Trong không gian xạ ảnh Pn lấy một siêu phẳng W và kí hiệu X(PW) gồm các phép biến đổi xạ ảnh f của Pn sao cho f(W) = W. Hiển nhiên X(PW) làm thành một nhóm và là nhóm con của nhóm xạ ảnh Af(Pn) gồm tất cả các phép biến đổi xạ ảnh
afin và ta cũng có nhóm afin Af(An). Ta lại biết rằng nếu f’ Af(An) thì ta có duy nhất một phần tử f X(PW) sao cho f’ = f/An. Như vậy nhóm afin Af(An) đẳng cấu với nhóm X(PW). Bởi vậy ta có thể xem nhóm afin Af(An) là nhóm con của nhóm xạ ảnh Af(Pn).
Từ đó suy ra mọi bất biến xạ ảnh đều là bất biến afin. Thật vậy, vì bất biến xạ ảnh là tính chất hoặc khái niệm không thay đổi qua bất kì phép xạ ảnh nào của nhóm Af(Pn) nên nó cũng không thay đổi qua bất kì phép biến đổi nào của nhóm
Af(An) nên đó cũng là bất biến afin của nhóm Af(An). Ngược lại, có những bất biến afin không phải là bất biến xạ ảnh. Chẳng hạn khái niệm về hai đường thẳng song song là bất biến afin mà không phải là bất biến xạ ảnh. Thật vậy, hai đường thẳng afin a, b gọi là song song nếu chúng có điểm chung I nằm trên siêu phẳng vô tận W. Vì phép biến đổi biến siêu phẳng W thành chính nó nên nó biến điểm I thành điểm
I’cũng nằm trên W. Vậy hai đường thẳng a, b lần lượt biến thành hai đường thẳng
a’, b’ đi qua I’ do đó a’, b’ cũng song song. Nếu ta lấy một phép biến đổi xạ ảnh bất kì thì nó có thể biến điểm I thành điểm I’ không nằm trên W và do đó a, b biến thành a’, b’ cắt nhau tại I’ nên chúng không song song với nhau. Như vậy, nhóm xạ ảnh chứa nhóm afin hay nói cách khác hình học xạ ảnh là một bộ phận của hình học afin. Có duy nhất một cách thêm vào không gian afin An một siêu phẳng vô tận để được không gian xạ ảnh Pn. Tuy nhiên, trong không gian xạ ảnh Pn ta bỏ bất kì một siêu phẳng W nào của Pn thì ta cũng sẽ được không gian afin An = Pn\W.
Xây dựng hình học theo quan điểm dựa trên hệ tiên đề của Wâylơ, nếu ta loại bỏ tiên đề về tích vô hướng và giữ nguyên các nhóm tiên đề khác thì ta được không gian afin và xây dựng được môn hình học afin. Còn nếu ta thay tiên đề tích vô hướng bằng các tiên đề khác thì ta sẽ được các không gian giả Ơclít và xây dựng được các môn hình học giả Ơclít, nửa Ơclít,… Sau khi xây dựng được không gian afin và hình học afin, người ta có thể bổ sung vào không gian afin này các phần tử vô tận và biến không gian afin này trở thành không gian xạ ảnh mà trên đó chúng ta sẽ có môn hình học xạ ảnh là môn học ra đời dựa trên phép chiếu xuyên tâm.
Mô hình afin của mặt phẳng xạ ảnh. Trong không gian afin A3, ta bổ sung thêm các phần tử mới như sau:
- Mỗi đường thẳng bổ sung thêm một "điểm vô tận" sao cho hai đường thẳng song song cắt nhau tại "điểm vô tận". Đường thẳng bổ sung thêm "điểm vô tận" được gọi là đường thẳng mở rộng.
- Tập hợp các "điểm vô tận" của mặt phẳng cùng nằm trên một "đường thẳng vô tận". Mặt phẳng được bổ sung thêm "đường thẳng vô tận" được gọi là mặt phẳng mở rộng. Như vậy, trong mặt phẳng mở rộng ta có:
+ Hai đường thẳng bất kì cùng thuộc một mặt phẳng thì luôn cắt nhau tại một điểm (hoặc là điểm afin thông thường, hoặc là điểm vô tận).
+ Hai mặt phẳng phân biệt luôn có một đường thẳng chung.
+ Một đường thẳng bất kì không nằm trong mặt phẳng luôn cắt mặt phẳng tại một điểm.
Xét một mặt phẳng afin A2 trong không gian afin mở rộng A3. Kí hiệu [V2] là tập hợp các không gian véctơ con một chiều của V2. Đặt P2= A2 [V2], khi đó P2 là không gian xạ ảnh hai chiều (mặt phẳng xạ ảnh). Mặt phẳng afin A2 có bổ sung thêm các điểm vô tận được gọi là mô hình afin của mặt phẳng xạ ảnh.
Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin. Xét mặt phẳng xạ ảnh P2 liên kết với không gian véctơ V3, chọn đường thẳng làm đường thẳng vô tận. Khi đó, tập hợp
A2 = P2\ là mặt phẳng afin và được gọi là mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin. Trong mô hình này, các điểm thuộc được gọi là điểm vô tận, các điểm không thuộc được gọi là các điểm thông thường.
Để chuyển một bài toán xạ ảnh về một bài toán afin, ta cần chọn một siêu phẳng nào đó đóng vai trò siêu phẳng vô tận và khi đó không gian xạ ảnh Pn trở thành không gian afin An. Tuỳ từng bài toán, ta có thể chọn siêu phẳng vô tận sao cho bài toán xạ ảnh trở thành một bài toán afin và sử dụng các công cụ của hình học afin để giải toán.
Để tìm những ứng dụng của hình học xạ ảnh vào hình học sơ cấp thì sử dụng mô hình xạ ảnh của hình học afin và hình học Ơclít là điều đương nhiên. Tuy nhiên, những ứng dụng của hình học xạ ảnh vào hình học sơ cấp còn được thể hiện ở những mô hình khác nhau của hình học xạ ảnh. Trong bốn mô hình của hình học xạ
ảnh phẳng, ta cần sử dụng mô hình gần gũi với học sinh phổ thông. Rõ ràng là các mô hình véctơ và mô hình số học có ý nghĩa về mặt lý thuyết nhiều hơn. Còn mô hình bó của hình học xạ ảnh phẳng thì chỉ có thể tìm thấy ứng dụng vào hình học sơ cấp trong không gian chứ không thể tìm thấy ứng dụng vào hình học phẳng. Vì vậy, theo hướng này chúng tôi tìm thấy những ứng dụng của hình học xạ ảnh vào hình học sơ cấp (ngoài mô hình xạ ảnh) ở trong các mô hình afin và mô hình Ơclít đã bổ sung các phần tử xa vô tận.
Thế mạnh của hình học xạ ảnh là có thể giải quyết các bài toán về tính đồng quy và thẳng hàng (đặc biệt là hình học phẳng) một cách tổng quát. Ngoài ra, ta còn có thể sáng tạo các bài toán sơ cấp qua nguyên lý đối ngẫu hoặc sử dụng phương pháp đưa điểm ra vô tận. Do vậy, muốn giải một bài toán afin bằng công cụ xạ ảnh trước hết chúng ta cần bổ sung vào mặt phẳng afin các điểm vô tận. Mỗi đường thẳng afin đều được thêm vào một điểm vô tận và trở thành một đường thẳng xạ ảnh. Tập hợp các điểm vô tận này của mặt phẳng đều nằm trên một đường thẳng vô tận. Thông thường người ta hay bổ sung các đường thẳng vô tận bằng cách xem các đường thẳng song song với nhau thì đều gặp nhau tại một điểm vô tận. Các đường elíp, parabôn, hypebôn trở thành các đường côníc theo thứ tự không cắt, tiếp xúc, hay cắt đường thẳng vô tận tại hai điểm. Sau khi chuyển bài toán afin trở thành bài toán xạ ảnh, ta có thể dùng các tính chất, các định lí của hình học xạ ảnh để giải bài toán đó. Ngược lại, từ một bài toán xạ ảnh (phẳng), bằng cách cố định một đường thẳng của mặt phẳng xạ ảnh làm đường thẳng vô tận ta thu được một bài toán afin. Nói cách khác, ta có thể sử dụng kiến thức của hình học xạ ảnh để giải các bài toán afin và ngược lại.
Khai thác mô hình afin và mô hình Ơclít nhằm tìm hiểu những ứng dụng của ánh xạ và biến đổi xạ ảnh vào giải một số bài toán hình học sơ cấp. Ta thấy trong hình học xạ ảnh có nguyên tắc đối ngẫu, trong đó tập hợp các điểm thẳng hàng trên một đường thẳng (một hàng điểm thẳng) có hình đối ngẫu là tập hợp các đường thẳng cùng đi qua một điểm (một chùm đường thẳng). Cũng vậy, tập hợp các điểm của một đường cong bậc hai (không suy biến hay suy biến thành một cặp đường thẳng) có hình đối ngẫu là một tập hợp các tiếp tuyến của một đường cong lớp hai
R Q C A B B' P
(không suy biến hay suy biến thành một cặp điểm). Hàng điểm thẳng và hình đối ngẫu của nó – chùm đường thẳng có tên gọi chung là những dạng cấp một, bậc nhất còn hàng điểm bậc hai (mà giá là một côníc) và hình đối ngẫu của nó trong mặt phẳng – chùm tiếp tuyến đường lớp hai có tên gọi chung là những dạng cấp một, bậc hai. Vì vậy, khi đề cập đến ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp một, ta muốn nói chủ yếu đến ánh xạ xạ ảnh giữa hai đường thẳng, cũng tức là giữa hai hàng điểm thẳng hàng.
Ví dụ 1.1. Trong P2 cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng và ba điểm P, Q,
R lần lượt thuộc các đường thẳng BC, CA và AB và không trùng với các điểm A, B,
C. Một đường thẳng d không đi qua A, B, C và cắt các đường thẳng BC, CA và AB
lần lượt tại A’, B’, C’. Chứng minh rằng:
a) (B, C, A’, P).(C, A, B’, Q).(A, B, C’, R) = 1 là điều kiện cần và đủ để P, Q,
R thẳng hàng.
b) (B, C, A’, P).(C, A, B’, Q).(A, B, C’, R) = -1 là điều kiện cần và đủ để AP,
BQ, CR đồng quy tại một điểm O.
Lời giải. Chọn d làm đường thẳng vô tận của mô hình afin. Khi đó các tỉ số kép (B, C, A’, P), (C, A, B’, Q) và (A, B, C’, R) trở thành các tỉ số đơn là (B, C, P), (C, A, Q), (A, B, R).
a) Ta chứng minh (B, C, P).(C, A,
Q).(A, B, R) = 1 là điều kiện cần và đủ để P, Q, R thẳng hàng.
Điều kiện cần: Giả sử P, Q, R
thẳng hàng.
Ta có: (C, A, Q) = k1 trong đó QC k QA1
Từ điểm B kẻ đường thẳng song song với PQ cắt AC tại B’.
Theo định lý Ta-lét cho CQP có PQ // BB’ và BAB’ có RQ // BB’ ta có: (B, C, P) = (B’, C, Q) = k2, trong đó QB'k QC2 (H. 1.2).
(A, B, R) = (A, B’, Q) , trong đó QAk QB3 '. Từ đó suy ra . Vậy (B, C, Q).(C, A, Q).(A, B, R) = 1.
k3 k k k1. .2 3 1
Q R I K P B C A J R Q P B C A
Điều kiện đủ: Giả sử (B, C, Q).(C, A, Q).(A, B, R) = 1. Ta chứng minh P, Q,
R thẳng hàng. Thật vậy, gọi R’ = PQ AB. Từ P, Q, R’ thẳng hàng và theo điều kiện cần ta có (B, C, P).(C, A, Q).(A, B, R’) = 1.
Từ đó suy ra (A, B, R) = (A, B, R’) R R’. Vậy P, Q, R thẳng hàng. b) Ta xét hai trường hợp sau đây:
* Trường hợp 1: Nếu O không thuộc d.
Điều kiện cần:AP, BQ, CR đồng quy. Từ điểm A kẻ đường thẳng song song với
BC cắt CR tại I, BQ tại J (H. 1.3). Ta có (B, C, P) = k1 trong đó PBk PC1 . Đặt PBl AJ khi đó KPl KA PC, l AI. Do đó AJ = k l AI1 AJ k AI1 . Mặt khác (C, A, Q) = k2, trong đó QC = k QA2 . Khi đó CB = k AJ2 , , trong đó RA = k RB3 . Khi đó AI k BC3 k k k1. .2 3 1. Vậy (B, C, P).(C, A, Q).(A, B, R) = –1.
Điều kiện đủ: Giả sử B C P, , . C A Q, , . A B R, , 1và AP cắt BQ, ta cần chứng minh AP, BQ, CR đồng quy.
Thật vậy, giả sử AP BQ = I, CI AB = R’. Từ AP, BQ, CR’ đồng quy và theo điều kiện cần ta có: B C P, , . C A Q, , . A B R, , ' 1.
Ta suy ra (A, B, R) = (A, B, R’). Do đó R R’. Vậy AP, BQ, CR đồng quy (H. 1.4).
* Trường hợp 2: Nếu O không thuộc d.
Điều kiện cần: Giả sử AP, BQ, CR song song.
Ta có: (B, C, P) = (Q, C, A) = k1 trong đó AQk AC1 , (C, A, Q) = k2 trong đó QCk QA2 . (A, B, R) = (A, Q, C) = k3 trong đó CAk CQ3 . Từ đó suy ra: k k k1. .2 3 1 B C P, , . C A Q, , . A B R, , ' 1. A B R, , k3 Hình 1.3 Hình 1.4
Điều kiện đủ: Giả sử B C P, , . C A Q, , . A B R, , 1 và AP // BQ cần chứng minh AP, BQ, CR song song. Thật vậy, giả sử CR’ // AP // BQ (điểm R’
thuộc AB). Từ AP, BQ, CR’ song song và theo điều kiện cần ta có:
B C P, , . C A Q, , . A B R, , ' 1
Ta suy ra (A, B, R) = (A, B, R’). Do đó R R’. Vậy AP, BQ, CR song song.