địa phương
Mục này trình bày cách ước lượng biên ổn định ∂A(xs) và miền ổn định A(xs) dựa trên hàm năng lượng và hàm năng lượng địa phương. Xuyên suốt mục này, chúng ta sử dụng AC(xs) ký hiệu phần bù của tập A(xs) và
S( ˆm, xs) là thành phần duy nhất trong số các thành phần liên thông của
S( ˆm) chứa điểm cân bằng ổn định xs.
Định lý 3.7 (Ước lượng tối ưu, [5]). Xét hệ động lực phi tuyến liên tục (3.1)
thỏa mãn giả thiết (A1) và có hàm năng lượng V(x). Giả sử xs là điểm cân bằng ổn định tiệm cận có miền ổn định A(xs) không trù mật trong Rn. Ký hiệu cˆ= minV(xi), xi ∈ ∂A(xs)∩ E, với E là tập các điểm cân bằng của hệ động lực (3.1). Khi đó,
(1) S(ˆc, xs) ⊂ A(xs) và
Định lý trên khẳng định thành phần liên thông S(ˆc, xs) với cˆ = minV(xi) là xấp xỉ tốt nhất của miền ổn định A(xs) dựa trên mặt mức năng lượng. Tiếp sau đây, ta sẽ trình này thuật toán xấp xỉ miền ổn định
A(xs).
Thuật toán ước lượng miền ổn định theo một hàm năng lượng (A) Xác định giá trị mức của hàm năng lượng.
(A-1) Tìm tất cả các điểm cân bằng hyperbolic.
(A-2) Sắp xếp các điểm cân bằng có giá trị V(.) lớn hơn V(xs) theo thứ tự tăng dần.
(A-3) Trong số các điểm cân bằng đó, tìm điểm cân bằng có giá trị hàm năng lượng thấp nhất mà có đa tạp không ổn định chứa quỹ đạo nghiệm hội tụ đến điểm cân bằng ổn định xs. Ký hiệu điểm đó là ˆ
x.
(A-4) Giá trị hàm năng lượng tại xˆ là giá trị mức tới hạn của hàm năng lượng (tức là V(ˆx)).
(B) Ước lượng miền ổn định A(xs).
(B-1) Thành phần liên thông của tập{x : V(x) ≤ V(ˆx)}chứa điểm cân bằng ổn định xs chính là miền ổn định ước lượng.
Để làm sáng tỏ thuật toán trên, ta xét ví dụ đơn giản sau đây. Ví dụ 3.1 ([4]). Xét hệ động lực vi phân sau đây
˙
x1 =−sinx1 −0.5 sin(x1−x2) + 0.01 ˙
x2 =−0.5 sinx2−0.5 sin(x2 −x1) + 0.05.
(3.4) Giải f(x1, x2) = 0 bằng Matlab, ta thu được (0.02801,0.06403) là một điểm cân bằng ổn định và ta sẽ ước lượng miền ổn định của điểm cân bằng này. Bên cạnh đó, ta cũng thu được các điểm cân bằng khác, tất cả trong số này đều là các điểm cân bằng hyperbolic và nằm trên biên ổn định của (0.02801,0.06403). Trong số các điểm này, có sáu điểm cân bằng hyperbolic
loại 1 và sáu điểm nguồn. Không cần tính toán, theo Định lý 2.11, ta cũng có thể dự đoán được miền ổn định của điểm cân bằng (0.02801,0.06403) là một miền bị chặn.
Ta sẽ sử dụngV(x1, x2) := −2 cosx1−cosx2−cos(x1−x2)−0.02x1−
0.1x2 như là một hàm năng lượng của hệ (3.4). Thật vậy, không khó để ta kiểm tra lại việc thỏa mãn các tính chất (1)-(3) của một hàm năng lượng được trình bày trong Mục 1.4. Ký hiệu xs = (xs
1, xs
2) là điểm cân bằng ổn định có miền ổn định mà ta cần ước lượng. Dễ dàng có được các quan sát sau đây.
(i) Có tất cả sáu điểm cân bằng hyperbolic loại 1 nằm trong miền
{(x1, x2) : xs1−π < x1 < x1s +π, xs2 −π < x2 < xs2 +π}.
(ii) Điểm cân bằng (0.04667,3.11489)là điểm cân bằng có giá trị hàm năng lượng thấp nhất.
(iii) Giá trị mức tới hạn của hệ trên là −0.31329.
Bằng cách sử dụng hàm contour trong Matlab, ta thu được mặt mức năng lượng như Hình 3.3. Tuy nhiên, chỉ có duy nhất một thành phần liên thông chứa xs. Bên cạnh đó, Hình 3.4 so sánh biên ổn định chính xác và biên ổn định ước lượng thu được.
Thuật toán vừa trình bày ở trên yêu cầu tính toán giá trị của điểm cân bằng không ổn định gần nhất. Một vấn đề đặt ra ở đây là có thể xuất hiện hai hay nhiều hơn hai điểm cân bằng của hệ có cùng một giá trị hàm năng lượng V. Tuy nhiên, theo [4], [5], tất cả các điểm cân bằng của hệ động lực có giá trị hàm năng lượng phân biệt. Điều này có nghĩa là điểm cân bằng không ổn định gần nhất là duy nhất.
Như chúng ta biết rằng nhiều hệ động lực phi tuyến không tồn tại một hàm năng lượng toàn cục, vì thế việc xây dựng một hàm năng lượng để thuật toán trên hoạt động là không thể. Tuy nhiên, vấn đề này có thể khắc phục bằng việc sử dụng một hàm giống như hàm năng lượng xung quanh điểm cân bằng. Do đó, chúng ta sẽ đề xuất một phương pháp ước lượng miền ổn định
Hình 3.3: Miền ổn định ước lượng theo mặt năng lượng hằng.
đối với hệ động lực phi tuyến tổng quát liên lục mà không có hàm năng lượng tổng quát. Trước khi bắt đầu phương pháp này, ta sẽ giới thiệu định nghĩa về hàm năng lượng địa phương.
Định nghĩa 3.8. Hàm số V : Rn → R được gọi là một hàm năng lượng địa phương trên tập mở W nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau trên tập mở W
chứa điểm cân bằng ổn định xs ∈ W,
(1) đạo hàm của hàm V(x) dọc theo quỹ đạo nghiệm x(t) bất kỳ là không dương, tức là
˙
V(x(t)) ≤ 0,
(2) nếu x(t) là một quỹ đạo nghiệm tầm thường (tức là, x(t) là một điểm cân bằng), thì dọc theo quỹ đạo nghiệm x(t), tập {t ∈ R : ˙V(x(t)) = 0} có độ đo không trong R.
Từ định nghĩa trên, ta dễ dàng thấy ngay được hàm năng lượng địa phương V(x) thỏa mãn hai điều kiện đầu trong định nghĩa hàm năng lượng toàn cục. Bây giờ, ta giả sử V(x) là một hàm năng lượng địa phương xung quanh điểm cân bằng tiệm cận ổn định xs và S(d, xs) là thành phần liên
Hình 3.4: Bức tranh pha của hệ trong Ví dụ 3.1. So sánh giữa biên ước lượng và biên ổn định định chính xác.
thông chứa xs của tập{x ∈ Rn : V(x) < d}. Rõ ràng, nếu tập này nằm trọn vẹn trong tập mở W thì nó nằm trong miền ổn định A(xs). Ký hiệu dˆlà hằng số lớn nhất sao cho các điều kiện ở trên thỏa mãn, khi đó tập S( ˆd, xs) là ước lượng cực đại của miền ổn định. Ngoài ra, giá trị dˆđược gọi là giá trị mức tối ưu ứng với hàm năng lượng địa phương V(.). Tuy nhiên, ta chú ý rằng giá trị mức dˆcó thể không là giá trị mức tối ưu với hàm năng lượng địa phương khác.
Trong phần sau đây, chúng tôi sẽ tập trung trình bày phương pháp xấp xỉ miền ổn định của hệ động lực phi tuyến tổng quát không tồn tại hàm năng lượng toàn cục.
Bước 1: Xây dựng hàm năng lượng địa phương V(.) xung quanh điểm cân bằng ổn định xs. Ký hiệu S(d, xs) là thành phần liên thông chứa xs của tập
{x ∈ Rn : V(x) ≤d}.
Bước 2: Xác định giá trị mức của V(.) đối với xs sao cho các điều kiện (1)-(2) được thỏa mãn với x ∈ {S(d, xs)} − {xs}, từ đó xác định giá trị mức tối ưu dˆ.
V(.). Thành phần liên thông S(d, xs) chứa xs của {x : V(x) ≤ dˆ} chính là miền ổn định ước lượng A(xs).
Để chi tiết hơn, chúng tôi giới thiệu một kỹ thuật nổi tiếng xây dựng một hàm năng lượng địa phương V(x) xung quanh một điểm cân bằng ổn định xs. Kỹ thuật này đã được nghiên cứu và trình bày trong các tài liệu [4], [5], [12] và đây là công việc chính thực hiện trong Bước 1. Cụ thể, ta sẽ giải phương trình ma trận Lyapunov B sau đây trong Bước 1
JTB +BJ = −C,
trong đó, J là ma trận Jacobi Df tại xs và C là một ma trận đối xứng, xác định dương. Thông thường, ta sẽ chọn C là ma trận đơn vị. Tiếp theo, ta xây dựng hàm năng lượng địa phương có dạng một hàm toàn phương như sau V(x) := xTBx. Khi đó, giả sử tồn tại một tập mở W sao cho
˙
V(x) = 2f(x)TBx < 0,
với x ∈ {W − xs}. Sau bước này, ta sẽ đi xác định giá trị mức tối ưu cho hàm năng lượng địa phương và ước lượng miền ổn định dựa trên tập mức của hàm năng lượng vừa xây dựng.
Sau đây, ta sẽ đưa ra hai ví dụ để thử nghiệm thuật toán vừa trình bày đối với hệ động lực có số chiều không quá cao. Ví dụ thứ nhất là một hệ động lực phi tuyến hai chiều, còn ví dụ còn lại là một hệ động lực phi tuyến liên tục ba chiều.
Ví dụ 3.2. Xét hệ phương trình Vanderpol sau đây ˙
x1 = −x2
˙
x2 = x1 −(1−x21)x2.
Dễ dàng kiểm tra được (0,0) là một điểm cân bằng ổn định của hệ trên và ta sẽ ước lượng miền ổn định của điểm cân bằng ổn định (0,0). Ta có
J(x1, x2) = 0 −1
1 + 2x1x2 x2 1−1
!
Thay C bằng ma trận đơn vị, từ J(0,0)TB +BJ = −I ta nhận được
B = 0.593 −0.182
−0.182 0.437 !
.
Do đó, hàm năng lượng địa phương là
V(x1, x2) =x1 x2 0.593 −0.182 −0.182 0.437 ! x1 x2 ! =0.593x21−0.364x1x1+ 0.437x22. Ta có ˙ V(x) =∂V ∂x1x˙1+ ∂V ∂x2x˙2 =(1.186x1−0.364x2)(−x2) + (0.752x2 −0.364x1)(x1 −(1−x21)x2).
Giá trị mức tới hạn của V(x1, x2) đối với (0,0) là 1. Thực tế, ta cần đến một bài toán tối ưu khác để tìm được giá trị lớn nhất dˆ. Bài toán tối ưu này cực kỳ khó để giải được. Thông thường, ta giả thiết giá trị tới hạn dˆ= 1 và cố gắng tối ưu hóa hàm năng lượng Lyapunov thông qua một bài toán khác thay vì tối ưu hóa giá trị tới hạn dˆ. Đây là một bài toán lớn nên ta sẽ không xét ở đây. Sử dụng mặt năng lượng hằng, thành phần liên thông của tập {x : V(x1, x2) < 1} chứa điểm cân bằng ổn định (0,0) chính là miền ổn định ước lượng.
Hình 3.5 biểu diễn miền ổn định ước lượng thu được và miền ổn định chính xác. Dễ dàng thấy rằng miền ổn định ước lượng thu được giới hạn bởi đường in đậm màu xanh nằm hoàn toàn trong miền ổn định của (0,0) (tức là đường in đậm màu đỏ).
Tiếp theo, ta xét một ví dụ về hệ động lực phi tuyến liên tục ba chiều. Đây là một hệ khá nổi tiếng, được nghiên cứu trong [3], [4], [5], [7] và [12]. Ví dụ 3.3. Xét hệ động lực ˙ x1 =−x2 ˙ x2 =−x3 ˙ x3 =−0.915x1+ (1−0.915x21)x2−x2.
Hình 3.5: Miền ổn định chính xác và miền ổn định ước lượng trong Ví dụ 3.2. Hệ trên có một điểm cân bằng ổn định (0,0) và miền ổn định của điểm cân bằng này cần xấp xỉ. Ta có J(x1, x2, x3) = 0 −1 0 0 0 −1 −0.915−1.83x1x2 1−0.915x2 1 −1 .
Bằng cách giải phương trình JTB + BJ = −I, với J = J(0,0,0), ta thu được B = 12.5 −8.1 3 −8.1 20.8 −8.5 3 −8.5 13.4 .
Tương tự như ví dụ trên, ta xây dựng hàm năng lượng địa phương như sau V(x1, x2, x3) =x1 x2 x3 B x1 x2 x3 .
Giá trị mức tới hạn của V(x1, x2, x3) đối với (0,0,0) là 1.0. Khi đó, thành phần liên thông của tập {x ∈ R3 : V(x1, x2, x3) ≤ 1} chứa (0,0,0) là miền ổn định ước lượng như trong Hình 3.6. Hình 3.7 cho thấy miền ổn định ước lượng thu được nằm trọn vẹn trong miền ổn định chính xác của (0,0,0).
Kết luận
Trong luận văn này, chúng tôi đã trình bày một số kết quả về miền ổn định của hệ động lực phi tuyến liên tục. Cụ thể là chúng tôi đã:
1. Nhắc lại số số khái niệm về tính ổn định của hệ động lực, phương trình vi phân; hàm Lyapunov; hàm năng lượng và các tính chất liên quan. 2. Trình bày các đặc trưng của miền ổn định và biên ổn định của hệ động
lực phi tuyến.
3. Trình bày phương pháp xác định chính xác biên ổn định của hệ động lực phi tuyến và phương pháp xấp xỉ miền ổn định cho cả hệ động lực phi tuyến có hàm năng lượng và không có hàm năng lượng.
Trong đó, các đóng góp chính của chúng tôi bao gồm:
Chi tiết hóa chứng minh một số định lý quan trọng như Định lý 1.11, Định lý 2.1, Định lý 2.7 và Định lý 2.11.
Bổ sung các nhận xét về đặc trưng cơ bản của biên ổn định hệ động lực phi tuyến như Định lý 2.1, Nhận xét 2.1, Nhận xét 2.2 và đặc trưng của điểm cân bằng ổn định gần nhất như Nhận xét 3.1, Nhận xét 3.2.
Thử nghiệm số đối với các ví dụ và đưa ra kết quả minh họa cụ thể cho các thuật toán đưa ra.
Tài liệu tham khảo
[1] L. Ya. Adrianova,Introduction to linear systems of differential equations, Translations of Mathematical Monographs Vol. 146, AMS, Providence, R.I. (1995).
[2] F. M. Amaral and L. F. C. Alberto, “Stability boundary characterization of nonlinear autonomous dynamical systems in the presence of saddle- node equilibrium points”, TEMA (São Carlos), volume 13(2), pages 143- 154, 2012.
[3] H. D. Chiang and J. S. Thorp, “Stability regions of nonlinear dynamical systems: A constructive methodology”, IEEE Transactions on Automatic Control, volume 34(12), pages 1229-1241, 1989.
[4] H. D. Chiang,Direct methods for stability analysis of electric power sys- tems: theoretical foundation, BCU methodologies, and applications, John Wiley & Sons, 2011.
[5] H. D. Chiang and L. F. C Alberto,Stability regions of nonlinear dynam- ical systems: theory, estimation, and applications, Cambridge University Press, 2015.
[6] M. W. Hirsch, Differential topology, Springer Science & Business Media, volume 3, 2012.
[7] T. J. Koo and H. Su, “A computational approach for estimating stabil- ity regions”, 2006 IEEE International Symposium on Intelligent Control, pages 62-68, 2006.
[8] J. Lee,Introduction to topological manifolds, Springer Science & Business Media, volume 202, 2010.
[9] L. Luyckx, M. Loccufier and E. Noldus, “Computational methods in nonlinear stability analysis: stability boundary calculations”, Journal of computational and applied mathematics, 168(1-2), pages 289-297, 2004. [10] J. Milnor and D. W. Weaver, Topology from the differentiable viewpoint,
Princeton university press, 1997.
[11] S. Osher and R. Fedkiw,Level set methods and dynamic implicit surfaces, Springer New York, volume 153, 2005.
[12] A. N Milchel, N. R Sarabudla and R. K. Miller, “Stability analysis of com- plex dynamical systems: some computational methods”, Circuits, Sys- tems and Signal Processing, volume I, pages 171-202, 1982.