Giạ sửỷ raỉng (1) coự nguyeụm nguyeđn (x, y, z, t) vụựi x laứ giaự trũ nhoỷ nhaõt trong caực giaự trũ coự theơ coự .
Tửứ (1), ta nhaụn thaõy t chaỹn - xem t = 2t1 ; theõ vaứo (1) vaứ chia cho 2 ta coự : 4x4 + 2y4 + z4
= 8t14 (2)
⇒ z chaỹn - xem z = 2z1 ; thay vaứo (2) ⇒ 2x4 + y4 + 8z14 = t14 .
Tửụng tửù ,ta coự : y = 2y1 ⇒ x4 + 8y14 + 4z14 = 2t14 vaứ cuoõi cuứng x = 2x1 ⇒ 8x14 + 4y14 +2z14 = t14 ⇒ (x1 , y1 , z1 , t1) cuừng laứ nghieụm cụa phửụng trỡnh ủaừ cho , nhửng ụỷ nghieụm naứy ta 2z14 = t14 ⇒ (x1 , y1 , z1 , t1) cuừng laứ nghieụm cụa phửụng trỡnh ủaừ cho , nhửng ụỷ nghieụm naứy ta thaõy x1 < x : mađu thuaờn caựch chún nghieụm ủaău coự x beự nhaõt ! ⇒ (1) vođ nghieụm !
34) Tỡm ủieău kieụn caăn vaứ ủụ cho soõ k ủeơ phửụng trỡnh : x2 - y2 = k coự ớt nhaõt moụt nghieụm nguyeđn . nguyeđn .
♦ x2 - y2 = k coự nghieụm nguyeđn ⇒ k ≠ 4t + 2 (*) (soẩ dử soõ chớnh phửụng trong pheựp chia
cho 4) ♦ k ≠ 4t + 2 : ♦ k ≠ 4t + 2 : k chaỹn ⇒ { (*) ⇒ k = 4m } ⇒ x = m + 1 ; y = m - 1 laứ nghieụm phửụng trỡnh . k lẹ ⇒ { (*) ⇒ k = 2n + 1 } ⇒ x = n + 1 ; y = n laứ nghieụm phửụng trỡnh .
cho 4) ♦ k ≠ 4t + 2 : ♦ k ≠ 4t + 2 : k chaỹn ⇒ { (*) ⇒ k = 4m } ⇒ x = m + 1 ; y = m - 1 laứ nghieụm phửụng trỡnh . k lẹ ⇒ { (*) ⇒ k = 2n + 1 } ⇒ x = n + 1 ; y = n laứ nghieụm phửụng trỡnh . (khaực taăm thửụứng )
Giạ sửỷ raỉng phửụng trỡnh coự nghieụm nguyeđn (x, y, z, t) . Vỡ x2 + y2 + z2 + t2 chaỹn ⇒ trongcaực soõ x, y, z, t coự moụt soõ chaỹn caực soõ lẹ ( hoaịc 0 hoaịc 2 hoaịc 4 ). caực soõ x, y, z, t coự moụt soõ chaỹn caực soõ lẹ ( hoaịc 0 hoaịc 2 hoaịc 4 ).
Neõu taõt cạ ủeău lẹ thỡ x2 + y2 + z2 + t24 trong khi 2xyzt khođng chia heõt cho 4
Neõu chư coự hai soõ lẹ thỡ x2 + y2 + z2 + t2 khođng chia heõt cho 4 trong khi 2xyzt 4. Vaụy x,y, z, t cuứng chaỹn ⇒ xem x = 2x1, y = 2y1, z = 2z1, t = 2t1 ; thay vaứo phửụng trỡnh ủaừ cho ta y, z, t cuứng chaỹn ⇒ xem x = 2x1, y = 2y1, z = 2z1, t = 2t1 ; thay vaứo phửụng trỡnh ủaừ cho ta