Chúng ta đã quen thuộc với nhiều vành, ví dụ như vành số nguyên với các phép toán cộng và phép nhân. Chúng ta tóm tắt các tính chất cơ bản của các phép toán này và sử dụng chúng để xây dựng định nghĩa cơ bản sau.
Định nghĩa.Vành là một tập hợp R có hai phép toán, được kí hiệu bởi + và?, thỏa mãn các tính chất sau:
Tính chất của +
[Tính chất đơn vị] Có một phần tử đơn vị cộng 0∈R sao cho 0 +a=a+ 0 =a với mọi a∈R.
[Tính chất nghịch đảo] Với mỗi a∈R có một phần tử nghịch đảo
b ∈R sao cho a+b=b+a= 0.
[Tính chất kết hợp] a+ (b+c) = (a+b) +c với mọia, b, c∈R.
[Tính chất giao hoán] a+b =b+a với mọia, b∈R,
Tóm tắt, nếu chúng ta thấy trongR với chỉ phép toán+, thì Rlà một nhóm giao hoán với phần tử đơn vị 0.
Tính chất của ?
[Tính chất đơn vị] Có một phần tử đơn vị nhân 1∈R sao cho 1? a=a ?1 =a với mọi a∈R.
[Tính chất kết hợp] a ?(b ? c) = (a ? b)? c với mọi a, b, c∈R.
[Tính chất giao hoán] a ? b =b ? a với mọia, b∈R,
Vì vậy, R với chỉ phép toán ?là một vị nhóm với phần tử đơn vị (nhân) 1, ngoại trừ các phần tử không bắt buộc phải có như phần tử nghịch đảo nhân.
Tính chất liên kết + và ?
[Tính chất phân phối] a ?(b+c) =a ? b+a ? c với mọia, b, c∈R.
Nhận xét 2.9.1. Tổng quát hơn, chúng ta đôi khi làm việc với các vành mà không chứa phần tử đơn vị nhân, và cũng với vành mà ? là không giao hoán, tức là, a ? b
không bằngb ? a. Tuy nhiên vành của chúng ta thường sử dụng là vành giao hoán có đơn vị (nhân), vì vậy chúng ta sẽ gọi chúng là vành.
Mỗi phần tử của vành có một nghịch đảo cộng, nhưng có nhiều phần tử khác phần tử khác không mà không có phần tử nghịch đảo nhân. Ví dụ trong vành số nguyên
Z, chỉ có hai phần tử có nghịch đảo nhân là1 và −1.
Định nghĩa. Một vành (giao hoán) trong đó mọi phần tử khác không đều có nghịch đảo nhân được gọi là trường
Ví dụ 2.9.2. Dưới đây là một vài ví dụ về các vành và trường mà chúng ta có lẽ đã quen thuộc.
(a) R=Q, ?=phép nhân, và cộng thông thường. Phần tử đơn vị nhân là1.Mọi phần tử khác không đều có nghịch đảo nhân, vì vậy Q là một trường.
(b) R = Z, ? = phép nhân, và cộng thông thường. Phần tử đơn vị nhân là 1.
Chỉ các phần tử có nghịch đảo nhân là 1 và −1, vì vậy Z là vành, nhưng Z không là trường.
(c) R=Z/nZ,n là một số nguyên dương bất kỳ,?=phép nhân, và cộng thông thường. Phần tử đơn vị nhân là1.
(d) R = Fp, p là số nguyên tố bất kỳ, ? = phép nhân, và cộng thông thường. Phần tử đơn vị nhân là 1. Mọi phần tử khác không đều có nghịch đảo nhân, vì vậyFp là một trường.
(e) Tập hợp tất cả các đa thức với hệ số lấy từ Zlà một vành đóng kín với phép cộng va nhân đa thức thông thường. Vành này ký hiệu là Z[x].Do đó chúng ta viết
Z[x] ={a0+a1x+a2x2+· · ·+anxn :n≥0 và a0, a1, a2,· · · , an ∈Z}.
Ví dụ, 1 +x2 và 3−7x4+ 23x9 là đa thức của vànhZ[x].
(f) Tổng quát hơn, nếu R là vành bất kỳ, chúng ta có thể tạo thành một vành đa thức có hệ số được lấy từ vànhR. Ví dụ, vành R có thể làR =Z/nZhay trường hữu hạn Fp.