Định lý 1.6. Tích của hai phép nghịch đảo cùng cực là một phép vị tự, có tâm vị tự trùng với cực nghịch đảo và tỉ số vị tự là tỉ số giữa hai phương tích nghịch đảo của hai phép nghịch đảo đã cho.
Chứng minh. Cho hai phép nghịch đảo f(O, k), f’(O, k’) và điểm M bất kì. Gọi M’ = f(O, k)(M) và M” = f’(O, k’)(M’). Ta có:
và
Từ đó ta có suy ra tồn tại phép vị tự : M M”.
Mặt khác, ta có f’(O, k’).f(O, k): M M”.
Vậy ta có: f’(O, k’).f(O, k) = hay tích của hai phép nghịch đảo cùng cực nghịch đảo là một phép vị tự. Từ đó suy ra rằng hình dạng ảnh của một hình qua phép nghịch đảo không phụ thuộc vào phương tích nghịch đảo mà chỉ phụ thuộc
. ' OM OM k OM OM'. ''k' '' ' ' OM k k OM kk' O V ' k k O V
vào vị trí của cực nghịch đảo. Dưới đây chúng tôi đưa ra kết quả về ảnh của đường thẳng và đường tròn qua phép nghịch đảo:
1) Từ định nghĩa phép nghịch đảo ta dễ dàng suy ra rằng phép nghịch đảo biến đường thẳng đi qua cực nghịch đảo thành chính nó.
2) Phép nghịch đảo biến một đường thẳng không đi qua cực nghịch đảo thành một đường tròn đi qua cực nghịch đảo, trừ cực nghịch đảo. Ngược lại, qua phép nghịch đảo, đường tròn đi qua cực nghịch đảo, trừ cực nghịch đảo biến thành đường thẳng không đi qua cực nghịch đảo. Ngoài ra, ta còn có:
- Nếu phép nghịch đảo biến đường tròn thành đường thẳng thì tâm của đường tròn biến thành điểm đối xứng của cực nghịch đảo qua đường thẳng.
- Một đường thẳng và một đường tròn có thể coi là ảnh của nhau qua hai phép nghịch đảo nếu đường thẳng không tiếp xúc với đường tròn.
3) Phép nghịch đảo biến một đường tròn không đi qua cực nghịch đảo thành một đường tròn không đi qua cực nghịch đảo.
Như vậy, phép nghịch đảo là một phép biến hình mà không phải là phép afin vì nó không bảo toàn tính chất thẳng hàng của các điểm. Phép nghịch đảo có thể biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đường thẳng thành đường tròn, biến đường tròn thành đường thẳng hoặc biến đường tròn thành đường tròn.