Khái niệm về quan hệ chia hết, ban đầu được giới thiệu cho các số nguyên Z trong phần 1.2, có thể được tổng quát cho vành bất kỳ.
Định nghĩa. Cho a và b là phân tử của vành R với b 6= 0. Chúng ta nói rằng b chia hết a, hay a được chia hết bởi b, nếu có một phần tửc∈R sao cho
a=b ? c.
Chúng ta viếtb |ađể chỉ ra rằngb chia hết a.Nếub không chia hếta, thì ta viết b- a.
Nhận xét 2.9.3. Các tính chất cơ bản của quan hệ chia hết được đưa ra trong mệnh đề 1.4 áp dụng cho vành chung. Chứng minh cho Z để tìm hiểu trong vành bất kỳ.
Tương tự như vậy, quan hệ chia hết cũng đúng trong mọi vành, b|0 với bất kỳb 6= 0.
Tuy nhiên, lưu ý rằng không phải mọi vành đều như Z. Ví dụ, có những vành với các phần tử khác khônga vàb có tícha ? bbằng 0.Một ví dụ như là vànhZ/6Z, trong đó 2và 3 khác không, nhưng 2·3 = 6 = 0.
Nhớ lại rằng một số nguyên được gọi là nguyên tố nếu không có phân tích không tầm thường. Phân tích tầm thường là gì? Chúng ta có thể "phân tích" số nguyên bất kỳ bằng cách viết số nguyên đó như là a = 1·a và như là a = (−1)(−a), vì vậy đây là sự phân tích tầm thường. Nói chung, nếuR là một vành và nếuu∈R là một phần tử có một nghịch đảo nhânu−1∈R, thì chúng ta có thể phân tích phần tửa∈R bất kỳ bằng cách viết a như làa=u−1·(ua). Các phần tử mà có nghịch đảo nhân và các phần tử chỉ có một sự phân tích tầm thường là phần tử đặc biệt của vành.
Định nghĩa. Cho R là một vành. Một phần tử u ∈ R được gọi là khả nghịch nếu u có một nghịch đảo nhân, tức là, nếu có một phần tử v ∈R sao cho u ? v = 1.
Một phần tử a của vành R được nói là bất khả quy nếua không khả nghịch và nếu a=b ? c, thì b là khả nghịch hoặc c khả nghịch.
Nhận xét 2.9.4. Các số nguyên có tính chất là mỗi số nguyên phân tích duy nhất thành tích của các số nguyên bất khả quy, không kể thứ tự của các nhân tử và thêm vào nhân tử của 1và −1.(Chú ý rằng một số nguyên dương bất khả quy chỉ đơn giản là tên khác của một số nguyên tố.) Không phải mọi vành đều có tính chất phân tích duy nhất này, tuy nhiên trong phần tiếp theo chúng ta sẽ chứng minh rằng vành đa thức với hệ số trong một trường là vành phân tích duy nhất.
Chúng ta đã thấy rằng lý thuyết đồng dư là rất quan trọng và là công cụ toán học cho việc tìm hiểu về các số nguyên. Sử dụng định nghĩa của quan hệ chia hết, chúng ta có thể mở rộng các khái niệm của lý thuyết đồng dư của vành tùy ý.
Định nghĩa.ChoRlà một vành và chọn một phần tử khác khôngm ∈R.Chúng ta nói rằng hai phần tử a và b của R là đồng dư môđun m nếu hiệu của chúng a−b
được chia hết bởi m. Chúng ta viết
a≡b (mod m)
thay choavà bđồng dư môđunm. Quan hệ đồng dư cho vành tùy ý thỏa mãn phương trình như là các tính chất chúng đã biết trong tập hợp số nguyên.
Mệnh đề 2.9.5. Cho R là một vành và cho m∈R với m6= 0.Nếu
a1 ≡a2 (mod m) và b1≡b2 (mod m),
thì
Nhận xét 2.9.6. Định nghĩa của chúng ta về quan hệ đồng dư gồm tất cả các tính chất mà chúng ta đã tìm hiểu. Tuy nhiên, chúng ta thấy rằng có tồn tại một khái niệm tổng quát hơn của quan hệ đồng dư môđun iđêan. Đối với mục đích của chúng ta, điều đó là đủ để tìm hiểu các quan hệ đồng dư môđun iđêan chính, đó là những iđêan được sinh bởi một phần tử.
Một hệ quả quan trọng của mệnh đề 2.9.1 là phương pháp để tạo vành mới từ vành cũ, cũng như chúng ta tạo raZ/qZtừ Z bởi quan hệ đồng dư môđunq.
Định nghĩa.Cho R là một vành và cho m ∈ R với m 6= 0. Với a ∈ R bất kỳ, chúng ta viếtacho tập hợp tất cảa0∈R sao choa ≡a0 (mod m).Tập hợpa được gọi là lớp đồng dư của a, và chúng ta ký hiệu tập hợp tất cả các lớp đồng dư bởi R/(m) hay R/mR. Do đó
R/(m) = R/mR={a :a ∈R}.
Chúng ta có thể cộng và nhân các lớp đồng dư sử dụng quy tắc
a+b=a+b và a ? b =a ? b.
Chúng ta gọi R/(m) là vành thương củaR bởi m.
Mệnh đề 2.9.7. Công thức
a+b=a+b và a ? b =a ? b.
đưa ra cách xác định công thức cộng và nhân trên tập các lớp đồng dư R/(m) ,và chúng làm choR/(m) trở thành một vành.