Theo Ghi chú 2.2.5 (2), đồng cấu cấu trúc ϕ : N → M của một N-binoid M
cảm sinh một đồng cấu vành R[ϕ] :R[N]→ R[M]. Điều này xác định cấu trúc
R[N]-đại số trên R[M].
Hệ quả 2.5.1. Mọi đồng cấu ϕ: M → M0 của N-binoids cảm sinh duy nhất một đồng cấu R[N]−đại số φ: R[M]→ R[M0] với
Chứng minh. Điều này được suy ra từ Hệ quả 2.2.4 (với R = L và α = idR) và sơ đồ giao hoán
N ψ ~ ~ ψ0 M ϕ //M0
trong đó ψ và ψ0 lần lượt là đồng cấu cấu trúc của M và M0.
Hệ quả sau đây có thể được khái quát thànhN-tập hợp.
Hệ quả 2.5.2. Cho (Mi)i∈I là một họ hữu hạn của N-binoids giao hoán. Khi đó
R " ^ i∈I NMi # ∼=O i∈I R[N]R[Mi]
như R-đại số. Đặc biệt,
R " ^ i∈I Mi # ∼ =O i∈I RR[Mi].
Chứng minh. Sử dụng quy nạp ta chỉ cần chứng minh vớiI ={1; 2}. ĐặtM1 =M
và M2 =M0 là các binoid giao hoán. Ta có sơ đồ giao hoán của R-đại số:
R[M] ι ϕ ) ) R[N] 7 7 ' ' R[M]⊗R[N]RhM0i RhM ∧N M0i RhM0i ι0 O O ϕ0 6 6
trong đó ιvà ι0 là các bao hàm thức chính tắc, ϕ và ϕ0 là các đồng cấuR[N]-đại số cảm sinh bởi các phép nhúng M ,→ M∧NM0 và M0 ,→ M ∧N M0 theo Hệ quả 2.5.1. Do tính phổ dụng của tích tensor, chúng ta có đồng cấu R-đại số
ψ : R[M]⊗R[N]RhM0i→ RhM ∧N M0i,
với ψ : R F ⊗R[N]G = ϕ(F)ϕ0(G), là đồng cấu R[N]-đại số vì ϕ và ϕ0 cũng là các đồng cấu R[N]-đại số. Mặt khác, ta có đồng cấu binoid:
M ∧N M0 → R[M]⊗R[N]RhM0i, a∧N a0 7→ Ta⊗R[N]Ta
0
Do đó theo Mệnh đề 2.2.3 ta có đồng cấu các R-đại số RhM ∧N M0i →R[M]⊗R[N]RhM0i, với ra∧N a0 7→ rTa ⊗R[N]Ta 0 . Đó cũng là đồng cấu R[N]-đại số và là nghịch đảo của ψ.
Hệ quả 2.5.3. Nếu M là một N-binoid giao hoán hữu hạn sinh, thì R[M] là một R[N]-đại số hữu hạn sinh.
Chứng minh. Giả sử {x1, . . . , xr} là tập hợp sinh của M. Theo Ghi chú 2.2.5 (2) và Hệ quả 2.5.2, toàn cấu binoid
ϕ : N ∧(Nr)∞ → M, a∧(n1, . . . , nr)x7→ ϕ(a) +n1x1+. . .+nrxr
cảm sinh một toàn cấu R-đại số
R[ϕ] :R[N] [X1, . . . , Xr] →R[M],
với rTaXν 7→ rTϕ(a)Xν, ν = (n1, . . . , nr). Rõ ràng, R[ϕ] là một đồng cấu R[N]- đại số. Do đó ta có điều phải chứng minh.
KẾT LUẬN
Luận văn nghiên cứu về binoid và đại số binoid. Luận văn đạt được các kết quả chính sau:
- Tìm hiểu về binoid, tập định điểm và mối liên hệ.
- Tìm hiểu về một số lớp binoid đặc biệt: binoid hữu hạn sinh, binoid tự do, binoid nửa tự do, binoid rút gọn, rút gọn mạnh, binoid dương không xoắn, tích smash.
- Tìm hiểu tích smash, tác động của binoid trên tập định điểm, địa phương hóa, tập sinh của binoid.
Tài liệu tham khảo
[1] D. D. Anderson, E. W. Johnson (1984), Ideal theorey in commutative semi- groups, Semigroup Forum 30, 127–158.
[2] B. Batsukh (2014),Hilbert-Kunz theorem for binoids, PHD thesis, Osuabruck. [3] S. Boettger (2015), Monoid with absorbing elements and their associated al-
gebras, PHD Thesis, Osnabruck.
[4] W. Bruns, J. Gubeladze (2009), Polytopes, rings and K-theory, Monographs in mathematics, Springer, New York.
[5] R. Gilmer (1984), Commutative semigroup ring, Chicago lectures in mathe- matics, Chicago.
[6] P. A. Grillet (1995), Semigroups - An introduction to the structure theory, Monographs and textbooks in pure and applied mathematics 193, New York. [7] P. A. Grillet (2001), Commutative semigroups, Advances in mathematics 2,
Dordrecht.
[8] E. Miller, B. Sturmfels (2005),Combinatorial commutative algebra, Graduate texts in mathematics 227, Springer, New York.
[9] D. P. Patil, U. Storcho (2010),Introduction to Algebraic Geometry and Com- mutative Algebra, Singapore.
[10] J. C. Rosales, P. A. García-Sánchez (2009), Numerical semigroups, in math- ematics 20, Springer, New York.