Trong ví dụ 2.9.2 (f), chúng ta thấy rằng nếu R là vành bất kỳ, thì chúng ta có thể tạo ra một vành đa thức với hệ số lấy từ R. Vành này được ký hiệu bởi
R[x] ={a0+a1x+a2x2+· · ·+anxn :n ≥1và a0, a1,· · · , an ∈R}.
Bậc của đa thức khác không là số mũ của lũy thừa cao nhất của x xuất hiện. Do đó nếu
a(x) =a0+a1x+a2x2+· · ·+anxn
với an 6= 0, thì a(x)có bậc n. Chúng ta ký hiệu bậc của a(x)bởi deg(a), và chúng ta gọi an là hệ số cao nhất của a(x). Đa thức khác không mà có hệ số cao nhất bằng 1 được gọi là đa thức monic. Ví dụ,3 +x2 là đa thức monic, nhưng1 + 3x2 không phải đa thức monic.
Đặc biệt những vành đa thức trong đó Rlà một trường; ví dụ,R có thể làQ hay
cả các thuộc tính củaZmà chúng ta đã chứng minh trong phần 1.2 cũng đúng đối với các vành đa thức F[x]. Phần này được dành cho một cuộc thảo luận về các tính chất của F[x].
Quay lại trường phổ thông, chúng ta đã học được cách chia một đa thức bởi cách khác nhau.Ví dụ
x5+ 2x4+ 7 = (x2+ 2x)·(x3−5) + (5x2+ 10x+ 7).
Chú ý rằng bậc của phần dư 5x2+ 10x+ 7 nhỏ hơn thức sự bậc của số chia x3−5.
Chúng ta có thể làm điều tương tự cho vành đa thức F[x] bất kỳ giống như Flà một trường. Vành kiểu này có thuật toán chia với dư gọi là vành Euclid.
Mệnh đề 2.9.8. (VànhF[x]là Euclid). ChoFlà một trường và choavà blà đa thức trong F[x] với b 6= 0. Chúng ta có thể viết
a=b·k+r
với k và r là đa thức, và hoặc là r= 0 hoặc là degr<degb.
Chúng ta có thể nóia chia b có thươngk và phần dư r.
Chứng minh. Chúng ta bắt đầu với giá trị của k và r thỏa mãn a=b·k+r.
(Ví dụ, chúng ta có thể bắt đầu với k= 0 và r= a.) Nếu degr <degb, thì bài toán được chứng minh. Nếu không, chúng ta viết
b=b0+b1x+· · ·+bdxd và r=r0+r1x+· · ·+rexe
Với bd 6= 0 và re 6= 0 và e≥d. Chúng ta viết lại phương trình a=b·k+r như là a=b·(k+re
bdx
e−d) + (r− re bdx
e−d·b) =b·k’+r’.
Chú ý rằng chúng ta đã mặc định bậc của số hạng cao nhất r, vì vậy degr’ <degr.
Nếu degr’ < degb, thì bài toán được chứng minh. Nếu không, chúng ta lặp lại quá trình này. Chúng ta tiếp tục chứng minh với số hạng r thỏa mãn degr ≥ degb và mỗi lần chúng ta áp dụng quá trình này, bậc của số hạngr của chúng ta nhỏ hơn. Vì vậy cuối cùng chúng ta đi đến một giới hạn r mà bậc của nó nhỏ hơn thực sự bậc của b.
Chúng ta có thể định nghĩa ước chung và ước chung lớn nhất trong F[x].
Định nghĩa. Ước chung của hai phần tử a,b∈F[x] là phần tử d∈F[x] mà chia hết cả a và b. Chúng ta nói rằng d là ước chung lớn nhất của hai phần tử a,b nếu mọi ước chung củaa và b đều chia hết d.
Ví dụ 2.9.9. Ước chung lớn nhất của x2−1và x3+ 1 làx+ 1. Chú ý rằngx2−1 = (x+ 1)(x−1) và x3+ 1 = (x+ 1)(x2−x+ 1), vì vậy x+ 1 là ước chung. Chúng ta thấy x+ 1 là ước chung lớn nhất.
Có rất nhiều vành, trong đó các ước chung lớn nhất không tồn tại, ví dụ như trong vành F[x]. Nhưng ước chung lớn nhất tồn tại trong vành đa thức F[x] khi F là một trường.
Mệnh đề 2.9.10. (Thuật toán Euclid mở rộng trong F[x]). Cho F là một trường và choavà blà đa thức củaF[x]với b6= 0.Khi đó, ước chung lớn nhất d củaa vàb tồn tại, và có đa thức u và vtrong F[x]sao cho
a· u+b·v=d.
Chứng minh. Cũng như trong chứng minh của định lý 1.1.1, đa thức gcd(a,b) có thể được tính bằng cách áp dụng lặp đi lặp lại của mệnh đề 2.9.3, cũng như mô tả trong bảng dưới đây. Tương tự như vậy, các đa thứcu vàv có thể được tính bằng cách thay thế một phương trình vào trong bảng bên dưới, chính xác như mô tả trong chứng minh của định lý 1.1.2
a=b·k1+r2 với0≤deg(r2)<deg(b),
b=r2·k2+r3 với0≤deg(r3)<deg(r2),
r2=r3·k3+r4 với0≤deg(r4)<deg(r3),
r3=r4·k4+r5 với0≤deg(r5)<deg(r4),
..
. ...
rt−2=rt−1·kt−1+rt với0≤deg(rt)<deg(rt−1),
rt−1=rt·kt.
Thìd=rt= gcd(a,b).
Bảng 2.3: Thuật toán Euclid cho đa thức
Ví dụ 2.9.11. Chúng ta sử dụng thuật toán Euclid trong vành F13[x]để tính gcd(x5−1, x3+ 2x−3) :
x5−1 = (x3+ 2x−3)·(x2+ 11) + (3x2+ 4x+ 6)
x3+ 2x−3 = (3x2+ 4x+ 6)·(9x+ 1) + (9x+ 4) 3x2+ 4x+ 6 = (9x+ 4)·(9x+ 8) + 0
gcd = 9x+ 4
Do đó9x+ 4 là ước chung lớn nhất củax5−1và x3+ 2x−3trongF13[x]. Để có được một đa thức monic, chúng ta nhân bởi 3≡9−1 (mod 13). Điều này cho
Trong phần 2.9.2 ta thấy một phần tử u của vành là khả nghịch nếu phần tử đó có nghịch đảo nhânu−1. Và một phần tử a của vành là bất khả quy nếu a không khả nghịch và có một sự phân tích duy nhất thành a=bc thìb hoặcckhả nghịch. Ta cũng thấy rằng các phần tử khả nghịch của vành đa thức F[x] là chính xác là các đa thức hằng số khác không, ví dụ, các phần tử khác không trong F.
Ví dụ 2.9.12. Đa thức x5−4x3+ 3x2−x+ 2 là bất khả quy như một đa thức trong
Z[x], nhưng nếu chúng ta xem đa thức đó như là một phần tử của F3[x], thì có phân tích như là
x5−4x3+ 3x2−x+ 2≡(x+ 1)(x4+ 2x3+ 2) (mod 3).
Đa thức đó cũng phân tích được nếu chúng ta xem xét trong F5[x], nhưng lần này là tích của một đa thức bậc hai và một đa thức bậc ba,
x5−4x3+ 3x2−x+ 2 ≡(x2+ 4x+ 2)(x3+x2+ 1) (mod 5).
Mặt khác, nếu chúng ta làm việc trong F13[x], thì x5−4x3+ 3x2−x+ 2 là bất khả quy.
Mỗi số nguyên có một phân tích duy nhất thành tích các số nguyên tố. Điều này đúng cho đa thức với hệ số trong một trường. Và cũng giống như đối với các số nguyên, chìa khóa cho việc chứng minh duy nhất là thuật toán Euclid mở rộng.
Mệnh đề 2.9.13. Cho Flà trường. Khi đó, mỗi đa thức khác không của F[x] có thể phân tích duy nhất thành tích các đa thức monic bất khả quy. Nếua∈F[x]được phân tích như
a=αp1·p2· · ·pm và a=βq1·q2· · ·qn,
với α, β ∈ F là hằng số và p1,· · · ,pm,q1,· · · ,qn, là đa thức monic bất khả quy, thì sau khi sắp xếp lại thứ tự của q1,· · · ,qn, ta có
α =β, m=n và pi =qi với mọi 1≤i≤m.
Chứng minh. Sự tồn tại của một sự phân tích thành tích các đa thức bất khả quy được chứng minh nhờ một từ thực tế nếu a = b ·c, thì deg(a) = deg(b) + deg(c).
Chứng minh rằng sự phân tích là duy nhất chính xác giống như chứng minh cho các số nguyên. Các bước quan trọng trong việc chứng minh đó là phát biểu nếu p ∈F[x] là bất khả quy và chia hết tích a·b, thì hoặc là p| ahoặc là p |b. Phát biểu này là là tương tự đa thức của mệnh đề 1.3.4 và được chứng minh tương tự như vậy, sử dụng các phiên bản đa thức của thuật toán Euclid mở rộng.