Định nghĩa 2.2.1. ChoM là một binoid.Đại số binoid củaM ký hiệu làR[M],
được định nghĩa là đại số
R[M] :=RM/(T∞),
trong đó RM = M
a∈M
RTa là đại số vị nhóm, (T∞) là iđêan trong RM được sinh bởi phần tử T∞. Một cách tổng quát, nếu I là một iđêan của M, chúng ta sẽ biểu thị iđêan (tương ứng R-môđun con) của RM sinh bởi Ta, a ∈ I bởi
RI = (Ta | a∈ I) ⊆ RM,
và bởi
R[I] = RI/(T∞) = (Ta | a∈ I) ⊆ R[M],
là iđêan (tương ứng R-môđun con) của R[M].
Theo định nghĩa, R[M] có thể đồng nhất được với tập hợp tất cả các tổng hình thức X
a∈∧
raTavới ∧ ⊆ M• hữu hạn và ra ∈R, trong đó phép nhân
raTa.sbTb =
ra.sbTa+b, nếu a+b 6=∞,
0, trong trường hợp còn lại Đẳng cấu R-môđun:
R[M] ∼=RM/ht∞i
được suy ra từ đồng cấu R-đại số phân bậc
KM → R[M]
với ker =RT∞. Với một iđêanI ⊆M, các iđêan RI và R[I]∼=K[t]/ht∞i=R[t]
lần lượt là các iđêan đơn thức của RM và R[M]. Nếu R 6= 0, hợp thành M ,→ RM →R[M] tạo ra một phép nhúng binoid
ιM :M → R[M], a7→ Ta
sao cho M có thể được coi là một binoid con của (R[M], . . . ,1,0).
(1) Đại số binoid của binoid không {∞}, tức là 0 = ∞ trên bất kỳ vành nào là vành không (trong khi đó đại số của vị nhóm không là R).
(2) Đại số binoid của binoid tầm thường {0;∞}, tức là với 06=∞ trên R là R
(trong khi đại số của vị nhóm đó là R[x]/(x2)).
Mệnh đề 2.2.3. Cho binoid M, R-đại số A và phép đồng cấu binoid ϕ : M →A.
Khi đó tồn tại duy nhất một phép đồng cấu R-đại số φ : R[M] → A sao cho sơ đồ sau giao hoán
M ϕ // ι A R[M] φ < < . Đặc biệt, nếu A =R, thì R-specM ∼=R-SpecR[M]. Chứng minh. Xét hợp thành của các ánh xạ chính tắc M → RM →π R[M] . Theo tính chất phổ dụng của đại số vị nhóm, xem Mệnh đề 2.1.14, ϕ cảm sinh đồng cấu R-đại số ϕ˜ : RM → A với rTa 7→ α(r)ϕ(a), trong đó α : R → A
là đồng cấu đại số, r ∈ R và a ∈ M. Vì kerπ = RT∞ ⊆ ker ˜ϕ, đồng cấu R- đại số ϕ˜ cảm sinh phép đồng cấu vành φ : R[M] → A với φπ = ϕ∼ sao cho
rTa 7→α(r)ϕ(a), r ∈R, a ∈M. Vậy φ là phép đồng cấu R-đại số.
Hệ quả sau chỉ ra đại số binoid được xác định duy nhất bởi tính chất phổ dụng của nó.
Hệ quả 2.2.4. Cho α : R → S là một đồng cấu vành và φ : M → M0 là một đồng cấu binoid. Khi đó có một đồng cấu vành duy nhất
φ : R[M] → S[M0]
với φ(rTa) 7→ α(r)ϕ(a), r ∈R, a ∈M
Chứng minh. Theo Mệnh đề 2.2.3, ϕ cảm sinh phép đồng cấu R-đại số φ˜sao cho biểu đồ sau giao hoán
M ϕ // ιM M0 ι M0 R[M] φ˜ //RhM0i ˜ α //LhM0i
Khi đóφ = ˜αφ˜là phép đồng cấu vành duy nhất, trong đó α˜: rTa 7→ α(r)Ta.
Ghi chú 2.2.5. Có hai trường hợp đặc biệt của Hệ quả 2.2.4.
(1) Nếu ϕ = idM thì có một đồng cấu vành duy nhất α[M] : R[M] → S[M]. Hơn nữa, mọi tập hợp con của S sinh raS như R-môđun (hoặc R-đại số) sẽ sinh ra S[M] như R[M]-môđun (hoặc R[M]-đại số) và mọi tập các phần tử độc lập tuyến tính của S trên R là độc lập tuyến tính trong S[M] trên R[M]. Đặc biệt, các cơ sở giữ nguyên không thay đổi trong khi chuyển sang đại số binoid. Hơn nữa, nếu α là toàn cấu, thì α[M] cũng là toàn ánh.
(2) Xét S =R. Trong trường hợp này có một đồng cấu R-đại số duy nhất
R[ϕ] :R[M]→ R[N]
ϕ là đơn cấu (toàn cấu) nếu và chỉ nếu R[ϕ] là đơn cấu (toàn cấu).
Hệ quả 2.2.6. Cho M là một binoid.
(1) Nếu N là một binoid con của M thì đại số binoid R[N] là một R-đại số con của R[M].
(2) Nếu a là một iđêan của R thì
(R/a) [M] ∼=R[M]/aR[M]. (3) Nếu M là giao hoán và I là một iđêan trong M thì
R[M/I]∼=R[M]/R[I]∼=RM/RI.
(4) Nếu M là giao hoán và S là một binoid con của M thì S˜ = {Ta | a∈S} là tập đóng nhân trong R[M] và có một đẳng cấu
˜
S−1(R[M])∼=R(M
S).
(6) Nếu S là tập đóng nhân trong R thì R[M]S ∼=R
S[M].
Chứng minh. (1) Kiểm tra theo định nghĩa.
(2) Đặt π : R → R/a là toàn ánh chính tắc. Hạt nhân của đơn cấu vành cảm sinh R[π] : R[M] → (R/a) [M], xem Hệ quả 2.2.4, bao gồm tất cả f ∈R[M] với các hệ số trong a, điều này chứng tỏ (2).
(3) Toàn cấu binoid M → M/I cảm sinh toàn cấu R-đại số R[M] → R[M/I]
bởi Hệ quả 2.2.4. Hạt nhân của nó được xác định bởi L
a∈I•RTa =R[I], do đó
R[M/I] ∼=R[M]/R[I].
(4) Theo Hệ quả 2.2.4, ánh xạ chính tắc ιS : M → MS cảm sinh đồng cấu
R-đại số ˜ιS : R[M] → R[MS]. Đặt ι : R[M] → S˜−1(R[M]) biểu thị đồng cấu vành chính tắc. Vì ι(S) ⊆ S˜−1(R[M])
×
, nên theo tính chất phổ dụng của địa phương hóa ta có sơ đồ giao hoán sau:
R[M] ι// ιS˜ ˜ S−1(R[M]) ψ x x R[MS]
Trong đó đồng cấu R-đại số cảm sinhψ là một đẳng cấu với nghịch đảo được đưa ra bằng cách viết lại các phần tử của R[MS] theo cách sau
n X j=1 rjTaj−fj = n X j=1 rjTaj−0Q i6=jTfi−0 n Y i=1 Tfi−0 7→ rjT ajQ i6=jTfi Qn i=1Tfi = Pn j=1rjTa0 Tf , với a0 = aj + P i6=jfi ∈ M và f = Pn i=1fi ∈ S. Đây là một phần tử trong ˜ S−1(R[M]). (5) Ta có A⊗RR[M] ∼= (A⊗ RRM)/(1⊗T∞) ∼=AM/(T∞) ∼= A[M],
trong đó đẳng cấu ở giữa là do Hệ quả 2.1.15 (2). (6) Ta có R[M]S ∼=R
S ⊗RR[M] ∼=R
S[M], với đẳng cấu sau là do (5).
Hệ quả 2.2.7. Cho I ⊆M là một iđêan và e∈ I là một phần tử lũy đẳng (tức là
được xác định bởi φ(x) = (ex, π(x)), trong đó π : RM → R[M/I] kí hiệu cho đồng cấu chính tắc, là một đẳng cấu của đại số. Đặc biệt, RM ∼= R×R[M] như các R-đại số.
Chứng minh. Theo giả thiết, có một đẳng cấu R-đại số RM ∼=RI ×(1−e)RM
và do đó
(1−e)RM ∼=RM/RI ∼=R[M/I],
theo Hệ quả 2.2.6. Vì π((1−e)x) =π(x), với mọi x ∈RM và
kerπ∩(1−e)RM =RI ∩(1−e)RM = 0,
nên giới hạn của π trên (1−e)RM là đẳng cấu (1−e)RM ∼= R[M/I]. Từ đó ta
có RM → RI ×R[M/I]. Trường hợp I = RT∞, ta có RM ∼= K ×K[M].
Để tìm hiểu khi nào R[M] là miền nguyên ta giới thiệu khái niệm binoid chính quy không xoắn.
Định lý 2.2.8. Đại số binoid R[M] là một miền nguyên nếu và chỉ nếu R là một miền và M là một binoid chính quy không xoắn.
Chứng minh. Nếu R[M] là một miền nguyên, binoid M phải là nguyên. Do đó
R[M]∼=RM•. Từ Mệnh đề 2.1.16 ta suy ra điều phải chứng minh. 2.3. Iđêan trong đại số binoid
Chú ý rằng mọi iđêanI trong một binoid M đều xác định một iđêan đơn thức trong R[M], cụ thể là:
R[I] =M
a∈I RTa
Ngược lại, với mỗi iđêan a⊆ R[M] thì có một iđêan của các số mũ trong M,
I(a) ={a∈M | Ta ∈ a}.
Ta dễ dàng kiểm tra được các tính chất sau.
Bổ đề 2.3.1. (1) Giả sử I và J là hai iđêan của M. Khi đó: (a)R[I ∪ J] = R[I] +R[J]
(c) R[I+J] = R[I].R[J].
(2) R[I(a)]⊆ a với mọi iđêan a trong R[M]. Hơn nữa, nếu a và b là iđêan đơn thức trong R[M] thì:
(a) R[I(a)] =a. Cụ thể, I(−)thành lập một song ánh giữa tập hợp các iđêan củaM và tập hợp các iđêan đơn thức của R[M] với ánh xạ nghịch đảo R[−],I 7→ R[I] và a7→ I(a)
(b) b⊆ a nếu và chỉ nếu tôi I(b)⊆ I(a).
(c) Nếu a là một iđêan căn thì I(a) cũng vậy.
Mệnh đề 2.3.2. Cho R là một trường. Nếu M dương thì R[M+] là iđêan tối đại trong R[M]
Chứng minh. Chúng ta có
R ∼= R[{0,∞}] = R[M/M
+] =R[M]/R[M+],
trong đó đồng nhất thức sau cùng là do Hệ quả 2.2.6 (3). Kết quả này sai đối với binoids không dương.
Ví dụ, ta xét nhóm binoid M = (Z/nZ)∞ với n≥ 2. Khi đó
R[M]/R[M+] = R[M/M+] = R[M]∼= R[X]/(Xn −1),
không phải là một trường vì X − 1 là một ước của không. Cụ thể, ta có
R[M+] = R[(∞)] = 0 không phải là iđêan tối đại trong R[M].
Hệ quả 2.3.3. Cho R là một trường. Nếu M hữu hạn sinh và dương thì
dimRR[M]/(R[M+])n = H(n, M),
trong đó ta sử dụng quy ước a0 =R cho iđêan a trong vành R.
Chứng minh. Chúng ta có
R[M]/(R[M+])n =R[M]/(R[nM+]) =R[M/nM+] = M
a∈(M/nM+)• RTa
như R-không gian vectơ, do đó
2.4. R[N]–môđun
Khái niệm đại số binoid cho binoid có thể được tổng quát cho N-tập tùy ý
(S, p); nghĩa là, với mỗi N-tập (S, p) người ta có thể liên kết một R[N]-môđun
R[S]. Định nghĩa sau đây củaR[S] cho thấy nhiều kết quả về đại số binoid được đưa ra trong Mục 2.2 có thể được tổng quát cho các N-tập và các R[N]-môđun liên kết của chúng vì mỗi binoid là {0,∞}-tập.
Định nghĩa 2.4.1. ChoN-tập hợp (S, p). R[S]định nghĩa là R[N]-môđun được xác định bởi tập hợp tất cả các tổng chính thức X
s∈T
rsXsvới T ⊆ S∗ hữu hạn,
rs∈ R và phép nhân vô hướng được xác định bởi
raXa.rsXs = rarsXa+s , a+s6=p, 0 , a+s=p trong đó a ∈N và s ∈S.
Ví dụ 2.4.2. IđêanR[I] làR[M]-môđun có thể hiểu là được xây dựng từM-tập
(I,∞).
Bằng kiểm tra trực tiếp, ta có kết quả sau.
Bổ đề 2.4.3. S là N-tập hợp hữu hạn sinh nếu và chỉ nếu R[S] là R[N]-môđun hữu hạn sinh.
Mỗi R[N]-môđun V cũng là một N-tập hợp với phép toán (trái) của N trên
(V,0) được xác định bởi
N ×V →V,(a, v) 7→ a+v =Xa·v.
Đặc biệt, R[S] lại là N-tập với mọi N−tập (S, p) và R 6= 0, ta có đơn cấu chính tắc N-ánh xạ
ıS : S → R[S], s 7→ Xs.
R[N]-môđun của N-tập là xác định duy nhất sai khác đẳng cấu.
Mệnh đề 2.4.4. Cho (S, p) là một N-tập hợp và V là một R[N]-môđun. Khi đó, mọi N-ánh xạ ϕ : (S, p)→ (V,0) cho ta duy nhất một đồng cấu R[N]-môđun
φ : R[S]→ V sao cho sơ đồ sau giao hoán: S ϕ // ιS V R[S] φ < <
Chứng minh. : Ánh xạ φ được xác định duy nhất bởi
φ X s∈T rsXs ! =X s∈T rsϕ(s),
với rs∈ R, s∈ T và T ⊆ S• hữu hạn, là một đồng cấuR-môđun được định nghĩa bởi φıs = ϕ. Để chứng minh rằng φ cũng là một đồng cấu của các R[N]-các môđun có ϕ(a+s) =a+ϕ(s) =Xa.ϕ(s) cho tất cả a∈N và s ∈S. Do đó, nếu
F =P a∈Ara.Xa ∈ R[N] và P s∈T rs.Xs ∈R[S] với các tập hữu hạn A ⊆N• và T ⊆ S\ {p} thì φ F.X s∈T rs.Xs ! =φ F. X a∈A,s∈T rars.Xa+s = X a∈A,s∈T rars.ϕ(a+s) = X a∈A,s∈T rarsXaϕ(s) =F.X s∈T rsϕ(s) =F.φ X s∈T rsXs ! .
Hệ quả 2.4.5. Cho một N-ánh xạ ϕ : S → T của N-tập hợp (S, p) và (T, q),
tồn tại duy nhất đồng cấu R[N]-môđun φ :R[S] → R[T] sao cho sơ đồ sau giao hoán: S ϕ // ιS T ιT R[S] R[ϕ]//R[T]
Đặc biệt, tồn tại đồng cấu binoid
mappS, o,idS,ϕ∞
với ϕ → R[ϕ], trong đó EndRR[S] biểu thị vành của tất cả các đồng cấu R- môđun R[S] →R[S] và 0R[S] ánh xạ không.
Chứng minh. Đây là kết quả được suy ra trực tiếp từ Mệnh đề 2.4.4 được áp dụng cho N−ánh xạ xác định bởi hợp thành ıT ϕ : S → T → R[T]. Cụ thể,
R[ϕ] :R[S] → R[T] được cho bởi
R[ϕ] (F) = X
s∈S0
rsXϕ(s) với F = X
s∈S0
rsXs ∈R[S].
trong đó rs ∈R, s∈ S0 và S0 ⊆ S hữu hạn. Điều này chứng tỏ rằng
R[ϕoψ] = R[ϕ]oR[ψ], R[idS] = idR[S] và R[ϕ∞] = 0R[S].
Suy ra khẳng định thứ hai là đúng.
Mệnh đề 2.4.6. Cho (S, p) là một N-tập hợp. Khi đó R[S] là một R[N]-môđun sao cho sơ đồ sau là giao hoán
N ϕ // ιN mappS R[−] R[N] φ//EndRR[S]
trong đó ϕ là đồng cấu binoid và φ là một đồng cấu vành.
Chứng minh. Phép toán N ×S → S, (a, s) 7→ a+s cảm sinh ra một phép toán chính tắc R[N]×R[S]→ R[S] sinh bởi (raTa, rsTs) 7→ rarsTa+s. Do đó, có một phép đồng cấu vành φ :R[N] →EndRR[S] với F 7→ (φ(F) :G 7→ G.F) mà làm cho sơ đồ giao hoán.
2.5. Đại số binoid của N-binoid
Theo Ghi chú 2.2.5 (2), đồng cấu cấu trúc ϕ : N → M của một N-binoid M
cảm sinh một đồng cấu vành R[ϕ] :R[N]→ R[M]. Điều này xác định cấu trúc
R[N]-đại số trên R[M].
Hệ quả 2.5.1. Mọi đồng cấu ϕ: M → M0 của N-binoids cảm sinh duy nhất một đồng cấu R[N]−đại số φ: R[M]→ R[M0] với
Chứng minh. Điều này được suy ra từ Hệ quả 2.2.4 (với R = L và α = idR) và sơ đồ giao hoán
N ψ ~ ~ ψ0 M ϕ //M0
trong đó ψ và ψ0 lần lượt là đồng cấu cấu trúc của M và M0.
Hệ quả sau đây có thể được khái quát thànhN-tập hợp.
Hệ quả 2.5.2. Cho (Mi)i∈I là một họ hữu hạn của N-binoids giao hoán. Khi đó
R " ^ i∈I NMi # ∼=O i∈I R[N]R[Mi]
như R-đại số. Đặc biệt,
R " ^ i∈I Mi # ∼ =O i∈I RR[Mi].
Chứng minh. Sử dụng quy nạp ta chỉ cần chứng minh vớiI ={1; 2}. ĐặtM1 =M
và M2 =M0 là các binoid giao hoán. Ta có sơ đồ giao hoán của R-đại số:
R[M] ι ϕ ) ) R[N] 7 7 ' ' R[M]⊗R[N]RhM0i RhM ∧N M0i RhM0i ι0 O O ϕ0 6 6
trong đó ιvà ι0 là các bao hàm thức chính tắc, ϕ và ϕ0 là các đồng cấuR[N]-đại số cảm sinh bởi các phép nhúng M ,→ M∧NM0 và M0 ,→ M ∧N M0 theo Hệ quả 2.5.1. Do tính phổ dụng của tích tensor, chúng ta có đồng cấu R-đại số
ψ : R[M]⊗R[N]RhM0i→ RhM ∧N M0i,
với ψ : R F ⊗R[N]G = ϕ(F)ϕ0(G), là đồng cấu R[N]-đại số vì ϕ và ϕ0 cũng là các đồng cấu R[N]-đại số. Mặt khác, ta có đồng cấu binoid:
M ∧N M0 → R[M]⊗R[N]RhM0i, a∧N a0 7→ Ta⊗R[N]Ta
0
Do đó theo Mệnh đề 2.2.3 ta có đồng cấu các R-đại số RhM ∧N M0i →R[M]⊗R[N]RhM0i, với ra∧N a0 7→ rTa ⊗R[N]Ta 0 . Đó cũng là đồng cấu R[N]-đại số và là nghịch đảo của ψ.
Hệ quả 2.5.3. Nếu M là một N-binoid giao hoán hữu hạn sinh, thì R[M] là một R[N]-đại số hữu hạn sinh.
Chứng minh. Giả sử {x1, . . . , xr} là tập hợp sinh của M. Theo Ghi chú 2.2.5 (2) và Hệ quả 2.5.2, toàn cấu binoid
ϕ : N ∧(Nr)∞ → M, a∧(n1, . . . , nr)x7→ ϕ(a) +n1x1+. . .+nrxr
cảm sinh một toàn cấu R-đại số
R[ϕ] :R[N] [X1, . . . , Xr] →R[M],
với rTaXν 7→ rTϕ(a)Xν, ν = (n1, . . . , nr). Rõ ràng, R[ϕ] là một đồng cấu R[N]- đại số. Do đó ta có điều phải chứng minh.
KẾT LUẬN
Luận văn nghiên cứu về binoid và đại số binoid. Luận văn đạt được các kết quả chính sau:
- Tìm hiểu về binoid, tập định điểm và mối liên hệ.
- Tìm hiểu về một số lớp binoid đặc biệt: binoid hữu hạn sinh, binoid tự do, binoid nửa tự do, binoid rút gọn, rút gọn mạnh, binoid dương không xoắn, tích smash.
- Tìm hiểu tích smash, tác động của binoid trên tập định điểm, địa phương hóa, tập sinh của binoid.
Tài liệu tham khảo
[1] D. D. Anderson, E. W. Johnson (1984), Ideal theorey in commutative semi- groups, Semigroup Forum 30, 127–158.
[2] B. Batsukh (2014),Hilbert-Kunz theorem for binoids, PHD thesis, Osuabruck. [3] S. Boettger (2015), Monoid with absorbing elements and their associated al-
gebras, PHD Thesis, Osnabruck.
[4] W. Bruns, J. Gubeladze (2009), Polytopes, rings and K-theory, Monographs in mathematics, Springer, New York.
[5] R. Gilmer (1984), Commutative semigroup ring, Chicago lectures in mathe- matics, Chicago.
[6] P. A. Grillet (1995), Semigroups - An introduction to the structure theory, Monographs and textbooks in pure and applied mathematics 193, New York. [7] P. A. Grillet (2001), Commutative semigroups, Advances in mathematics 2,
Dordrecht.
[8] E. Miller, B. Sturmfels (2005),Combinatorial commutative algebra, Graduate texts in mathematics 227, Springer, New York.
[9] D. P. Patil, U. Storcho (2010),Introduction to Algebraic Geometry and Com- mutative Algebra, Singapore.
[10] J. C. Rosales, P. A. García-Sánchez (2009), Numerical semigroups, in math- ematics 20, Springer, New York.