Trong phần này, chúng tôi sẽ giơi thiệu thuật toán xác định chính xác biên ổn định của một điểm cân bằng ổn định của hệ động lực phi tuyến ô tô nôm liên tục dạng (2.1) mà các giả thiết (A1)-(A3) được thỏa mãn. Thuật toán này là kết quả dựa trên Định lý 2.8 và Định lý 2.9.
Thuật toán xác định biên ổn định ∂A(xs)
Bước 1: Tìm tất cả các điểm cân bằng.
Bước 2: Xác định các điểm cân bằng có đa tạp không ổn định chứa quỹ đạo nghiệm tiến đến điểm cân bằng ổn định xs.
Bước 3:Biên ổn định củaxs là hợp các đa tạp ổn định của các điểm cân bằng xác định trong Bước 2.
Trong tính toán, ta tìm tất cả các nghiệm của phương trình f(x) = 0 trong Bước 1. Bước 2 có thể thực hiện bằng các tính toán số như sau.
(2.1) Tìm ma trận Jacobi tại điểm cân bằng xˆ.
(2.2) Tìm các véctơ riêng suy rộng không ổn định của ma trận Jacobi có độ dài đơn vị.
(2.3) Tìm giao của các véctơ riêng không ổn định chuẩn tắc và suy rộng (ký hiệu là yi) với biên hình cầu bán kính ε và tâm tại điểm cân bằng xˆ. Các giao điểm này có dạng xˆ±εyi.
(2.4) Tích phân ngược thời gian trường véctơ từ các giao điểm này tới một thời điểm nhất định. Nếu quỹ đạo nghiệm này vẫn nằm trong hình cầu
bán kính ε thì chuyển sang bước tiếp theo. Ngược lại, ta thay ε bởi αε, với 0< α < 1 và lặp lại bước này.
(2.5) Tích phân theo chiều thời gian trường véctơ từ các giao điểm.
(2.6) Lặp lại các bước (2.3)-(2.5). Nếu mọi quỹ đạo nghiệm đều tiến đến xs
thì điểm cân bằng nằm trên biên ổn định.
Đối với hệ có không gian pha là mặt phẳng, điểm cân bằng trên biên có thể là điểm cân bằng loại 1 hoặc điểm cân bằng loại 2 (điểm nguồn). Điều này có thể suy ra trực tiếp từ việc không gian pha có hai chiều. Do đó, đa tạp ổn định của điểm cân bằng loại 1 có số chiều là 1 và có thể được xác định như sau.
(a) Tìm véctơ riêng chuẩn tắc ổn định y của ma trận Jacobi tại điểm cân bằng xˆ.
(b) Tìm giao giữa véctơ riêng ổn định chuẩn tắc (ký hiệu là yi) với biên của hình cầu bán kính ε có tâm tại xˆ. Các giao điểm này có dạng xˆ±εyi. (c) Tích phân trường véctơ ngược thời gian từ các giao điểm này đến một
thời điểm nhất định. Nếu các quỹ đạo vẫn nằm trong hình cầu bán kín ε thì chuyển sang bước tiếp theo. Ngược lại, ta thay ε bởi αε, với 0< α < 1 và lặp lại bước này.
(d) Tích phân trường véctơ ngược thời gian từ các giao điểm này để thu được quỹ đạo nghiệm hoàn chỉnh.
(e) Quỹ đạo nghiệm thu được là đa tạp ổn định của điểm cân bằng nằm trên biên ổn định của điểm cân bằng ổn định xs.
Nói chung, việc tìm các đa tạp ổn định và đa tạp không ổn định đối với các hệ động lực có số chiều cao là không dễ. Các phương pháp số phức tạp hơn giúp thực hiện việc tính toán này sẽ được giới thiệu trong Chương 3. Bây giờ, ta sẽ minh họa thuật toán bằng hai ví dụ đơn giản sau. Ví dụ thứ nhất đã được nghiên cứu trong [4], [5], [7], [12] còn ví dụ thứ hai được giới thiệu trong [12]. Điểm chung của các ví dụ này là luôn tồn tại điểm cân bằng tại
(0,0). Trong các ví dụ này, chúng ta cũng luôn giả thiết điều kiện (A2) được đảm bảo.
Ví dụ 2.2. Xét hệ động lực hai chiều sau đây ˙
x1 =−2x1 +x1x2
˙
x2 =−x2+x1x2.
(2.3) Bằng việc giải f(x1, x2) =0 với f(x1, x2) = (−2x1+x1x2,−x2+x1x2)T, ta thu được hai điểm cân bằng: (0,0) và (1,2). Hơn nữa, ta dễ dàng tính được ma trận Jacobi tổng quát
J = −2 +x2 x1
x2 −1 +x1
!
.
Do đó, (0,0) là một điểm cân bằng ổn định và (1,2) là một điểm cân bằng loại 1. Điều này có nghĩa là giả thiết (A1) thỏa mãn.
Tiếp theo, ta sẽ kiểm tra điều kiện (A3). Xét hàm sau đây
V(x1, x2) = x21−2x1x2+ x22.
Đạo hàm V(x1, x2) dọc theo quỹ đạo của hệ (2.3), ta thu được ˙ V(x1, x2) =∂V ∂x1x˙1 + ∂V ∂x2x˙2 =−2(x1−x2)(2x1 −x2). Do đó,V˙(x 1, x2) < 0với(x1, x2) ∈ BC := R2−B, trong đóB := {(x1, x2) ∈ R2 : 2x1 − x2 ≥ 0 và x1 − x2 ≤ 0}. Ký hiệu Be là tập được xác định như sau Be := B1 ∪ B2 ∪ B3, với B1 := {(x1, x2) : x1 < 1, x2 < 2},
B2 := {(x1, x2) : x1 ≥ 1, x2 ≤ 2} và B3 := {(x1, x2) : x1 > 1, x2 > 2}. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số, ta thấy rằng cả |x1(ti)| và |x2(ti)| đơn điệu giảm thực sự trong B1. Vì thế, B1 nằm trong miền ổn định. Từ đó dẫn đến
∂A(0,0) không thể thuộc B1. Tương tự, ta cũng thấy rằng x˙1,x˙2 > 0 trong
B3. Điều này suy ra mọi quỹ đạo trong B3 không bị chặn. Kiểm tra trường véctơ trong B2, ta thấy rằng mọi quỹ đạo trong B2 sẽ hoặc tiến đến trong
Theo các lập luận ở trên, ta có thể thấy rằng các điều kiện (A1)-(A3) đã được thỏa mãn. Do đó, biên ổn định chính là đa tạp ổn định của điểm cân bằng (1,2). Ngoài ra, (1,2) là một điểm cân bằng loại 1 nên theo Định lý 2.12 thì miền ổn định không bị chặn. Không cần thực hiện tính toán, ta cũng có thể thấy rằng miền ổn định được giới hạn bởi các đường cong A hoặc B
trong Hình 2.4 sẽ có độ chính xác kém hơn do đây là các miền bị chặn. Hình 2.5 biểu diễn biên ổn định thu được bằng các thử nghiệm số trên Matlab, trong đó đường in đậm màu đỏ là biên ổn định của điểm cân bằng ổn định (0,0). -5.0 -2.5 0.0 2.5 5.0 -5.0 -2.5 0.0 2.5 5.0 B A C
Hình 2.4: Đường cong A và B là giới hạn miền ổn định xác định bởi các phương pháp khác. Đường congC là biên ổn định thu được bằng phương pháp hiện tại.
Ví dụ trên cũng chỉ ra rằng Định lý 2.7 không còn đúng khi biên ổn định của một điểm cân bằng ổn định không phải là một đa tạp trơn, compact. Điều này dễ dàng kiểm tra được biên ổn định của (0,0) là không bị chặn và chỉ có một điểm hyperbolic (1,2) nằm trên biên ổn định.
Hình 2.5: Bức tranh pha của hệ (2.3) và biên ổn định. Ví dụ 2.3. Xét hệ phương trình vi phân sau đây
˙
x1 = x2
˙
x2 = 0.234−0.0633 sin(x1 + 0.0405)−0.582 sin(x1+ 0.4103)−0.07143x2.
Bằng cách giải f(x1, x2) = 0, ta nhận được các điểm cân bằng tuần hoàn trên không gian con {(x1, x2) ∈ R2 : x2 = 0}. Khi đó, ma trận Jacobi tại các điểm (x1, x2) là
J = 0 1
a −0.07143 !
,
với a = −0.0633 cos(x1+ 0.0405)−0.582 cos(x+ 0.4103). Giả sử λ1, λ2 là các giá trị riêng của J(x1, x2). Khi đó, ta dễ dàng nhận thấy
λ1+λ2 = −0.07143
λ1λ2 = −a.
(i) Giả thiết (A1) được thỏa mãn.
(ii) Không có một điểm nguồn nào trong hệ trên. Vì thế, miền ổn định của điểm cân bằng ổn định không bị chặn.
(iii) Hệ này có dạng giống với (2.2). Thật vậy, ta có thể viết lại phương trình thứ hai dưới dạng
Mx˙2 = −Dx2 −g(x1),
trong đó M là ma trận đơn vị, cònD = 0.07143 và g(x1) = −0.234 + 0.0633 sin(x1 + 0.0405) + 0.582 sin(x1 + 0.4103). Từ đây suy ra giả thiết (A3) được thỏa mãn.
Dễ thấy rằng (0,0) là một điểm cân bằng ổn định. Bây giờ, ta sẽ nghiên cứu miền ổn định của điểm cân bằng (0,0). Không khó để tính toán được (2.393539,0) là điểm cân bằng duy nhất trên biên ổn định của (0,0). Hơn nữa, đây lại là điểm cân bằng hyperbolic loại 1. Hình 2.6 mô tả biên ổn định là đường in đậm màu đỏ thu được bằng các thử nghiệm số trên Matlab.
Hình 2.6: Bức tranh pha của hệ động lực trong Ví dụ 2.3. Biên ổn định là đường in đậm màu đỏ.
Chương 3
Ước lượng miền ổn định của hệ động lực liên tục
Trong chương cuối này, chúng tôi sẽ đề xuất cách ước lượng miền ổn định bằng cách sử dụng hàm năng lượng. Các phương pháp này thích hợp với các hệ phi tuyến có số chiều cao. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng trình bày cách ước lượng tối ưu mặt năng lượng hằng để xấp xỉ biên ổn định của hệ động lực phi tuyến. Các cách tiếp cận này được trình bày trong [4], [5] và [7]. 3.1 Tập mức và đặc trưng của điểm cân bằng không
ổn định gần nhất
Một lần nữa, ta lại xét hệ động lực phi tuyến liên tục (ô tô nôm) được mô tả sau đây
˙
x = f(x), (3.1)
trong đó f : Rn → R thỏa mãn điều kiện về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán giá trị ban đầu đối với (3.1) trên toàn không gian. Nói chung, các hệ động lực phi tuyến dạng (3.1) có thể được chia thành hai nhóm dựa trên sự tồn tại hàm năng lượng hay không.
Dựa trên sự tồn tại của hàm năng lượng, chúng tôi đề xuất hai phương pháp xấp xỉ miền ổn định. Đối với các hệ có hàm năng lượng, thuật toán bắt đầu từ một hàm năng lượng V(.) tương ứng với hệ đã cho và được trình bày trong ba bước sau đây.
Thuật toán A (Đối với các hệ có hàm năng lượng, [5])
Bước 1: Xây dựng một hàm năng lượng cho hệ (3.1) có miền ổn định cần ước lượng.
Bước 2: Xác định giá trị mức tới hạn của hàm năng lượng vừa xây dựng tương ứng với điểm cân bằng ổn định có miền ổn định cần tính toán.
Bước 3: Xấp xỉ biên ổn định của điểm cân bằng ổn định dựa trên mặt mức năng lượng với giá trị mức tới hạn.
Đối với các hệ động lực phi tuyến không tồn tại hàm nặng lượng, chúng tôi đề xuất một thuật toán như sau.
Thuật toán B (Đối với các hệ chỉ có hàm năng lượng địa phương, [5]) Bước 1: Xây dựng một hàm năng lượng địa phương xung quanh điểm cân bằng mà ta cần ước lượng miền ổn định.
Bước 2: Xác định giá trị mức tới hạn của hàm năng lượng vừa xây dựng ứng với điểm cân bằng ổn định.
Bước 3: Xấp xỉ biên ổn định bằng cách sử dụng mặt năng lượng hằng xác định bởi hàm năng lượng địa phương vừa xây dựng với giá trị mức tới hạn xác định trong Bước 2.
Tiếp theo, ta xét tập
S(k) ={x ∈ Rn : V(x) < k}, (3.2)
với V : Rn → R là một hàm năng lượng của hệ (3.1). Ta gọi biên của tập được mô tả bởi (3.2) có dạng ∂S(k) := {x ∈ Rn : V(x) = k} là tập mức (hay mặt mức năng lượng) và k được gọi là giá trị mức. Ta nói rằng k là một giá trị chính quy nếu ∇V(x) 6= 0 với mọi x ∈ V−1(k). Hơn nữa, nếu k
là một giá trị chính quy thì ∂S(k) là một đa tạp con (n−1) chiều của Rn thuộc lớp Cr. Nói chung, phần lớn các giá trị mức đều là giá trị chính quy. Đối với các hệ động lực có số chiều cao, tập S(k) có thể khá phức tạp. Bây giờ, ta ký hiệu Si(k) là các thành phần liên thông phân biệt sao cho
S(k) = S1(k)∪ S2(k)∪ · · · ∪Sm(k), (3.3) trong đó, mỗi thành phần của S(k) là một tập bất biến dương.
Định lý dưới đây sẽ đưa ra mối quan hệ giữa mặt mức năng lượng và biên ổn định.
Định lý 3.1 (Mặt mức năng lượng và biên ổn định, [4]). Giả sử xs là một điểm cân bằng ổn định của hệ động lực phi tuyến (3.1) và A(xs) là miền ổn định tương ứng của xs. Khi đó, tập S(r) chứa duy nhất một thành phần liên thông có giao khác rỗng với miền ổn định A(xs) khi và chỉ khi r > V(xs).
xs A(xs)
Thêm mặt mức năng lượng
xs A(xs) ∂A(xs) ∂S(r) Tăng giá trị mức xs A(xs) ∂A(xs) ∂S(r) Tăng giá trị mức xs A(xs) ∂S(r) Tăng giá trị mức xs A(xs) ∂A(xs) ∂S(r) Tăng giá trị mức xs A(xs) ∂A(xs) ∂S(r)
Hình 3.1: Mối quan hệ giữa mặt mức năng lượng S(r) tại các giá trị mức khác nhau và miền ổn định A(xs).
Từ nay về sau, nếu không nói gì thêm ta sẽ ký hiệu S(r, xs) là thành phần liên thông của S(r) (tức là giá trị mức r) chứa điểm cân bằng ổn định
xs. Mối quan hệ giữa mặt mức năng lượng tại các giá trị mức và miền ổn định A(xs) được mô tả trong Hình 3.1.
bằng không ổn định gần nhất đối với điểm cân bằng ổn định xs tương ứng với một hàm năng lượng nếu nó nằm trên biên ổn định của xs và có mức năng lượng thấp nhất trong số các điểm cân bằng nằm trên biên ổn định nhưng có giá trị lớn hơn V(xs).
Định lý 3.3 (Đặc trưng tôpô, [4]). Giả sử xs là một điểm cân bằng ổn định và A(xs) là miền ổn định tương ứng của hệ động lực phi tuyến (3.1). Ngoài ra, giả thiết thêm rằng hệ (3.1) có tồn tại một hàm năng lượng. Khi đó, nếu
A(xs) không trù mật trong Rn thì giá trị cực tiểu của hàm năng lượng đạt được tại điểm trên biên ∂A(xs). Hơn nữa, điểm cực tiểu phải là một điểm cân bằng không ổn định.
Chứng minh. Theo các điều kiện về hàm năng lượng, xs là một điểm cân bằng ổn định khi và chỉ khi xs là điểm cực tiểu địa phương cho bất kỳ hàm năng lượngV(x) nào của hệ động lực phi tuyến (3.1). Do đó, với bất kỳ hàm năng lượng V(x) cho trước, luôn tồn tại một số dương n sao cho S(n, xs) là thành phần liên thông chứa xs của tập mức {x : V(xs) ≤ V(x) < n}. Hơn nữa, S(n, xs) bị chặn và S(n, xs) ⊂ A(xs). Ký hiệu ∂S(n, xs) là mặt mức của tập mức S(n, xs).
Giả sử giá trị mức n chính quy. Từ đó, suy ra tập S(n, xs) là một đa tạp. Hơn nữa, nếu ta tăng giá trị mức lên m > n sao cho không có điểm tới hạn nào nằm trong {S(m, xs)−S(n, xs)}, thìS(m, xs) vi phôi với
S(n, xs). Tập S(m, xs) là một tập bất biến dương và chỉ chứa điểm giới hạn
w, S(m, xs) bị chặn và S(m, xs) ⊂A(xs). Hệ quả là khi ta tăng giá trị mức
n, tập S(n, xs) vẫn bị chặn và nằm trong A(xs) cho đến khi nó giao với biên ổn định tại một điểm nhất định. Vì giá trị hàm năng lượng trên biên là bị chặn dưới bởi giá trị hàm năng lượng tại xs nên điểm giao này luôn tồn tại. Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng giao điểm xˆ phải là một điểm cân bằng không ổn định nằm trên biên ∂A(xs). Thật vậy, giả thiết phản chứng rằng V(ˆx) = ˆm
và xˆ thuộc vào phần bù của A(xs), ký hiệu là A(xs)C. Chú ý rằng S( ˆm, xs) có giao khác rỗng với ∂A(xs) nên ta đặt S := ∂S( ˆm, xs)∩∂(xs). Vì∂A(xs) là một tập đóng, bất biến và ∂S( ˆm, xs) là một tập compact, bất biến dương nên ta suy ra ngay tập S cũng là một tập compact, bất biến dương. Vì bất
kỳ tập compact, bất biến dương nào đều chứa ít nhất một tập w-giới hạn và theo các Định lý 1.13-1.14, tập w-giới hạn của hệ động lực (3.1) chứa các điểm cân bằng nên tập S phải chứa ít nhất một điểm cân bằng. Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Như vậy, chứng minh kết thúc.
Nhận xét 3.1. Nếu điểm cực tiểu trong Định lý trên tồn tại trên biên ổn định thì nó không thể là một điểm nguồn. Thông thường, đây là một điểm cân bằng loại 1.
Định lý 3.4 (Đặc trưng động lực, [4]). Giả sử hệ động lực phi tuyến (3.1)
tồn tại một hàm năng lượng. Giả thiết thêm rằng xs là một điểm cân bằng ổn định và A(xs) là miền ổn định tương ứng của hệ (3.1). Khi đó, nếu miền ổn định A(xs) không trù mật trong Rn và hàm năng lượng đạt cực tiểu trên biên ổn định tại xˆ thì Wu(ˆx)∩A(xs) 6= ∅.
Chứng minh. Giả thiết phản chứng rằng đa tạp không ổn định của điểm cân bằng xˆ không hội tụ về điểm cân bằng ổn định xs. Theo Định lý 2.1, ta có
Wu(ˆx)∩A(xs) 6= ∅ vì xˆ là điểm hyperbolic. Bây giờ, ta giả thiết rằng tồn tại quỹ đạo một nghiệm x(t) trong {Wu(ˆx)−xˆ} sao cho x(t) ∈ ∂A(xs) và
lim
t→−∞x(t) = ˆx. Vì hàm năng lượng đơn điệu giảm thực sự dọc theo quỹ đạo nghiệm không tầm thường bất kỳ nên suy ra tồn tại một điểm khác trên biên sao cho hàm năng lượng đạt giá trị thấp hơn giá trị V(ˆx). Điều này là vô lý vì xˆ là điểm đạt giá trị cực tiểu của hàm năng lượng trên biên ∂A(xs). Do đó, định lý được chứng minh.
Nhận xét 3.2. Nếu xˆ là điểm cân bằng ổn định gần nhất thì {Ws(ˆx) −
ˆ
x} ∩ ∂A(xs) 6= ∅. Thật vậy, vì điểm cân bằng ổn định gần nhất nằm trên biên ổn định nên Nhận xét được suy ra trực tiếp từ Định lý 2.1.