Định nghĩa 1.6.1. Cho N là một binoid. Một phép toán của N trên tập định điểm (S, p) là một ánh xạ
+ : N ×S −→ S, (a, s) 7−→a+s,
thỏa mãn các điều kiện sau: (1) 0 +s=s, với mọi s∈S.
(2) ∞+s=p, với mọi s ∈S.
(3) a+p= p, với mọi a ∈N.
Khi đó S được gọi là N-tập.
Một N-ánh xạ là một ánh xạ định điểm ϕ: S −→ T của N-tập sao cho biểu đồ
N ×S // id×ϕ S ϕ N ×T //T
là giao hoán, nghĩa là ϕ(a+ s) = a +ϕ(s), với mọi a ∈ N và s ∈ S. Ta nói
S là N-tập hữu hạn sinh nếu tồn tại một tập con hữu hạn T ⊆ S sao cho mọi
s ∈ S đều có thể viết được dưới dạng s = a+t, với a ∈ N và t ∈ T, nghĩa là
S = [
t∈T
(N +t). Khi đó (S, p) được gọi là sinh dưới dạng N-tập bởi T.
Ghi chú 1.6.2. Điều kiện (3) trong định nghĩa N-tập cho thấy plà một phần tử bất biến dưới phép toán của N. Hiển nhiên p không nhất thiết là duy nhất đối với điều kiện này.
Mệnh đề 1.6.3. Một tập định điểm (S, p) là một N-tập nếu và chỉ nếu có một đồng cấu binoid
N −→ (mappS,◦,id, ϕ∞), a7−→ ϕa,
trong đó ϕa :S →S sao cho s7→ a+s với a ∈N.
Theo Mệnh đề 1.6.3, mộtN∞-tập cũng giống nhưS cùng với ánh xạ định điểm cố định ϕ :S →S là phép toán xác định bởi n+s =ϕn(s).
Mệnh đề 1.6.4. Tích, tổng trực tiếp, tích smash của một họ các N-tập cũng là một N-tập.
Chứng minh. Giả sử(Si, pi)i∈I là một họ các N-tập. Phép toán của N trên Y
i∈I
Si
được cho bởi
a+ (si)i∈I = (a+si)i∈I
kéo theo phép toán của N trên L
i∈I Si và V
i∈ISi.