t→ ∞.
Định lý 2.8 ([5]). Giả sử hệ động lực phi tuyến được mô tả bởi (2.1) thỏa mãn các giả thiết (A1)-(A3) và xi, i = 1,2, . . . là các điểm cân bằng của hệ đông lực (2.1).Khi đó,
(1) xi ∈ ∂A(xs) khi và chỉ khi Wu(xi)∩ A(xs) 6= ∅,
(2) nếu xi ∈ ∂A(xs) thì ∂A(xs) = ∪Ws(xi).
Chứng minh.
(1) Đây là phần thứ nhất trong Định lý 2.3.
(2) Giả sử rằng xi, i = 1,2, . . . là các điểm cân bằng trên biên ổn định
∂A(xs). Theo Định lý 2.3, ta có Ws(xi) ⊆ ∂A(xs) với mỗi i. Hệ quả là [
i
Ws(xi) ⊆ ∂A(xs).
Mặt khác, theo giả thiết (A3) thì mọi quỹ đạo trên biên ổn định tiến đến một điểm cân bằng khi t→ ∞ nên ∂A(xs) ⊆ ∪Ws(xi). Từ đó, kết hợp các lập luận ở trên ta suy ra ngay điều phải chứng minh.
Để tiếp tục, ta đưa ra các giả thiết sau đây.
(B1) Mọi điểm tới hạn trên biên ổn định đều là điểm hyperbolic.
(B2) Các đa tạp ổn định và đa tạp không ổn định của các điểm tới hạn thỏa mãn điều kiện hoành.
(B3) Mọi quỹ đạo nghiệm trên biên ổn định đều tiến đến một phần tử tới hạn khi t→ ∞.
Định lý trên cho phép mở rộng quỹ đạo đóng tồn tại trên biên ổn định. Định lý sau đây sẽ trình bày đặc trưng biên ổn định của hệ động lực (2.1) thỏa mãn các giả thiết (B1)-(B3).
Định lý 2.9 ([5]). Giả sử rằng hệ động lực phi tuyến (2.1) thỏa mãn các điều kiện (B1)-(B3), các điểm xi, i = 1,2, . . . là các điểm cân bằng và γj,
j = 1,2. . . là các quỹ đạo đóng trên biên ổn định ∂A(xs) của điểm cân bằng ổn định tiệm cận xs. Khi đó, ∂A(xs) =[ i Ws(xi)[ j Ws(γj).
Chú ý rằng các điều kiện (A1) và (B1) là các tính chất chung của các hệ động lực học thuộc lớpC1. Các giả thiết (A2) và (B2) các tính chất chung phổ biến của hệ động lực. Mặc dù vậy, các tính chất này lại không dễ để kiểm tra. Giả thiết (A3) không phải là tính chất phổ biến trong khi giả thiết (B3) chỉ là tính chất phổ biến đối với hệ hai chiều. Theo [4], [5], cho tới nay vẫn chưa có phương pháp chung để kiểm tra các giả thiết này đối với các hệ động lực có số chiều cao.
Chú ý 2.10 ([5]). Nếu hệ động lực phi tuyến có ít nhất hai điểm cân bằng ổn định thì biên ổn định của mỗi điểm là khác rỗng và có số chiều là n−1. Bằng cách mở rộng các kết quả về cấu trúc của điểm cân bằng trên biên ổn định, ta có định lý sau đây. Đây là điều kiện cần cho sự tồn tại của một số điểm cân bằng đặc biệt nào đó trên một biên ổn định bị chặn.
Định lý 2.11 ([5]). Giả sử hệ động lực phi tuyến dạng (2.1) chứa hai hoặc nhiều hơn hai điểm cân bằng ổn định và thỏa mãn các giả thiết (A1)-(A3). Khi đó, biên ổn định ∂A(xs) của điểm cân bằng ổn định xs phải chứa ít nhất một điểm cân bằng loại 1. Hơn nữa, nếu miền ổn định A(xs) là bị chặn thì biên ổn định ∂A(xs) phải chứa ít nhất một điểm cân bằng loại 1 và một điểm nguồn.
Chứng minh. Vì có hệ động lực đang xét có ít nhất hai điểm cân bằng ổn định nên ta suy ra số chiều của∂A(xs) là n−1. Theo Định lý 2.8, ∂A(xs) =
∪Ws(xj), với xj ∈ ∂A(xs), từ đây suy ra ít nhất một trong số các điểm xj
phải là điểm cân bằng loại 1. Như vậy, số chiều của ∪Ws(xj) là n−1. Giả sử rằng x1 là một điểm cân bằng loại 1 trên biên ∂A(xs). Lặp lại lập luận như trên, nếu ∂A(x1) khác rỗng thì số chiều của ∂Ws(x1) không vượt quá
n−2vì số chiều củaWs(x1) nhỏ hơn hoặc bằngn−1và x1 là một điểm cân bằng loại 1. Sử dụng Định lý 2.8 một lần nữa, ta lại có ∂A(x1) = ∪Ws(xj), với xj ∈ ∂Ws(x1). Vì ∪Ws(xj) có số chiều là n−k nên một trong số các điểm xj phải là điểm cân bằng loại k. Theo giả thiết, miền ổn định bị chặn nên lặp lại quá trình trên cho đến khi ta thu được kết luận tồn tại điểm cân bằng loại n. Như vậy, tồn tại một điểm nguồn trên biên ∂A(xs).
Nhận xét 2.2. Giả sử xs là một điểm cân bằng ổn định của hệ động lực phi tuyến (1.1) thỏa mãn các giả thiết (A1)-(A3). Nếu tất cả các điểm cân bằng khác của hệ động lực đều là điểm cân bằng loại n (điểm nguồn) thì biên ổn định ∂A(xs) có độ đo không trong Rn−1.
Hệ quả sau đây được suy ra từ Định lý trên và được dùng để dự đoán tính không bị chặn của miền ổn định.
Hệ quả 2.12. Xét hệ động lực phi tuyến (2.1) với điểm cân bằng ổn định
xs có biên ổn định khác rỗng. Nếu các giả thiết (A1)-(A3) được thỏa mãn và biên ổn định ∂A(xs) không chứa điểm nguồn nào thì miền ổn định A(xs)
không bị chặn.
Như chúng ta biết các giả thiết (A1) và (A2) là tính chất chung đối với hệ động lực. Do đó, điều kiện (A3) là điều kiện quan trọng để áp dụng các đặc trưng của biên ổn định. Tuy nhiên, Định lý 1.13 và Định lý 1.14 trong Chương 1 đưa ra điều kiện đủ cho giả thiết này.
Trong Chương 1, chúng ta đã đề cập đến hàm năng lương cho hệ động lực cấp hai. Bây giờ, ta sẽ viết lại hệ động lực cấp haiMx¨+Dx˙ +f(x) = 0 như sau
˙
x =y
My˙ =−Dy −f(x),
(2.2) trong đó M là một ma trận đường chéo với các hệ số dương và D là một ma trận đối xứng, chéo trội với các hệ số trên đường chéo dương. Ở đây, ta giả thiết mạnh hơn trong Mục 1.4.2 rằng f : Rn → Rn là một trường véctơ gradient bị chặn với ma trận Jacobi bị chặn. Ngoài ra, chúng ta cũng giả thiết số điểm cân bằng trên biên ổn định là hữu hạn. Khi đó, bằng cách đặt
V(x, y) = 1
2hy, M yi+ Z x
0