Ví dụ 2.28. Cho ba điểm A, B, C cố định theo thứ tự đó cùng nằm trên đường thẳng l. Gọi
En(On, Rn) là chùm đường tròn trục l, hai điểm căn cứ là A và B. Chứng minh En luôn trực giao với một đường tròn (O, R) cố định.
Lời giải. Gọi d là đường trung trực của AB. Ta có On d (d là đường nối tâm En). Gọi
.
CA CBk (k không đổi). Xét phép nghịch đảo f(C, k), ta có: f(En) = En,f(l) = l, f(d) = với là đường tròn (CD’E’). Vì En trực giao với d nên En trực giao với , n
(H. 2.31).
Hiển nhiên cố định vì d cố định; l = K điểm K cố định. Vì l d
nên trực giao với l tức KC là đường kính của . Vậy là đường tròn đường kính
KC, K = f(I).
Ví dụ 2.29. Cho hai đường tròn (C), (C’) có tâm O, O’ tương ứng, giao nhau tại A và B. Lấy điểm M bất kì trên đường tròn (C) và dựng cát tuyến MA, MB cắt đường tròn (C’) tại A’, B’. Chứng minh rằng A’B’ MO.
Lời giải. Ta thấy phép nghịch đảo cực M, phương tích k MA MA. ' bảo toàn đường tròn (C’) và f(M, k): A A’, B B’ (A’, B’ (C’)). Từ đó suy ra f(M, k) biến (C) thành A’B’ và biến OM thành chính nó (H. 2.32).
A B C D E P Q Hình 2.31
Vậy A’B’ MO vì tính chất trực giao được bảo toàn qua phép nghịch đảo.
Ví dụ 2.30. Cho tam giác ABC với D là trực tâm của tam giác đó. Chứng minh rằng các đường tròn đường kính AB và CD trực giao với nhau (H. 2.33).
Lời giải. Đường đối cực của điểm A đối với đường tròn đường kính CD đi qua điểm B. Gọi AA', BB', CC' là các đường cao của tam giác ABC. Các điểm A và
B như vậy là liên hợp với nhau đối với đường tròn đường kính CD. Do đó đường tròn đường kính AB trực giao với đường tròn đường kính CD.
Hình 2.32 A B C' C O D A' B' O' Hình 2.33
Ví dụ 2.31. Cho tứ giác lồi ABCD. Dựng ra phía ngoài tứ giác 4 hình vuông
ABB'A', BCC'B", CDC"D', DAD"A". Gọi tâm của 4 hình vuông theo thứ tự đó là E,
F, G, H. Chứng minh rằng 4 trung điểm của các đường chéo của hai tứ giác ABCD,
EFGH là các đỉnh của một hình vuông.
Lời giải. Gọi K là trung điểm của AC, I là trung điểm của BD. Ta dễ dàng chứng minh được KE = KF, KE KF; KH = KG, KH KG (H. 2.34).
Hình 2.34
Vậy qua phép quay E F, K K, G H. Gọi M, N là trung điểm của HF, EG KM, KN là trung tuyến tương ứng của hai tam giác FKH, EKG MKN là tam giác vuông cân. Tương tự INK là tam giác vuông cân. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.