Trong mục này, ta luôn giải thiết các binoid là giao hoán.
Định nghĩa 1.8.1. Cho M là một binoid. Mộtiđêan trong M là tập con I ⊆M
nếu ∞ ∈ I và x+M ⊆ I, với mọi x∈ I.
Rõ ràng, bản thânM là một iđêan, gọi làiđêan đơn vị và một iđêan trùng với
M nếu và chỉ nếu nó chứa phần tử đơn vị. Điều kiện ∞ ∈ I tương đương với
I 6=∅. Theo định nghĩa, tập con khác rỗng I của M là một iđêan nếu và chỉ nếu
I đóng kín với phép cộng của M :
M × I → I, (x, a) 7→ x+a.
Ví dụ 1.8.2. (1) Tập hợp con {∞} là iđêan của mọi binoid M.
(2) Tập hợp tất cả các phần tử khác phần tử đơn vị M+ = M \M× của một binoid khác không M là một iđêan của M vì a+b ∈M× nếu a hoặc b∈ M+.
(3) Hạt nhân của đồng cấu binoidϕ : M → N là một iđêan của M vì a∈ kerϕ
và b ∈ M kéo theo ϕ(a+b) = ϕ(a) +ϕ(b) = ∞. Đây là trường hợp đặc biệt của Bổ đề 1.8.4(1) bên dưới (với J = {∞}). Chẳng hạn, nếu (S, p) là tập N, tập
{a∈ N | a+s= p, với mọi s∈S} ⊆ N là một iđêan trong N vì nó là hạt nhân của các đồng cấu binoid N → (mapp(S, S),◦,id, ϕ∞), xem Bổ đề 1.6.3. Ngoài ra, hạt nhân của phép chiếu chính tắc π : M → M/ ∼ là một iđêan cho mọi iđêan
đồng dư ∼. Đặc biệt, đối với một binoid M khác không, tập hợp tất cả các phần tử intc(M) và tập hợp tất cả các phần tử lũy linh nil(M) là các iđêan của M.
(4) Tập I +J ={a+b | a ∈ I, b∈ J}, với hai iđêan I,J ⊆ M là một iđêan của M. Đặc biệt, với mọi n ≥0, ta có
nI = I+. . .+I ={a1+. . .+an |ai ∈ I}
là một iđêan (lưu ý rằng 0I =M theo quy ước của chúng tôi rằng tổng trống là 0).
(5) Rõ ràng, mọi iđêan trong vành R là một iđêan trong(R, ,1,0).Chiều ngược lại là sai. Chẳng hạn, đặt {a | a = 0 hoặc |a| ≥ 10} là một iđêan trong binoid
(Z, ,1,0) nhưng không phải là một iđêan trong vành Z.
Định nghĩa 1.8.3. Chúng ta gọi M+ là iđêan tối đại của M vì đó là iđêan lớn nhất khác M trong M đối với quan hệ bao hàm ⊆ . Một đồng cấu binoid
ϕ : N → M là địa phương nếu ϕ(N+)⊆ M+.
Bổ đề 1.8.4. Cho ϕ: M → N là đồng cấu của binoid. Khi đó:
(1) Nếu J là một iđêan trong N thì ϕ−1(J) là một iđêan trong M.
(2) Nếu I là một iđêan trong M thì ϕ(I) +N = {a+b | a ∈ ϕ(I), b ∈N} là một iđêan trong N.
Chứng minh. Cả hai khẳng định đều dễ dàng được chứng minh.
Định nghĩa 1.8.5. Iđêan ϕ(I) +N trong Bổ đề 1.8.4 được gọi là iđêan mở rộng
của I theo ϕ.
Hệ quả 1.8.6. Cho M là một binoid và S là một binoid con của M. Khi đó (1) Nếu I là một iđêan trong MS thì ι−S1(I) là một iđêan trong M.
(2) Nếu I là một iđêan trong M thì IS := {a−s | a∈ I, s ∈S} là một iđêan trong MS sao cho IS =MS nếu và chỉ nếu S∩ I =∅.
Chứng minh. Đây là những hệ quả được suy ra trực tiếp từ Bổ đề 1.8.4. Đối với phát biểu (2), lưu ý rằng IS =ιS(I) +MS.
Định nghĩa 1.8.7. Cho I là một iđêan trong M. Một quan hệ tương đương ∼I
trên M được xác định bởi
được gọi là đồng dư Rees của I và M/ ∼I=: M/I là thương số (Rees) của M
bởi I. Iđêan mở rộng của một iđêan J ⊆ M iđêan bằng phép chiếu chính tắc
M → M/I sẽ được ký hiệu là J/I.
Ghi chú 1.8.8. Thương số M/I có thể được mô tả như kết quả của việc thu gọn I thành một phần tử, cụ thể là ∞, trong khi các phần tử bên ngoài I vẫn không thay đổi. Đặc biệt, ∼I là một quan hệ tương đương các iđêan và mọi quan hệ tương đương các iđêan đều thuộc dạng này vì hạt nhân của đồng cấu binoid là một iđêan, xem Ví dụ 1.8.2 (3). Với ý tưởng này, M/I có thể được xác định bằng binoid (M \ I)∪ {∞}, với phép cộng được cho bởi
a+b = a+b nếu a+b /∈ I, ∞ nếu a+b∈ I,
với a, b ∈ (M \ I)∪ {∞}. Tương tự, có thể xác định iđêan mở rộng của J theo
M → M/I với tập hợp con (J \(J ∩ I))∪ {∞}. Lưu ý rằng sự tương đương
∼πI gây ra bởi πI : M → M/I trùng với đồng dư Rees của I; có nghĩa là,
M/ ∼πI=M/I và I = kerπI. Nói chung, nếu ϕ : M → N là một toàn cấu, cảm sinh đồng cấu M/kerϕ → N không là một đẳng cấu khi ∼πkerϕ6=∼ϕ . Ví dụ, hạt nhân của đồng cấu binoid ϕ : N∞×N∞ → N∞,(a, b) 7→ b được cho bởi các iđêan
{(a,∞) | a∈ N∞} và thương số (N∞×N∞)/kerϕ ∼= ( N∞×N∞)∪ {(∞,∞)}. Mặt khác, chúng ta có (N∞×N∞)/∼ϕ∼=N∞ (xem Ghi chú 1.4.4). Ví dụ 1.8.9. (1) Từ Ghi chú 1.8.8 và Ví dụ 1.8.2(3), ta có:
Mint =M/intc(M) và Mred =M/nil(M).
(2) Tương tự như lý thuyết về các vành nửa địa phương, chúng ta có một mô tả về hàm Hilbert-Samuel H(−, M) : N → N tính theo thương số bởi bội số của iđêan tối đại
H(n, M) = #(M/nM+)−1,
Hệ quả 1.8.10. Cho V là tập hợp (hữu hạn). Nếu I ⊆FC(V) là một iđêan, thì
FC(V)/I (hữu hạn) sinh bởi {v ∈V | v /∈ I} và là nửa tự do. Cụ thể, FC(V)/I là dương, có luật giản ước và là không xoắn đến bậc lũy linh. Ngược lại, mọi binoid (hữu hạn sinh) nửa tự do đều đẳng cấu với FC(V)/I, với V là một tập (hữu hạn) và một iđêan I ⊆FC(V).
Chứng minh. (⇒) Khẳng định này được suy ra từ Hệ quả 1.3.17.
(⇐) Giả sử V ⊆ M là hệ sinh tối tiểu của binoid nửa tự do M. Khi đó
M ∼= FC(V)/(R
j)j∈J, trong đó (Rj)j∈J là một họ các quan hệ có dạng R : f =
g, f, g ∈ FC(V). Vì M là nửa tự do nên mọi quan hệ Rj là đơn thức (tức là
Rj : fj =∞, với mọi j ∈J Điều này cho thấy sự tương đương được xác định bởi
(Rj)j∈J là đồng dư Ress của iđêan I = hfj | j ∈ Ji. Do đó, theo Mệnh đề 1.4.2,
M ∼= FC(V)/I.
Ghi chú 1.8.11. Theo Hệ quả 1.8.10, binoid nửa tự do là binoid sinh từ các binoid giao hoán tự do với quan hệ đơn thức. Binoid nửa tự do có thể gọi là binoid đơn thức. Một lớp đặc biệt của đại số đơn là Đại số Stanley-Reisner (hoặc phủ các vành).
Mệnh đề 1.8.12. Cho M và N là các binoid và I là một iđêan trong M. Mọi đồng cấu binoid ϕ : M → N với I ⊆ kerϕ phân tích duy nhất qua M/I. Đặc biệt, chúng ta có một đẳng cấu nửa nhóm,
N −specM/I ∼={ϕN −specM | I ⊆ kerϕ}.
Chứng minh. Đây là trường hợp đặc biệt của [3, Mệnh đề 1.7.5].
Mệnh đề 1.8.13. Cho I và J là các iđêan của M. Khi đó
(M/I)∧M (M/J) ∼=M/(I ∪ J),
trong đó M/A là một M −binoid thông qua phép chiếu chính tắc
πA : M → M/A,A ∈ {I,J }.
Chứng minh. Theo [3, Hệ quả 1.10.22], các toàn cấu M-binoid chính tắc
binoid:
(M/I)∧M (M/J) −→ M/(I ∪ J) với ¯a∧M¯b 7−→[¯a+ ¯b],
đó là toàn ánh vì ψI và ψJ là toàn ánh. Đối với đơn ánh, chú ý rằng ¯a∧M¯b=∞
nếu và chỉ nếu a+b ∈ I ∪ J, và khi đó [a+b] = ∞. Nếu a ∈ I hoặc b ∈ J thì điều này là hiển nhiên. Mặt khác, a /∈ I và b /∈ J tương đương với ¯a = {a} và
¯b ={b} là đơn trị, vì vậy ta có
¯
a∧M ¯b =a∧M b = 0∧M (a+b) = (a+b)∧M 0
và đây là ∞ nếu và chỉ nếu a+b ∈ I ∪ J. Cụ thể, [¯a+ ¯b] = [a+b] = ∞. Do đó
∞ 6= ¯a∧M¯b=a∧b7→ [a+b] = a+b 6=∞ nếu a+b /∈ I ∪ J.
Điều này kéo theo ψ là đơn ánh.
Bổ đề 1.8.14. Cho ϕ :M → N là một đồng cấu binoid và I ⊆M là một iđêan. Khi đó ta có đẳng cấu binoid
(M/I)∧M N ∼= N/(ϕ(I) +N).
Chứng minh. Vì kerπI ⊆ ker(πϕ) và do đó ∼πI≤∼πϕ . Theo Bổ đề 1.4.3, ta có sơ đồ giao hoán của đồng cấu binoid
M ϕ // πI N //πN/(ϕ(I) +N) M/I ˜ ϕ 4 4
vớiϕ˜([a]) = [ϕ(a)].Trong thực tế, đồng cấu cảm sinhϕ˜là một đồng cấuM-binoid bởi vì tất cả những đồng cấu khác cũng vậy. Do đó, theo [3, Hệ quả 1.10.22], ϕ˜
sinh ra duy nhất đồng cấu M-binoid:
ψ(M/I)∧M N −→ N/(ϕ(I) +N) với [a]∧M x7−→ [ϕ(a) +x].
Mặt khác, đồng cấu M-binoid chính tắc: ι : N → M ∧M N → (M/I)∧M N với
ι(x) = [0]∧Mx phân tích thông quaN/(ϕ(I) +N) vì ϕ(I) +N ⊆ker ι. Nói cách khác, có một đồng cấu M-binoid:
Φ : N/(ϕ(I) +N) −→ (M/I)∧M N với [x] 7−→ [0]∧M x.
Bổ đề 1.8.15. Cho I ⊆N là một iđêan. Nếu ϕ : N →M là đồng cấu binoid địa phương thì ϕ(I) +M 6=M.
Chứng minh. Nếuϕ(I)+M = M thì tồn tạia∈ I vàb ∈M sao choϕ(a)+b = 0.
Chương 2
Đại số binoid
Trong chương này, chúng ta tìm hiểu các đại số và môđun liên kết với binoid,
N-tập và N-binoid. Trước khi tìm hiểu đại số binoid, chúng ta nhắc lại một số khái niệm cơ bản về đại số và đại số vị nhóm cần thiết. Để đơn giản ta luôn quy ước các vị nhóm, binoid là giao hoán.
Trong suốt chương này, R biểu thị một vành giao hoán có đơn vị và khi nào chúng ta đề cập đến cấu trúc vị nhóm hoặc cấu trúc binoid của một vành, nếu không nói gì thêm thì chúng xác định bởi phép nhân.