Định nghĩa 1.7.1. Cho M là một binoid giao hoán và S là binoid con của M.
Ta định nghĩa một quan hệ tương đương trên M ×S như sau: với mọi a, a0 ∈M
và s, s0 ∈ S ta nói
(a, s) ∼(a0, s0) :⇔ ∃c ∈S : a+s0+c =a0+s+c.
Lớp tương đương của (a, s) được ký hiệu là a−s. Tập các lớp tương đương
MS := {a−s | a∈M, s ∈S}
được gọi là địa phương hóa của M tại S. Địa phương hóa của một binoid con được sinh bởi một phần tử f ∈ M ký hiệu là Mf.
Bổ đề 1.7.2. Cho M là một binoid và S là một binoid con của M. Phép cộng
(a−s) + (a0−s0) := (a+a0)−(s+s0)
định nghĩa một cấu trúc binoid trên MS sao cho ιS : M −→ MS, a 7−→ a−0 là một đồng cấu binoid, biến các phần tử của S thành đơn vị, kerιS = {a ∈ M | ∃b ∈S : a+b =∞} ⊆intc(M) và MS là một M-binoid.
Chứng minh. Dễ dàng kiểm tra được phép toán trên là xác định và ánh xạ đó là đồng cấu. Nếu s∈ S thì (s−0) + (0−s) =s−s∼0−0. Do đó s−0∈ MS×.
Theo Bổ đề 1.7.2, có một MS = MS+M×. Hơn nữa MS = M nếu và chỉ nếu
S ⊆ M× và MS =∞ nếu và chỉ nếu ∞ ∈S.
Mệnh đề 1.7.3. Cho đồng cấu binoid ϕ : M → N và binoid con S ⊆ M với
ϕ(S) ⊆ N×. Khi đó có duy nhất một đồng cấu M-binoid ϕS : MS → N sao cho biểu đồ M ιS ϕ //N MS ϕS = = giao hoán.
Chứng minh. Định nghĩa ϕS(a−s) := ϕ(a) +−ϕ(s), với a ∈ M và s ∈ S. Điều này có thể xảy ra vì theo giả thiết thì ϕ(S) ⊆ N×. Để chứng minh nó xác định ta giả sử a−s =b−t, với mọi a, b∈M và s, t ∈ S. Khi đó tồn tạic ∈S sao cho
Điều này dẫn đến
ϕ(a) +ϕ(t) +ϕ(c) =ϕ(b) +ϕ(s) +ϕ(c).
Vì ϕ(S) ⊆N× nên điều này tương đương với
ϕ(a) +−ϕ(s) =ϕ(b) +−ϕ(t).
Do đó ϕ(S) không phụ thuộc vào cách chọn đại diện. Nó là đồng cấu M-binoid vì ϕ là đồng cấu binoid và
ϕS(a−0) = ϕ(a) +−ϕ(0) =ϕ(a).
Tính duy nhất được suy ra từ tính giao hoán của biểu đồ yêu cầu
ϕS(a−0) = ϕ(a) và ϕS(0−a) =−ϕ(a), với s ∈S.