Vận dụng mối quan hệ giữa bài toán afin và bài toán xạ ảnh, ta có thể sáng tạo ra nhiều bài toán afin khác nhau từ một bài toán afin cho trước bằng cách:
- Từ một bài toán xạ ảnh trong không gian xạ ảnh, bằng cách chọn các siêu phẳng khác nhau đóng vai trò siêu phẳng vô tận. Vì có nhiều cách chọn siêu phẳng vô tận vì thế ta có thể có nhiều bài toán afin khác nhau mà các kết quả ta có thể suy ra những kết quả đã biết của bài toán trong không gian xạ ảnh.
- Từ một bài toán afin ta có thể suy ra một bài toán xạ ảnh bằng cách bổ sung thêm vào không gian afin này những điểm vô tận thuộc siêu phẳng vô tận mỗi đường thẳng chỉ có thể bổ sung một điểm vô tận duy nhất vì vậy siêu phẳng vô tận là duy nhất. Khi đó ta có một bài toán của không gian xạ ảnh mà các kết quả có thể suy ra từ bài toán afin cho trước.
Như vậy, từ một bài toán afin ta có thể suy ra một bài toán xạ ảnh, một bài toán xạ ảnh thì suy ra nhiều bài toán afin, vì vậy một bài toán afin có thể suy ra nhiều bài toán afin khác nhau bằng cách kết hợp cả hai cách nói trên.
Ví dụ 1.7. Trong A2, cho hình bình hành ABCD. Từ điểm M tùy ý trên cạnh
AB, ta dựng đường thẳng a cắt cạnh BC tại N. Từ điểm Q tùy ý trên cạnh AD, ta dựng đường thẳng b // a, cắt cạnh CD tại P. Gọi O là giao điểm của MP và NQ. Chứng minh rằng O, B, D thẳng hàng.
Ta sẽ dùng mô hình afin của mặt phẳng xạ ảnh để giải bài toán trên:
N M P K O B C A D Q Hình 1.8
Bổ sung thêm đường thẳng vô tận sao cho: AD BC = I, AB CD = J, MN PO = K, với I, J, K . Ta thu được bài toán xạ ảnh như sau: Trong P2, cho ba đường thẳng a, b, c phân biệt thuộc chùm tâm I. Trên a lấy hai điểm J, K. Trên c
lấy hai điểm B, C. Gọi D = JC b, A = JB b. M, Q lần lượt nằm trên AB và AD. Gọi N = KM BC, P = KQ DC, O = MP NQ. Chứng minh rằng B, O, D thẳng hàng. Ta giải bài toán như sau: “Xét hai tam giác BMN và DPQ. Gọi BM DP = J, MN PQ = K, NB QD = I mà I, J, K . Theo định lý Đờ-giác ta có MP, NQ, BD đồng quy mà MP NQ = O suy ra O BD hay B, O, D thẳng hàng”.
Từ đó ta sáng tạo những bài toán mới bằng cách sau đây: * Chọn BD làm đường thẳng vô tận, ta thu được bài toán sau:
Trong mặt phẳng afin, cho hình thang MNIJ (MJ // NI) có các cạnh bên cắt nhau tại K. Trên hai cạnh đáy lấy hai điểm A, C (A MJ, C NI) sao cho AI // CJ. Q là điểm bất kì thuộc AI, KQ cắt CJ tại P. Chứng minh rằng MP // NQ.
* Chọn BC làm đường thẳng vô tận, ta thu được bài toán:
Cho hình thang DOMJ (DO // MJ) có các cạnh bên cắt nhau tại P. Lấy điểm A bất kì thuộc MJ. Trên AD lấy điểm Q. Đường thẳng qua M, song song với OQ cắt PQ tại K. Chứng minh rằng KJ // AD.
* Chọn BA làm đường thẳng vô tận, ta thu được bài toán:
Cho tứ giác KNQI, trên IQ lấy điểm D. Qua D vẽ đường thẳng song song với IN cắt NQ tại O. Qua O vẽ đường thẳng song song với KN cắt KQ tại P. Chứng minh DP // IK.
Ví dụ 1.8. Trong A2 gọi O là giao điểm của các đường thẳng chứa hai cạnh bên AD, BC của hình thang ABCD. Đường thẳng đi qua O và song song với AB cắt các đường thẳng AC, BD theo thứ tự ở M, N. Chứng minh rằng OM = ON.
Lời giải. Dùng mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin A2 để giải bài toán trên. Gọi là đường thẳng vô tận của mô hình xạ ảnh của A2. Khi đó hình thang ABCD
trở thành hình bốn đỉnh ABCD có AB CD = P thuộc . Đường thẳng đi qua O = AD BC và song song với AB được thể hiện là đường thẳng PO (H. 1.9).
Δ G M N K H L I O P D C B A Gọi M = OP AC, N = OP BD. Ta cần phải chứng minh (P, O, M, N) = -1. Đặt I = AC BD, G = OI AB, L = OI CD. Xét hình bốn đỉnh toàn phần ABCD ta có ba điểm chéo P = AB DC, O = AD BC, I = AC BD. Gọi các điểm
H = PI AD, K = PI BC. Khi đó, theo định lí về hình bốn đỉnh toàn phần ta có: (P, I, H, K) = -1 (OP, OI, OH, OK) = -1 (P, G, A, B) = -1.
Từ đó ra suy ra (IP, IG, IA, IB) = -1 (P, O, M, N) = -1.
Từ kết quả trên ta sáng tạo bài toán mới bằng cách đặt A2 = P2\đường thẳng đi qua C, ta có bài toán: "Trong A2 cho tam giác ABD, một điểm P nằm trên đường thẳng AB, P không trùng với A, B. Lần lượt vẽ BO song song với DP (O AD), AM song song với DP (M PO), N = PO DB. Chứng minh rằng bốn điểm P, O, M, N lập thành một hàng điểm điều hoà".
Ví dụ 1.9. Trong A2 cho hình bình hành ABCD. Gọi P và Q là trung điểm của AB và CD, M và E là giao của AC với
DP và BQ, N và F là giao điểm của BD
với CP và AQ. Chứng minh rằng MNEF
là hình bình hành.
Lời giải. Dùng mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin để giải bài toán trên. Gọi
là đường thẳng vô tận của mô hình xạ ảnh của A2. Khi đó hình bình hành ABCD
được thể hiện bằng hình bốn đỉnh ABCD
không có đỉnh nào thuộc và các giao
điểm I = AB CD, K = AD BC thuộc (H. 1.10). Hình 1.9 Δ T G U H F E N MP Q O K I D C B A Hình 1.10
Ta gọi M = AC DP N = PC BD E = AC BQ F = AQ BD
- Xét hai đơn hình AOB và DPC ta có: AD, OP, BC đồng quy tại K. Khi đó theo định lý Đờ-giác thứ nhất ta có: AO DP = M, OB PC = N, AB CD = I
thẳng hàng. Do đó đường thẳng MN đi qua điểm I.
- Tương tự xét hai đơn hình AQB và DOC có AD, QO, BC đồng quy tại K. Khi đó theo định lý Đờ-giác thứ nhất: AQ DO = F, QB OC = E, AB CD = I
thẳng hàng. Do đó đường thẳng EF đi qua điểm I.
Đặt G = MN AD, H = MN BC, T = EF AD, U = EF BC.
- Xét hình bốn đỉnh toàn phần ADCP có ba điểm chéo lần lượt là: AD CP, AC DP = M, AP DC = I.
Theo định lí về hình bốn đỉnh toàn phần ta có: (I, M, G, N) = -1.
- Tương tự ta xét các hình bốn đỉnh toàn phần BCDP có (I, N, M, H) = -1, hình bốn đỉnh toàn phần ABQD có (I, F, T, E) = -1, hình bốn đỉnh toàn phần ABCQ
có (I, E, F, U) = -1.
Vì I là điểm vô tận nên MN, EF đi qua I có nghĩa là MN // EF//AB //CD.
Ta có các tỉ số kép (I, M, G, N) = -1, (I, N, M, H) = -1, (I, F, T, E) = -1, (I, E, F, U) = -1 có nghĩa là MG = MN, MN = NH, FT = FE, EF = EU hay ta có kết
quả MG = MN = NH 1 3AB , FT = FE = EU 1 3AB . Do đó MNEF là hình bình hành.
Từ kết quả trên, ta sáng tạo ra bài toán mới bằng cách đặt A2 = P2\đường thẳng đi qua I không đi qua K: “Trong A2 cho hình thang ABCD có AB // CD. Gọi P, Q là trung điểm của AB và CD, M và E là giao của AC với DP và BQ, N và F là giao điểm của BD với CP và AQ. Chứng minh rằng MNEF là hình thang”.
Ví dụ 1.10. Trong A2 chứng minh rằng hai tiếp tuyến tại hai điểm A và B của một parabôn cắt nhau tại C thì đường thẳng nối với C với trung điểm AB sẽ song song với trục của parabôn.
Lời giải. Gọi là đường thẳng vô tận của mô hình khi đó parabôn được thể hiện bằng một đường ôvan (S) tiếp xúc với tại M, hai tiếp tuyến tại hai điểm A và B của ôvan cắt nhau tại C, AB = J. Lấy I
AB thoả mãn (I, J, A, B) = -1.
Ta cần chứng minh C, I, M thẳng hàng (H. 1.11).
Thật vậy vì có cực là điểm M đối với (S) J liên hợp với M đối với (S). Ta lại có C là giao điểm của hai tiếp tuyến tại A và B của (S) C là điểm đối cực của AB đối với (S). Do đó J là điểm đối cực của CM đối với (S).
Mặt khác (I, J, A, B) = -1. Do đó, J liên hợp với I đối với (S). Nên I CM
hay C, I, M thẳng hàng.
Vì M là điểm vô tận và tiếp xúc với (S) tại M do đó điều này có nghĩa là CI
song song với trục của parabôn.
Từ kết quả của bài toán trên, ta sáng tạo bài toán mới bằng cách xét mặt phẳng afin A2 = P2\đường thẳng đi qua J, ta có bài toán: “Trong A2 cho một tiếp tuyến tiếp xúc với elíp (E) tại M, một đường thẳng song song với cắt (E) tại hai điểm A và B, gọi C là giao của hai tiếp tuyến tại A và B của (E). Chứng minh rằng CM đi qua trung điểm của AB”.
Ví dụ 1.11. Trong A2 chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của hypebôn đều cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm đối xứng nhau qua tiếp điểm.
Lời giải. Ta dùng mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin thực để giải. Gọi là đường thẳng vô tận của mô hình thì một hypebôn được thể hiện bởi một đường ôvan (G) cắt tại hai điểm phân biệt P, Q. Hai tiệm cận được thể hiện bởi hai tiếp
Δ (S) I J C A B M Hình 1.11
m q p Δ B A I O R M P Q
tuyến p, q tại P, Q và tâm O của hypebôn là giao p q. Giả sử m là một tiếp tuyến của hypebôn tại điểm M, cắt hai tiệm cận p, q tại A, B. Đặt R = m . Vì O là cực của đối với (G) nên R liên hợp với O đối với (G). Mặt khác R liên hợp với M (vì
m là tiếp tuyến). Do đó R là cực của đường thẳng OM đối với (G). Đặt I = OM
ta được (P, Q, I, R) = -1. Từ đó suy ra (A, B, M, R) = -1 (do chiếu xuyên tâm từ
lên M bởi tâm O).
Vì R là điểm vô tận của m nên (A, B, M, R) = -1, có nghĩa là điểm M là trung điểm của AB (H. 1.12).
Từ đó ta sáng tạo bài toán mới bằng cách xét mặt phẳng afin A2 = P2\đường thẳng đi qua R, ta được bài toán: “Trong A2 cho một elíp và một điểm O nằm ngoài elíp. Hai tiếp tuyến a, b đi qua O tiếp xúc với elíp tại hai điểm M, N. Một tiếp tuyến c tiếp xúc với elíp tại C song song với MN cắt a tại A, b tại B. Chứng minh rằng C là trung điểm của AB”.
Như vậy, ta có thể dùng hình học afin để giải bài toán xạ ảnh bằng cách bớt đi một siêu phẳng nào đó. Ngược lại ta có thể dùng hình học xạ ảnh để giải một bài toán afin (bài toán Ơclít) nào đó bằng cách bổ sung vào không gian afin (không gian Ơclít) siêu phẳng vô tận (siêu phẳng vô tận và hai điểm xiclíc). Như vậy, từ một bài toán afin, Ơclít có thể suy ra một bài toán xạ ảnh và ngược lại từ một bài toán xạ
ảnh ta suy ra được bài toán afin, Ơclít. Sau đây là một số bài toán xạ ảnh và lời giải sau đó suy ra bài toán afin, bài toán Ơclít.
Ví dụ 1.12. Trong P2 thực cho đường ôvan (G), ba điểm phân biệt A, B, C
trên (G). Hai tiếp tuyến của (G) tại B và C cắt nhau tại M. Đường thẳng AM cắt (G) tại D. Gọi P là giao điểm của hai tiếp tuyến của (G) tại A và D. Đặt Q = BM AC,
R = CM AB (H. 1.13).
a) Chứng minh rằng P nằm trên đường thẳng BC. b) Chứng minh rằng P, Q, R thẳng hàng.
Lời giải.
a) Hai tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M nên
BC là đối cực của M đối với (G). Hai tiếp tuyến tại A và
D cắt nhau tại P nên AD là đối cực của P đối với (G). Vì
M AD nên P BC.
b) Áp dụng định lý Pascal vào đơn hình ABC và các tiếp tuyến của (G) tại A, B, C ta suy ra P, Q, R thẳng hàng (H. 1.13).
* Lấy BC làm đường thẳng vô tận ta được kết quả afin: “Trong A2 thực cho hypebôn (G) tâm M, hai tiệm cận Mx, My.
a) Đường kính bất kì của (G) cắt (G) tại A, D thì hai tiếp tuyến của (G) tại A, D song song với nhau.
b) Từ một điểm A thuộc (G) lấy đường thẳng song song với Mx cắt My tại R, lấy đường thẳng song song với My cắt Mx tại Q thì đường thẳng RQ song song với tiếp tuyến của (G) tại A”.
* Lấy hai điểm xiclíc I, J sao cho (G) đi qua I, J. Khi đó ta có bài toán Ơclít sau: “Trong E2 cho đường tròn tâm O và tam giác ABC nội tiếp đường tròn. Hai tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau tại điểm M. Đường thẳng AM cắt đường tròn tại điểm D. Gọi P là giao điểm của hai tiếp tuyến của đường tròn tại A và D. Đặt Q = BM AC, R = CM AB.
a) Chứng minh rằng P nằm trên đường thẳng BC.
(G) y x R Q P D M A B C Hình 1.13
b) Chứng minh rằng P, Q, R thẳng hàng”.
Ví dụ 1.13. Trong mặt phẳng xạ ảnh cho tam giác ABC và côníc (S) tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại A’, B’, C’. Chứng minh các giao điểm P = BC B’C’,
Q = CA C’A’, R’ = AB A’B’ thẳng hàng.
Lời giải. Áp dụng định lý Briăngsông cho hình ABC ta có AA’, BB’, CC’ đồng quy. Hai tam giác
ABC và A’B’C’ có AA’, BB’, CC’
đồng quy nên theo định lý Đờ-giác thứ nhất ta suy ra P, Q, R thẳng hàng.
* Lấy đường thẳng không cắt (S), không đi qua A, B, C, A’, B’, C’
và các giao điểm làm đường thẳng vô tận ta có bài toán (H. 1.14):
“Trong A2 cho tam giác ABC và elíp tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại A’, B’, C’. Chứng minh các
giao điểm P = BC B’C’, Q = CA C’A’ và R = AB A’B’ thẳng hàng”.
* Lấy hai điểm xiclíc I, J mà (S) đi qua khi đó ta có bài toán: “Trong E2 cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn, các cạnh BC, CA, AB tiếp xúc với đường tròn lần lượt tại A’, B’, C’. Chứng minh các giao điểm P = BC B’C’, Q = CA C’A’, R = AB A’B’ thẳng hàng”.
Với cách chọn đường thẳng vô tận và cách chọn hai điểm xiclíc I, J như ở các bài toán ở trên mà các định lí của hình học xạ ảnh như định lý Đờ-giác, định lý Papus, định lý Pascal, định lý Briăngsông… đều có thể vận dụng trong hình học afin và hình học Ơclít. Ví dụ định lý Đờ-giác ngoài việc áp dụng hoàn toàn giống như trong không gian xạ ảnh, ta còn xét thêm trường hợp khi đường thẳng nối các đỉnh tương ứng song song với nhau (xem các đường thẳng này đồng quy tại điểm
C A P Q R B C' B' A' Hình 1.14
vô tận) hoặc trường hợp các cạnh tương ứng của hai tam giác song song với nhau (xem ba giao điểm này đều thuộc đường thẳng vô tận). Mặt khác đối với các định lí Pascal, Briăngsông hoặc mối quan hệ cực và đối cực ta có thể áp dụng cho trường hợp côníc là đường tròn, đường elíp, đường parabôn, đường hypebôn.
Chương 2
VẬN DỤNG BẤT BIẾN CỦA CÁC NHÓM BIẾN HÌNH TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP