Định lý thặng dư Trung Hoa mô tả các nghiệm cho một hệ thống đồng dư tuyến tính tương ứng. Cho một hệ gồm hai quan hệ đồng dư,
x≡a (mod m) và x≡b (mod n),
với gcd(m, n) = 1, trong trường hợp đó định lý thặng dư Trung Hoa nói rằng có duy nhất một nghiệm môđunmn.
Định lý thặng dư Trung Hoa và những khái quát của định lý đó có rất nhiều ứng dụng trong lý thuyết số và các lĩnh vực khác của toán học. Trong phần 2.8 chúng ta sẽ xem sử dụng định lý đó như thế nào để giải quyết một số trường hợp của bài toán logarit rời rạc. Chúng ta bắt đầu với một ví dụ mà chúng ta giải quyết hai quan hệ đồng dư tương ứng.
Ví dụ 2.7.1. Chúng ta cần tìm một số nguyên x đồng thời thỏa mãn cả hai quan hệ đồng dư
x≡1 (mod 5) và x≡9 (mod 11).
Quan hệ đồng dư đầu tiên cho chúng ta biếtx≡1 (mod 5), vì vậy toàn bộ các nghiệm của quan hệ đồng dư đầu tiên là tập hợp các số nguyên
x= 1 + 5y, y∈Z.
Thay vào quan hệ đồng dư thứ hai, ta có
1 + 5y≡9 (mod 11).
Do đó 5y ≡ 8 (mod 11). Chúng ta có thể tìm y bằng cách nhân cả hai vế bởi nghịch đảo của 5 môđun 11. Phần tử nghịch đảo của 5 môđun 11 tồn tại vì gcd(5,11) = 1 và chúng ta có thể tính bằng cách sử dụng tính chất mô tả trong mệnh đề 1.1.1 Tuy nhiên, trong trường hợp này môđun là một số nhỏ nên chúng ta có thể tìm thấy nghịch đảo của 5 môđun 11bằng cách thử và sai. Do đó 9·5 = 45≡1 (mod 11).
Nhân cả hai vế với 9
y≡9·8≡72≡6 (mod 11).
Cuối cùng, thay thế giá trị này của y vào cho nghiệm
x= 1 + 5·6 = 31 của bài toán ban đầu.
Định lý 2.7.2. (Định lý thặng dư Trung Hoa). Cho m1, m2,· · · , mk là tập các số đôi một nguyên tố cùng nhau. Điều đó có nghĩa là
Cho a1, a2,· · · , ak là số nguyên tùy ý. Khi đó, các hệ nhiều đồng dư tương ứng tùy ý
x≡a1 (mod m1), x≡a2 (mod m2),· · · , x≡ak (mod mk) có một nghiệm x=c. Hơn nữa nếu x=c và x=c0 là đều là nghiệm, thì
c≡c0 (mod m1m2· · ·mk).
Chứng minh. Giả sử có một giá trị của isao cho x=ci là nghiệm củai quan hệ đồng dư tương ứng đầu tiên,
x≡a1 (mod m1), x≡a2 (mod m2),· · · , x≡ai (mod mi).
Ví dụ , nếui= 1, thìc1 =a1. Chúng ta cần tìm một nghiệm thỏa mãn nhiều hơn một quan hệ đồng dư,
x≡a1 (mod m1), x≡a2 (mod m2),· · · , x≡ai+1 (mod mi+1).
Ý tưởng là tìm kiếm một nghiệm có dạng
x=ci+m1m2· · ·miy.
Chú ý rằng giá trị này của x vẫn thỏa mãn tất cả các quan hệ đồng dư ở trên vì vậy chúng ta chỉ cần chọny sao cho y cũng thỏa mãn
ci+m1m2· · ·miy≡ai+1 (mod mi+1).
Ví dụ 2.7.3. Chúng ta giải quyết ba quan hệ đồng dư tương ứng
x≡2 (mod 3), x≡3 (mod 7), x≡4 (mod 16).
Định lý thặng dư Trung Hoa nói rằng có duy nhất một nghiệm môđun 336, vì 336 = 3·7·16. Chúng ta bắt đầu với nghiệm x = 2 cho quan hệ đồng dư đầu tiên x ≡ 2 (mod 3). Sử dụng x có dạng nghiệm tổng quát x= 2 + 3y và thay thế x vào quan hệ đồng dư thứ hai, ta thu được
2 + 3y≡3 (mod 7).
Đơn giản hoá điều này được3y≡1 (mod 7),và chúng ta nhân cả hai vế với 5(vì 5là nghịch đảo của3 môđun 7) thu đượcy ≡5 (mod 7). Điều này cho ta giá trị
x= 2 + 3y= 2 + 3·5 = 17 như là nghiệm của hai quan hệ đồng dư đầu tiên.
Nghiệm tổng quát của hai quan hệ đồng dư đầu tiên là x= 17 + 21z. Chúng ta thay x= 17 + 21z vào quan hệ đồng dư thứ ba để có được
17 + 21z ≡4 (mod 16).
Đơn giản hóa ta được 5z ≡3 (mod 16). Chúng ta nhân cả hai vế với13, đó là nghịch đảo của 5 môđun 16để có được
z ≡3·13≡39≡7 (mod 16).
Cuối cùng, chúng ta thay z vàox= 17 + 21z để thu được nghiệm
x= 17 + 21·7 = 164.
Tất cả các nghiệm khác nhau có thể thu được bằng cách cộng hoặc trừ bội của336 để được nghiệm đặc biệt.
Mệnh đề 2.7.4. Cho p là một số nguyên tố thỏa mãn p ≡3 (mod 4). Cho a là một số nguyên sao cho quan hệ đồng dư x2 ≡a (mod p) có một nghiệm, tức là, a có một căn bậc hai môđunp. Khi đó,
b ≡a(p+1)/4 (mod p) là một nghiệm và thỏa mãn b2 ≡a (mod p).
Chứng minh. Cho g là một số nguyên tố môđun p, a bằng một lũy thừa của g và a
có một căn bậc hai môđun p nghĩa là a là một lũy thừa chẵn của g, tức là a ≡ g2k
(mod p). Bây giờ chúng ta tính
b2≡ap+12 (mod p)theo định nghĩa của p, ≡(g2k)p+12 (mod p) vì a≡g2k (mod p), ≡g(p+1)k (mod p)
≡g2k+(p−1)k (mod p)
≡a·(gp−1)k (mod p) vì a≡g2k (mod p), ≡ (mod p) vì gp−1 ≡1 (mod p).
Do đób thực sự là một căn bậc hai củaa môđun p.
Ví dụ 2.7.5. Căn bậc hai của a= 2201 môđun số nguyên tốp= 4127là
b≡a(p+1)/4= 22014128/4≡22011032 ≡3718 (mod 4125).
Để thấy rằng a thực sự là căn bậc hai môđun 4127, chúng ta đơn giản bình phươngb
và thấy rằng 37182= 13823524≡2201 (mod 4127).
Ví dụ 2.7.6. Chúng ta cần tìm kiếm nghiệm của quan hệ đồng dư
x2 ≡197 (mod 437).
y2≡197 ≡7 (mod 19)và z2 ≡197≡13 (mod 23).
Vì cả hai 19 và 23 đều đồng dư với 3 môđun 4, chúng ta có thể tìm căn bậc hai sử dụng mệnh đề 2.7.1 (hay bằng cách thử và sai). Trong trường hợp bất kỳ, chúng ta có
y≡ ±8 (mod 19)và z ≡ ±6 (mod 23).
Chúng ta có thể chọn8hoặc−8choyvà6hoặc−6choz. Lựa chọn hai nghiệm dương, tiếp theo chúng ta sử dụng định lý thặng dư Trung Hoa để giải quyết các quan hệ đồng dư tương ứng
y≡8 (mod 19)và z ≡6 (mod 23).
Chúng ta tìm được x≡236 (mod 437) là một nghiệm như mong muốn.
Nhận xét 2.7.7. Nghiệm của ví dụ 2.8.3 không phải là duy nhất. Trong phần đầu tiên, chúng ta có thể chọn số âm,
−236≡201 (mod 437),
để có được một căn bậc hai thứ hai của197 môđun 437.Nếu các mô đun là số nguyên tố, sẽ có chỉ có hai căn bậc hai. Tuy nhiên, vì437 = 19·23là hợp số, có hai ước khác nhau. Để tìm thấy căn bậc hai, chúng ta thay thế một trong số 8và 6bởi số âm. Điều này dẫn đến những giá trị x= 144 và x= 293, vì vậy 197 có bốn căn bậc hai môđun 437.
Nhận xét 2.7.8. Từ ví dụ 2.7.3, ta thấy bài toán là tương đối dễ dàng để tính căn bậc hai môđun m nếu chúng ta biết phân tích m thành tích của các lũy thừa của các số nguyên tố. Tuy nhiên, giả sửmquá lớn thì chúng ta không thể phân tích thành tích các lũy thừa nguyên tố. Bài toán là vấn đề rất khó khăn để tìm căn bậc hai môđun m.