Do phép nghịch đảo bảo toàn góc nên nó bảo toàn tính tiếp xúc của các đường. Đặc biệt, gọi góc giữa hai đường tròn tại điểm chung là góc tạo bởi các tiếp tuyến của chúng tại điểm đó. Khi đó, phép nghịch đảo bảo toàn góc giữa hai đường tròn. Ta xét các ví dụ dưới đây: H K B C A Hình 2.25
Ví dụ 2.24. (Bài toán Apôlônuít). Cho ba đường tròn. Dựng đường tròn tiếp xúc với cả ba đường tròn đó.
Lời giải. Nói chung, ba đường tròn có thể cắt nhau hoặc không cắt nhau và chúng có bán kính khác nhau. Trong một số trường hợp, bài toán không có nghiệm hình, ví dụ như các đường tròn đồng tâm với bán kính khác nhau. Khi bài toán có nghiệm hình, trường hợp tổng quát có tám đường tròn khác nhau tiếp xúc với cả ba đường tròn đã cho. Đường tròn dựng được có thể tiếp xúc ngoài với cả ba đường tròn hoặc tiếp xúc trong với một đường tròn và tiếp xúc ngoài với hai đường tròn còn lại,… Chúng ta sẽ chỉ ra cách dựng các đường tròn tiếp xúc ngoài với ba đường tròn không giao nhau cho trước (H. 2.26).
Hình 2.26
Giả sử cho ba đường tròn không cắt nhau. Chúng ta có thể tăng độ lớn của bán kính ba đường tròn này bởi một lượng không đổi, , sao cho hai đường tròn gần nhau nhất tiếp xúc nhau. Nếu chúng ta tìm một đường tròn tiếp xúc với cả ba đường tròn được tăng bán kính, chúng ta có thể tăng bán kính của đường của đường tròn này tới và đường tròn mới sẽ tiếp xúc với ba đường tròn đã cho.
Bây giờ ta đơn giản bài toán trong trường hợp ba đường tròn sao cho chúng tiếp xúc với nhau từng đôi một tại điểm O. Ta áp dụng phép nghịch đảo cực O. Để đơn giản, ta chọn phép nghịch đảo sao cho đường tròn thứ ba là bất động. Nói cách khác, đường tròn nghịch đảo là đường tròn tâm O và trực giao với đường tròn thứ
ba. Điều này dễ dàng thực hiện bằng cách tìm hai đường thẳng đi qua O mà tiếp xúc với đường tròn thứ ba. Đường tròn nghịch đảo đi qua hai điểm này.
Đường tròn thứ ba bất động và hai đường thẳng song song với nhau là ảnh của hai đường tròn đi qua O. Vì các đường tròn không đi qua O biến thành đường tròn, chúng ta cần tìm đường tròn (C) tiếp xúc với hai đường thẳng song song và đường tròn thứ ba. Khi đó, tạo ảnh của (C) sẽ là một đường tròn tiếp xúc với các đường tròn (C1), (C2), (C3) (H. 2.27). Cực nghịch đảo C cách đều hai đường thẳng song song, do đó nó nằm trên đường thẳng l, bằng nửa khoảng cách từ C1’ đến C2’. Vì vậy, phương tích nghịch đảo của phép nghịch đảo cực C bằng một nửa khoảng cách d giữa hai đường thẳng. Do đó nếu bán kính của đường tròn thứ ba là r, cực nghịch đảo C cách tâm của đường tròn thứ ba một khoảng bằng
2
d
r . Tồn tại hai điểm như vậy. Ta lấy điểm xa điểm O hơn so với cực nghịch đảo C.
Hình 2.27
Để tìm tạo ảnh của đường tròn (C), lấy ba điểm bất kì trên (C) và dựng ảnh của chúng qua phép nghịch đảo. Sau đó, dựng đường tròn qua ba điểm này. Đường tròn vừa dựng tiếp xúc với cả ba đường tròn (C1), (C2), (C3).
Ví dụ 2.25. Cho ABC và một đường tròn (I) nội tiếp trong tam giác đó. Gọi
H là chân đường cao tam giác hạ từ A, D là tiếp điểm của BC và (I), K là tiếp điểm của BC với đường tròn bàng tiếp góc A, M là trung điểm của cạnh BC. Chứng
minh rằng phép nghịch đảo f(M, k = MD2) biến (I) thành chính nó, biến đường tròn Ơle của ABC thành một đường thẳng d tiếp xúc với (I).
Lời giải. Kí hiệu N là giao điểm của tia AI với cạnh BC, J là tâm đường tròn bàng tiếp tiếp xúc với BC tại K. Các điểm A và N chia điều hoà đoạn IJ, do đó các điểm H và N chia điều hoà đoạn DK. Vì M là trung điểm của DK nên ta có MD2 = MN.MH = k (*).
Từ (*) suy ra phép nghịch đảo cực M phương tích k biến điểm H thành điểm
N, do đó biến đường tròn Ơle đi qua H và M thành đường thẳng d đi qua N. Gọi d’
là tiếp tuyến của đường tròn Ơle tại M, khi đó d’ // d (H. 2.28).
Phép vị tự tâm G (G là trọng tâm ABC) tỉ số – 2 biến đường tròn Ơle thành đường tròn ngoại tiếp ABC, đường thẳng d’ thành đường thẳng x // d’, do đó x // d. Ta có góc tạo bởi tia Ax với tia AN bằng
2 A C . Như vậy, 2 A ANd C (so le). Mặt khác, 2 A ANH C
(góc ngoài của ANC). Vậy khoảng cách từ I
tới d bằng bán kính đường tròn (I) và d tiếp xúc với đường tròn (I).
x d d' G N M K J D H I B C A
Ví dụ 2.26. Cho hai đường tròn bằng nhau (C), (C’) giao nhau tại hai điểm A,
B. Một đường tròn thay đổi tiếp xúc với AB tại A cắt (C) và (C’) lần lượt tại P và
P’. Chứng minh rằng PP’ luôn đi qua một điểm cố định và đường tròn (BPP’) tiếp xúc với AB tại B.
Lời giải. Gọi O là trung điểm của AB. Một cát tuyến bất kì qua O cắt (C) tại
L, M, ta có phương tích của O đối với (C) là OL OM. . Gọi K là điểm đối xứng của
M qua O thì K thuộc đường tròn (C’) vì hai đường tròn (C) và (C’) đối xứng nhau qua O. Do đó, OK OM và đặt k OA2 OL OM. OK OL. . Khi đó f(O, k) biến điểm L thuộc đường tròn (C) thành điểm K thuộc đường tròn (C’). Mặt khác, phương tích của O đối với đường tròn bằng k = OA2, nên f(O, k) biến đường tròn
thành chính nó (H. 2.29).
Hình 2.29
Như vậy, f(O, k) biến giao điểm P của (C) và thành giao điểm P’ của (C’) và , tức là ba điểm O, P, P’ thẳng hàng. Nói cách khác, đường thẳng PP’ luôn đi qua điểm cố định O là trung điểm của AB.
Hơn nữa, vì OA = OB nên OB2 OA2 OP.OP' nên đường tròn (BPP’) tiếp xúc với AB tại B.
Ví dụ 2.27. (Định lý Feuerbach). Chứng minh đường tròn Ơle của tam giác
ABC tiếp xúc với đường tròn (I) nội tiếp và ba đường tròn bàng tiếp (Ia), (Ib), (Ic) của tam giác ABC.
(C') (C) K L O P' P B A C C' M
Lời giải. Gọi R, S lần lượt là tiếp điểm của (I) và (Ia) với cạnh BC, khi đó ta có BS = CR = p – c, trong đó p là nửa chu vi, c = AB. Giả sử A’, B’, C’ tương ứng là trung điểm của BC, CA, AB. Kí hiệu A” là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh
BC, Q là giao điểm của BC với đường phân giác IIa. Bốn điểm A, Q, I, Ia là hàng điểm điều hòa, suy ra bốn điểm A”, Q, R, S cũng là hàng điểm điều hòa (H. 2.30). Điểm A’ là trung điểm của RS (vì A’ là trung điểm của BC và BS = CR), suy ra:
2
' . ' '' '
A Q A A A R (hệ thức Niutơn cho hàng điểm điều hòa)
Xét phép nghịch đảo f(A’, k = A’R2), với phép nghịch đảo này các đường tròn (I), (Ia) là bất biến vì cùng trực giao với đường tròn nghịch đảo (A’, A’R).
Từ hệ thức 2
' . ' " '
A Q A A A R suy ra f(A’, A’R2)(A”) = Q, ta có A” nằm trên đường tròn Ơle, điểm A’ (A’ là trung điểm của BC) cũng thuộc đường tròn Ơle. Điều này có nghĩa là với phép nghịch đảo f(A’, A’R2) biến đường tròn Ơle thành đường thẳng đi qua Q và đối song với đường thẳng B’C’ đối với góc C’A’B’
hay cũng biến thành đường thẳng đối song với đường thẳng BC của góc CAB (vì
BC // B’C’, CA // C’A’, AB // A’B’).
Hình 2.30
Suy ra đường thẳng đối xứng với đường thẳng BC qua đường thẳng IIa. Do
tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn (I) và (Ia). Vậy, đường tròn Ơle tiếp xúc với hai đường tròn (I) và (Ia). Tương tự chứng minh được rằng đường tròn Ơle tiếp xúc với hai đường tròn (Ib) và (Ic).