Chúng ta cần một số tính chất về lũy thừa của các phần tử trongF∗p.Vì lũy thừa chỉ đơn giản là lặp đi lặp lại phép nhân. Những gì chúng ta cần làm là nhấn mạnh một số tính chất quan trọng của phép nhân trong F∗p và chỉ ra rằng những tính chất này xuất hiện trong nhiều bối cảnh khác nhau.
Các tính chất là:
• Có một phần tử 1∈F∗p thỏa mãn 1·a=a·1 =a với mỗi a∈F∗p.
• Với mỗia∈F∗pcó một phần tử nghịch đảoa−1 ∈Fp∗thỏa mãna·a−1 =a−1·a = 1. • Tính chất kết hợp của phép nhân: a·(b·c) = (a·b)·cvới mọia, b, c∈F∗p. • Tính chất giao hoán của phép nhân: a·b=b·a với mọi a, b∈F∗p.
Giả sử rằng phép nhân trongF∗p, chúng ta thay thế bổ sung trong Fp. Chúng ta cũng sử dụng0ở vị trí của −1và−a ở vị trí củaa−1. Khi đó, tất cả bốn tính chất trên vẫn đúng:
• 0 +a=a+ 0 =a với mỗia∈Fp.
• Với mỗi a∈Fp có một nghịch đảo −a∈Fp thỏa mãn a+ (−a) = (−a) +a= 0. • Tính chất kết hợp của phép cộng, a+ (b+c) = (a+b) +c với mọia, b, c∈Fp. • Tính chất giao hoán của phép cộng, a+b =b+a với mọia, b∈Fp.
Tập hợp và các phép toán tương tự như nhân hoặc cộng là các khái niệm chung đưa đến khái niệm về một nhóm.
Định nghĩa 2.4.1. Một nhóm bao gồm tập hợp G và một quy tắc, chúng ta kí hiệu là?,kết hợp hai phần tử a, b∈G để có được phần tửa ? b∈G.Phép toán hợp thành
?phải có tính chất sau:
Tính chất đơn vị: Có một phần tửe ∈Gsao cho
e ? a=a ? e=a với mọi a∈G.
Tính chất nghịch đảo: Với mỗi a∈G có (duy nhất) một phần tử
a−1 ∈G thỏa mãn a ? a−1=a−1? a=e.
Tính chất kết hợp: a ?(b ? c) = (a ? b)? c với mọia, b, c∈G.
Tính chất giao hoán: a ? b=b ? a với mọi a, b∈G.
thì nhóm đó được gọi là nhóm giao hoán hoặc nhóm Abel.
Nếu G có hữu hạn các phần tử, ta nói G là nhóm hữu hạn. Cấp của G là số phần tử trong G, và được kí hiệu bởi |G| hoặc #G.
Ví dụ 2.4.2. Các nhóm là phổ biến trong toán học và trong các ngành khoa học vật lí. Dưới đây là một vài ví dụ, đầu tiên là hai ví dụ đã đề cập trước đó:
(a) G =F∗p và ? = phép nhân. Phần tử đơn vị là e = 1. Mệnh đề 1.3.7 nói với chúng ta rằng tồn tại phần tử nghịch đảo.G là nhóm hữu hạn có cấp p−1.
(b) G=Z/NZ và?=phép cộng. Phần tử đơn vị làe= 0 và nghịch đảo của a là−a. G là nhóm hữu hạn với cấp N.
(c) G=Z và ?= phép cộng. Phần tử đơn vị làe= 0 và nghịch đảo của a là−a. Glà nhóm vô hạn.
(d) Chú ý rằng G =Z và ?= phép nhân không phải là một nhóm, vì nhiều phần tử không có nghịch đảo nhân trongZ, ví dụ 2.
(e) Tuy nhiên, G=R∗ và ?= phép nhân là một nhóm, vì mọi phần tử đều có nghịch đảo nhân trong R∗.
(f) Một ví dụ không phải nhóm giao hoán là
G= ( a b c d :a, b, c, d∈R|ad−bc6= 0 )
với phép toán ?= phép nhân ma trận. Phần tử đơn vị là e =
1 0 0 1 và phần tử nghịch đảo được cho bởi công thức quen thuộc
a b c d −1 = d ad−bc −b ad−bc −c ad−bc a ad−bc .
Chú ý rằngG không giao hoán, vì từ một ví dụ
1 2 3 4 và 1 1 1 1 , ta thấy 1 2 3 4 1 1 1 1 = 3 3 7 7 trong khi 1 1 1 1 1 2 3 4 = 4 6 4 6 .
(g) Tổng quát hơn, chúng ta có thể sử dụng ma trận kích thước bất kỳ. Điều này cho ta các nhóm tuyến tính tổng quát
GLn(R) = {ma trận An×n với hệ số thực và det(A)6= 0}
với phép toán ? = phép nhân ma trận. Chúng ta có thể hình thành các nhóm khác bằng cách thay thếR bởi một số trường khác nhau , ví dụ, trường hữu hạn Fp. Nhóm
GLn(Fp) là nhóm hữu hạn, nhưng tính toán cấp của nhóm đó là một bài toán hay. Cho g là một phần tử của một nhóm Gvà xlà một số nguyên dương. Khi đó,gx
có nghĩa là ta áp dụng phép toán của nhóm x lần phần tử g, gx=g ? g ? g ?· · ·? g
| {z }
xlặp lại
Ví dụ, lũy thừa gx trong nhómF∗p theo nghĩa thông thường, nhâng với chính g,x lần. Nhưng "lũy thừa"gx trong nhómZ/nZ nghĩa là cộngg bởi g, xlần. Phải thừa nhận rằng, phép cộng là phổ biến hơn để viết các lượng "g được cộng thêm bởi chính g, x
lần" như làx·g, nhưng đây chỉ là một vấn đề của ký hiệu.
Kí hiệu đó cũng thuận tiện trong việc đưa ra định nghĩa của gx khixkhông phải là số dương. Vì vậy nếu x là số nguyên âm, ta định nghĩa gx bởi (g−1)|x|. Với x = 0,
ta có g0=e, phần tử đơn vị của G.
Bây giờ chúng ta giới thiệu một khái niệm quan trọng được sử dụng trong lý thuyết nhóm.
Định nghĩa 2.4.3. Cho Glà một nhóm và cho a∈Glà một phần tử của nhóm. Giả sử tồn tại số nguyên dương d có tính chất ad =e. Số d nhỏ nhất như vậy được gọi là
cấp của a. Nếu không có số d như vậy, thìa được gọi là có cấp vô hạn.
Mệnh đề 2.4.4. ChoGlà một nhóm hữu hạn. Khi đó, mỗi phần tử củaGcó cấp hữu hạn. Hơn nữa, nếu a∈Gcó cấp d và nếu ak =e, thì d |k.
Chứng minh. Vì G là nhóm hữu hạn, nên dãy
a, a2, a3, a4,· · ·
phải có một sự lặp lại. Thật vậy, giả sử tồn tại số nguyên dương i và j với i < j sao cho ai = aj. Nhân cả hai vế với a−i và áp dụng quy tắc nhóm dẫn đến aj−i = e. Vì
j−i >0, điều này chứng minh rằng có một số lũy thừa củaa bằng e.Chúng ta lại có
d là số mũ dương nhỏ nhất thỏa mãnad=e.
Giả sử k ≥d cũng thỏa mãn ak =e. Chúng ta chia k bởi d thu được
k =dq+r với 0≤r < d.
Sử dụng giả thiếtak =ad =e, chúng ta thấy rằng
Nhưng d là lũy thừa nguyên dương nhỏ nhất của a sao cho ad = e, vì vậy chúng ta phải cór = 0. Do đók =dq, vì vậy d|k.
Định lý 2.4.5. (Định lý Lagrange). Cho G là một nhóm giao hoán hữu hạn và
a∈G. Thì cấp của a chia hết cấp của G.Chính xác hơn, cho n =|G| là cấp của G và cho d là cấp của a, tức là, nếu ad là lũy thừa nhỏ nhất của a bằng e. Thì
an =e và d |n.
Chứng minh. Giả sử G là nhóm giao hoán. Vì G là nhóm hữu hạn nên
G={g1, g2,· · · , gn}.
Nhân mỗi phần tử của Gbởi a ta thu được tập mới, gọi là Sa, Sa ={a ? g1, a ? g2,· · · , a ? gn}.
Các phần tử của Sa là phân biệt. Thật vậy, giả sử rằng a ? gi =a ? gj. Nhân cả hai vế với a−1 ta được gi =gj. [14] Do đó Sa chứa n phần tử phân biệt, giống như số lượng các phần tử củaG.Do đó Sa =G,vì vậy chúng ta nhân tất cả các phần tử của Sa với nhau. Do đó ta có
(a ? g1)?(a ? g2)?· · ·?(a ? gn) =g1? g2?· · ·? gn.
Chúng ta có thể sắp xếp lại thứ tự của của tích từ bên trái (lại sử dụng tính chất giao hoán) ta thu được
an? g1? g2?· · ·? gn =g1? g2?· · ·? gn.
Bây giờ nhân bởi (g1? g2?· · ·? gn)−1 dẫn đến an =e, điều đó chứng minh điều kiện đầu tiên, và sau đó ta cón được chia hết bởi d được suy ra từ mệnh đề 2.5.4.